Podcast
Questions and Answers
Jaka jest formuła na precyzję arytmetyki dla danego typu komputera i stosowanej arytmetyki?
Jaka jest formuła na precyzję arytmetyki dla danego typu komputera i stosowanej arytmetyki?
Co oznacza pojęcie "liczba maszynowa" w kontekście arytmetyki komputerowej?
Co oznacza pojęcie "liczba maszynowa" w kontekście arytmetyki komputerowej?
Która z następujących liczb NIE jest liczbą maszynową zgodnie z definicją podaną w tekście?
Która z następujących liczb NIE jest liczbą maszynową zgodnie z definicją podaną w tekście?
Co reprezentuje zmienna "eps" w Matlabie?
Co reprezentuje zmienna "eps" w Matlabie?
Signup and view all the answers
Jaka jest formuła na błąd względny w zapisie zmiennopozycyjnym?
Jaka jest formuła na błąd względny w zapisie zmiennopozycyjnym?
Signup and view all the answers
Jaka jest definicja błędu bezwzględnego?
Jaka jest definicja błędu bezwzględnego?
Signup and view all the answers
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe w przypadku błędu względnego?
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe w przypadku błędu względnego?
Signup and view all the answers
Dlaczego błędy numeryczne są istotne w obliczeniach komputerowych?
Dlaczego błędy numeryczne są istotne w obliczeniach komputerowych?
Signup and view all the answers
Co wpływa na błąd urwania procedury iteracyjnej?
Co wpływa na błąd urwania procedury iteracyjnej?
Signup and view all the answers
Który z poniższych czynników nie wpływa na błąd urwania procedury iteracyjnej?
Który z poniższych czynników nie wpływa na błąd urwania procedury iteracyjnej?
Signup and view all the answers
Jakie działanie może zmniejszyć błąd urwania procedury iteracyjnej?
Jakie działanie może zmniejszyć błąd urwania procedury iteracyjnej?
Signup and view all the answers
Jaki rodzaj błędu obliczeń określa błąd urwania procedury iteracyjnej?
Jaki rodzaj błędu obliczeń określa błąd urwania procedury iteracyjnej?
Signup and view all the answers
Jakie działanie może być wykorzystane do monitorowania błędu urwania procedury iteracyjnej?
Jakie działanie może być wykorzystane do monitorowania błędu urwania procedury iteracyjnej?
Signup and view all the answers
Jakie warunki musi spełniać parametr α w równaniu ẏ = −αy?
Jakie warunki musi spełniać parametr α w równaniu ẏ = −αy?
Signup and view all the answers
Co charakteryzuje dobry algorytm numeryczny w kontekście uwarunkowania?
Co charakteryzuje dobry algorytm numeryczny w kontekście uwarunkowania?
Signup and view all the answers
Jakie jest dokładne rozwiązanie równania ẏ = −αy z warunkiem początkowym y(0) = 1?
Jakie jest dokładne rozwiązanie równania ẏ = −αy z warunkiem początkowym y(0) = 1?
Signup and view all the answers
Jaką metodę używa się do numerycznego rozwiązania równania ẏ = −αy?
Jaką metodę używa się do numerycznego rozwiązania równania ẏ = −αy?
Signup and view all the answers
Co oznacza błędy obliczeń w kontekście arytmetyki komputerowej?
Co oznacza błędy obliczeń w kontekście arytmetyki komputerowej?
Signup and view all the answers
Jakie są potencjalne konsekwencje stosowania źle uwarunkowanego algorytmu numerycznego?
Jakie są potencjalne konsekwencje stosowania źle uwarunkowanego algorytmu numerycznego?
Signup and view all the answers
Jakie znaczenie ma wskaźnik uwarunkowania w analizie algorytmów?
Jakie znaczenie ma wskaźnik uwarunkowania w analizie algorytmów?
Signup and view all the answers
Jak zmienia się wynik obliczenia z zastosowaniem h=0.5 w metodzie Eulera w porównaniu do h=0.2?
Jak zmienia się wynik obliczenia z zastosowaniem h=0.5 w metodzie Eulera w porównaniu do h=0.2?
Signup and view all the answers
Jak oblicza się błąd bezwzględny dla wartości x = 100 i x̂ = 100.1?
Jak oblicza się błąd bezwzględny dla wartości x = 100 i x̂ = 100.1?
Signup and view all the answers
Jak oblicza się błąd względny dla zmiennej y, gdzie y = 0.1 i ŷ = 0.2?
Jak oblicza się błąd względny dla zmiennej y, gdzie y = 0.1 i ŷ = 0.2?
Signup and view all the answers
Co reprezentuje niedomiar w arytmetyce komputerowej?
Co reprezentuje niedomiar w arytmetyce komputerowej?
Signup and view all the answers
Jakie wartości reprezentują nadmiar w systemie arytmetyki IEEE 754?
Jakie wartości reprezentują nadmiar w systemie arytmetyki IEEE 754?
Signup and view all the answers
Co się stanie, gdy nieskończoność jest argumentem działania, które nie ma sensu?
Co się stanie, gdy nieskończoność jest argumentem działania, które nie ma sensu?
Signup and view all the answers
Jakie są wyniki działań z użyciem nadmiaru w arytmetyce komputerowej?
Jakie są wyniki działań z użyciem nadmiaru w arytmetyce komputerowej?
Signup and view all the answers
Oblicz błąd względny dla zmiennej x = 100 i x̂ = 100.1. Jaki wynik otrzymasz?
Oblicz błąd względny dla zmiennej x = 100 i x̂ = 100.1. Jaki wynik otrzymasz?
Signup and view all the answers
Jakie są dwa rodzaje błędów w arytmetyce komputerowej?
Jakie są dwa rodzaje błędów w arytmetyce komputerowej?
Signup and view all the answers
Jakie jest wynikiem dodawania macierzy A i B podanych poniżej? A = [[4, 5, 6], [7, 8, 9]], B = [[4, 5, 2], [-1, 0, 1]].
Jakie jest wynikiem dodawania macierzy A i B podanych poniżej? A = [[4, 5, 6], [7, 8, 9]], B = [[4, 5, 2], [-1, 0, 1]].
Signup and view all the answers
Jakie prawo dotyczy mnożenia macierzy przez liczbę?
Jakie prawo dotyczy mnożenia macierzy przez liczbę?
Signup and view all the answers
Co jest wynikiem mnożenia macierzy A = [[4, 5, 6], [7, 8, 9]] przez liczbę 2?
Co jest wynikiem mnożenia macierzy A = [[4, 5, 6], [7, 8, 9]] przez liczbę 2?
Signup and view all the answers
Jak zdefiniowane są elementy nowej macierzy wynikowej w operacji A ± B?
Jak zdefiniowane są elementy nowej macierzy wynikowej w operacji A ± B?
Signup and view all the answers
Które prawo mówi, że dla każdego α, β i macierzy A obowiązuje α(βA) = (αβ)A?
Które prawo mówi, że dla każdego α, β i macierzy A obowiązuje α(βA) = (αβ)A?
Signup and view all the answers
Co następuje po stałej macierzy A o wymiarowości m × n w wyniku mnożenia przez α?
Co następuje po stałej macierzy A o wymiarowości m × n w wyniku mnożenia przez α?
Signup and view all the answers
Jeśli A = [[4, 5, 6], [7, 8, 9]], to jaka będzie wartość 2·A?
Jeśli A = [[4, 5, 6], [7, 8, 9]], to jaka będzie wartość 2·A?
Signup and view all the answers
Jakich działań można dokonać na macierzach o tym samym rozmiarze?
Jakich działań można dokonać na macierzach o tym samym rozmiarze?
Signup and view all the answers
Co to jest macierz górnotrójkątna?
Co to jest macierz górnotrójkątna?
Signup and view all the answers
Jak oblicza się wyznacznik macierzy górnotrójkątnej?
Jak oblicza się wyznacznik macierzy górnotrójkątnej?
Signup and view all the answers
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe dla macierzy górnotrójkątnej?
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe dla macierzy górnotrójkątnej?
Signup and view all the answers
W jakim oprogramowaniu znajduje się funkcja triu() dla macierzy górnotrójkątnej?
W jakim oprogramowaniu znajduje się funkcja triu() dla macierzy górnotrójkątnej?
Signup and view all the answers
Jakie są warunki dla macierzy, aby miała wyznacznik różny od zera?
Jakie są warunki dla macierzy, aby miała wyznacznik różny od zera?
Signup and view all the answers
Jak można zdefiniować macierz górnotrójkątną U w notacji macierzowej?
Jak można zdefiniować macierz górnotrójkątną U w notacji macierzowej?
Signup and view all the answers
Jakie są właściwości macierzy górnotrójkątnej?
Jakie są właściwości macierzy górnotrójkątnej?
Signup and view all the answers
Który z poniższych elementów nie musi być brany pod uwagę przy obliczaniu wyznacznika macierzy górnotrójkątnej?
Który z poniższych elementów nie musi być brany pod uwagę przy obliczaniu wyznacznika macierzy górnotrójkątnej?
Signup and view all the answers
Study Notes
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wprowadzenie do metod numerycznych
- Data: 9 października 2024
- Wykładowca: dr inż. Anna Barcz
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Przykład z eksplozją rakiety Ariane 5
- Przyczyna: Błąd w konwersji 64-bitowej liczby zmiennoprzecinkowej na 16-bitową liczbę całkowitą (przepełnienie).
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Masakra w Dhahran
- Data: 25.02.1991
- Lokalizacja: Dhahran, Arabia Saudyjska
- Przyczyna: Błąd w konwersji liczb całkowitych na rzeczywiste (przez zastosowanie tylko 24 bitów) w obliczeniach trajektorii pocisku Scud.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Błąd w procesorze Pentium FDIV
- Przyczyna: Błąd w jednostce zmiennoprzecinkowej procesora.
- Konsekwencje: W rzadkich przypadkach zmniejszyła dokładność niektórych obliczeń.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Informacje ogólne
- Konsultacje: Środy, 10:15-12:00, dziekanat lub pokój 28
- Adres e-mail wykładowcy: [email protected]
- Egzamin: 4.02.2025 (wtorek), godz. 8:30
- Poprawa terminu I: 12.02.2025 (środa)
- Poprawa terminu II: między 9 a 13.06.2025 (w zależności od planu studentów)
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Celi przedmiotu
- Cele:
- Identyfikować źródła błędów w obliczeniach numerycznych.
- Proponować sposoby ograniczania błędów.
- Dobierać odpowiednie algorytmy numeryczne do rozwiązywania problemów.
- Modyfikować algorytmy.
- Posługiwać się wybranym narzędziem programistycznym do rozwiązania problemów.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Literatura podstawowa
- Kincaid D., Cheney W.: Analiza numeryczna.
- Findeisen W., Wierzbicki A., Szymanowski J.: Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji.
- Kiełbasiński A., Schwetlick H.: Numeryczna algebra liniowa.
- Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne.
- Ostanin A.: Metody optymalizacji z Matlab.
- Seidler J., Badach A., Molisz W.: Metody rozwiązywania zadań optymalizacji.
- Jankowscy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Literatura dodatkowa
- Bożek B.: Metody obliczeniowe i ich komputerowa realizacja.
- Szymczak Cz.: Elementy teorii projektowania.
- Matulewski J., Dziubak T., Sylwestrzak M., Płoszajczak R.: Grafika, Fizyka, Metody numeryczne.
- Kiciak P.: Podstawy modelowania krzywych i powierzchni.
- Brandt S.: Analiza danych.
- Popov O.: Metody numeryczne i optymalizacja.
- Palczewski A.: Równania różniczkowe zwyczajne.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 1: Numeryczna reprezentacja liczb - Arytmetyka komputerowa
- Podstawowe systemy liczbowe: dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy, dziesiętny
- Przekształcanie liczb pomiędzy systemami: Metody konwersji.
- Zapis zmiennopozycyjny: Struktura zapisu liczb w pamięci komputera.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 1: Numeryczna reprezentacja liczb - konwersje
- Konwersja liczb z układu dziesiętnego do dwójkowego: Procedura konwersji.
- Konwersja ułamków z układu dziesiętnego do dwójkowego: Procedura konwersji.
- Przykłady.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 1: Numeryczna reprezentacja liczb - błędy w obliczeniach
- Błędy względne i bezwzględne: Definicje i obliczenia.
- Przepełnienie (Overflow), niedomiar, nadmiar: Defnicje i przykłady..
- Nieskończoność i NaN jako wyniki obliczeń.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 1: Numeryczna reprezentacja liczb - liczby maszynowe
- Liczby maszynowe (fl(x)): Definicja liczb przechowywanych w komputerze.
- Precyzja arytmetyki ε.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 1: Arytmetyka komputerowa, a analityczna
- Prawo łączności dodawania.
- Dodawanie i odejmowanie liczb w zapisie zmiennoprzecinkowym.
- Mnożenie i dzielenie liczb w zapisie zmiennoprzecinkowym.
- Błąd całkowity obliczeń numerycznych: Błędy danych wejściowych, błędy obliczeń, zaokrąglenie.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 1: Etapy i rodzaje błędów
-
Etapy:
- Błąd danych wejściowych - błędy pomiarowe, odczytu, etc.
- Błędy zaokrągleń - błędy wynikające z reprezentowania liczb w komputerze.
- Błędy obcięcia - błędy wynikające z kończenia/uproszczenia obliczeń.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat : Wykład 2, definicje, wektory, macierze
- Wektor: Uporządkowany zbiór liczb.
- Wektor kolumnowy/wektor wierszowy: Reprezentacje wektora.
- Macierz: Tablica składająca się z wierszy i kolumn.
- Macierz diagonalna: Macierze z elementami poza przekątną zerowymi.
- Macierz symetryczna: A = A^T
- Macierz antysymetryczna: A = -A^T
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 2, działania na macierzach
- Dodawanie macierzy: Dodawanie elementów stojących na tym samym miejscu w macierzach.
- Odejmowanie macierzy: Odejmowanie elementów stojących na tym samym miejscu w macierzach.
- Mnożenie macierzy: Iloczyn dwóch macierzy A i B tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 2; normy na wektorach i macierzach, wyznaczniki
- Normy wektora: Norma euklidesowa, norma maksimum, norma 1
- Normy macierzy: Norma spektralna, norma wierszowa, norma kolumnowa.
- Wyznacznik macierzy: Determinant.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 2; macierze górnotrójkątne i dolnotrójkątne
- Macierz górnotrójkątna: Macierz z której wszystkie elementy poniżej przekątnej są równe 0.
- Macierz dolnotrójkątna: Macierz z której wszystkie elementy powyżej przekątnej są równe 0.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 2; działania na macierzach
- Iloraz różnicowy rzędu k (definicja).
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wykład 2; działania na macierzach
- Przekształcenia elementarne macierzy: zamiana miejscami dwóch wierszy lub kolumn, przemnożenie wiersza lub kolumny przez niezerową stałą, dodanie wiersza do innego wiersza lub kolumny do innej kolumny.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Układ równań liniowych (URL)
- Układ równań liniowych: Układ równań liniowych nazywamy zgodnym (rozwiązalnym), jeśli posiada chociaż jedno rozwiązanie. Nazywamy go niezgodnym (nierozwiązalnym, sprzecznym) jeśli nie posiada rozwiązania. Jeśli układ zgodny posiadający dokładnie jedno rozwiązanie nazywamy oznaczonym. Jeśli układ ma więcej niż jedno rozwiązanie to nazywamy go nieoznaczonym.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Układ równań liniowych (URL)
- Układy równoważne: Układy równań liniowych są równoważne, jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego za pomocą skończonej liczby operacji elementarnych.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Podział metod
- Metody dokładne: metoda podstawiania, metoda przeciwnych współczynników, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa, metoda eliminacji Gaussa-Jordana, metody wykorzystujące rozkłady macierzy A.
- Metody aproksymacyjne (iteracyjne): metoda Richardsona, iteracji prostych (Jacobiego), Gaussa-Seidela, nadrelaksacji, najszybszego spadku, gradientów sprzężonych.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
-
Temat: Metody dokładne (URL)
-
Rozwiązanie układu równań liniowych, gdy liczba niewiadomych równa jest liczbie równań: x=A¯¹.b
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Wzory Cramera
- Wzoru Cramera.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Błędy w obliczeniach numerycznych
-
Przyczyny błędów obliczeń numerycznych:
- Błąd danych wejściowych
- Błąd zaokrągleń
- Błąd metody.
- Pamięć.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Błędy zaokrągleń
- Problem kasowania cyfr znaczących: Mały błąd względny danych wejściowych podczas mnożenia i dzielenia powoduje mały błąd względny wyniku. Mały błąd względny danych wejściowych podczas dodawania i odejmowania może stać się duży, jeśli |x+y| < |x|+|y|.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Odejmowanie bliskich wielkości
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Odejmowanie bliskich wielkości
- Przykład: Obliczanie objętości cienkiej powłoki kulistej dla h << r - gdy (r+h)≈r.
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Aproksymacja funkcji
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Aproksymacja funkcji - Interpolacja wielomianowa
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Twierdzenie
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Konstrukcja wielomianu interpolacyjnego
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Baza jednomianów
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Baza wielomianów Lagrange'a
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Baza wielomianów Newtona
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Ilorazy różnicowe
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Wzór interpolacyjny Newtona
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Przykład
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - Wzór interpolacyjny Newtona - algorytm
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - wielomiany Lagrange'a
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa - wielomiany Lagrange'a - Przykład
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Błąd interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Błąd interpolacji wielomianowej - Przykład
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Zbieżność wielomianów interpolacyjnych
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych (spline)
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych (spline)
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych (spline)
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych (spline)
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa – wielomiany Czebyszewa
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja wielomianowa – wielomiany Czebyszewa
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja Hermite'a
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Interpolacja trygonometryczna
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Ekstrapolacja
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Ekstrapolacja - Przykład
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Zagadnienia
- Aproksymacja: aproksymacja punktowa, aproksymacja integralna, aproksymacja wielomianowa, aproksymacja szeregami potęgowymi, aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych, aproksymację trygonometryczną, aproksymację za pomocą funkcji sklejanych, aproksymację funkcjami wymiernymi (aproksymacje Pade'go).
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Aproksymacja - uogólnienie
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Norma - przypomnienie
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Aproksymacja jednostajna
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Aproksymacja średniokwadratowa
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Twierdzenie Weierstrassa
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Ekstremum funkcji jednej zmiennej
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Ekstremum funkcji jednej zmiennej
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Ekstremum funkcji jednej zmiennej
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Algorytmy zerowego rzędu
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Metoda Połowienia
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Metoda złotego podziału
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Metoda Aproksymacji Kwadratowej algorytm Powella
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Aproksymacja Sześcienna funkcji - algorytm Davidona
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Ekstremum funkcji wielu zmiennych
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Gradient funkcji wiel zmiennych
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Ekstremum funkcji wielu zmiennych - metody bezgradientowe
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Metody gradientowe
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Metoda gradientu prostego
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Metoda najszybszego spadku
Metody numeryczne - notatki ze studiów
- Temat: Metoda stycznych (Newtona)
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Related Documents
Description
Sprawdź swoją wiedzę na temat arytmetyki komputerowej, w tym pojęć takich jak liczby maszynowe, błędy względne i bezwzględne, oraz ich wpływ na obliczenia. Ten quiz zawiera pytania dotyczące formuł oraz definicji kluczowych dla zrozumienia numerycznych aspektów obliczeń komputerowych.