Aritmética: Números Naturales y Suma

UNIDAD 1: ARITMÉTICA

• Cubre el estudio de los números naturales y operaciones con ellos.

1. NÚMEROS NATURALES

• El conjunto de los números naturales se denota por $\mathbb{N}$.
• $\mathbb{N} = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...\rbrace$
• Los números naturales se utilizan para contar y ordenar.

2. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

2.1 SUMA

• La suma o adición de números naturales resulta en otro número natural.

Términos de la suma:

• Sumandos: Los números que se suman.
  • Ejemplo: 345 y 213.
• Suma o total: El resultado de la suma.
  • Ejemplo: 558 en (345 + 213).

Propiedades de la suma:

• Asociativa: La agrupación de los sumandos no cambia el resultado.
  • $(a + b) + c = a + (b + c)$
  • Ejemplo: $(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) \Rightarrow 10 = 10$
• Conmutativa: El orden de los sumandos no cambia la suma.
  • $a + b = b + a$
  • Ejemplo: $2 + 3 = 3 + 2 \Rightarrow 5 = 5$
• Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro porque cualquier número sumado con 0 da el mismo número.
  • $a + 0 = a$
  • Ejemplo: $5 + 0 = 5$

2.2 RESTA

• La resta o sustracción de números naturales no siempre da como resultado otro número natural.

Términos de la resta:

• Minuendo: El número del que se resta.
  • Ejemplo: 567.
• Sustraendo: El número que se resta.
  • Ejemplo: 456.
• Diferencia: El resultado de la resta.
  • Ejemplo: 111 en (567 - 456).

Propiedades de la resta:

• No tiene la propiedad asociativa.
• No tiene la propiedad conmutativa.

2.3 MULTIPLICACIÓN

• La multiplicación o producto de números naturales resulta en otro número natural.

Términos de la multiplicación:

• Factores: Los números que se multiplican.
  • Ejemplo: 432 y 23.
• Producto: El resultado de la multiplicación.
  • Ejemplo: 9936 en (432 x 23).

Propiedades de la multiplicación:

• Asociativa: La agrupación de los factores no cambia el resultado.
  • $(a. b). c = a. (b. c)$
  • Ejemplo: $(2. 3).4 = 2. (3. 4) \Rightarrow 24 = 24$
• Conmutativa: El orden de los factores no cambia el producto.
  • $a. b = b. a$
  • Ejemplo: $2. 3 = 3. 2 \Rightarrow 6 = 6$
• Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro porque cualquier número multiplicado por 1 da el mismo número.
  • $a. 1 = a$
  • Ejemplo: $5. 1 = 5$
• Distributiva: La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.
  • $a. (b + c) = a. b + a. c$
  • Ejemplo: $2. (3 + 4) = 2. 3 + 2. 4 \Rightarrow 14 = 14$

2.4 DIVISIÓN

• La división de números naturales no siempre da como resultado otro número natural.

Términos de la división:

• Dividendo: El número que se divide.
  • Ejemplo: 87.
• Divisor: El número por el que se divide.
  • Ejemplo: 9.
• Cociente: El resultado de la división.
  • Ejemplo: 9.
• Resto: La cantidad que sobra después de la división.
  • Ejemplo: 6.
• $D = d. c + r$
• $r < d$

Tipos de divisiones:

• División exacta: El resto es cero. $r = 0$
• División entera: El resto es distinto de cero. $r \neq 0$

Propiedades de la división:

• No tiene la propiedad asociativa.
• No tiene la propiedad conmutativa.

3. OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver operaciones combinadas, se debe seguir este orden:

1. Resolver operaciones dentro de paréntesis, corchetes o llaves.
2. Resolver multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
3. Resolver sumas y restas de izquierda a derecha.

• Ejemplo: $3. (5 + 4) - 2 + 5. 4 =$ se resuelve paso a paso hasta obtener el resultado final, que es 45.

4. POTENCIAS

• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.
• $a^n = a. a. a. a... a$ (n-veces)
  • $a$ → base
  • $n$ → exponente
• Ejemplos:
  • $2^5 = 2. 2. 2. 2. 2 = 32$
  • $3^4 = 3. 3. 3. 3 = 81$

4.1 PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

• $a^0 = 1$
• $a^1 = a$
• $a^n. a^m = a^{n+m}$
• $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• $(a^n)^m = a^{n. m}$
• $(a. b)^n = a^n. b^n$
• $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

4.2 CUADRADOS PERFECTOS Y CUBOS PERFECTOS

• Un cuadrado perfecto se obtiene al elevar un número al cuadrado.

  • Ejemplos:
    • $4 = 2^2$
    • $9 = 3^2$
    • $16 = 4^2$

• Un cubo perfecto se obtiene al elevar un número al cubo.

  • Ejemplos:
    • $8 = 2^3$
    • $27 = 3^3$
    • $64 = 4^3$

5. RAÍZ CUADRADA

• La raíz cuadrada exacta de un número $a$ es otro número $b$ cuyo cuadrado es igual a $a$.

• $\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2 = a$

  • $\sqrt{ }$ → radical
  • $a$ → radicando
  • $b$ → raíz

• Ejemplos:

  • $\sqrt{9} = 3 \Leftrightarrow 3^2 = 9$
  • $\sqrt{16} = 4 \Leftrightarrow 4^2 = 16$

• Si un número no tiene raíz cuadrada exacta, se puede calcular la raíz entera.

  • Ejemplo:
    • $\sqrt{15} = 3$ y el resto es 6 porque $3^2 + 6 = 15$
    • $3$ → raíz entera
    • $6$ → resto

6. DIVISIBILIDAD

6.1 MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

• Los múltiplos de un número son los que se obtienen al multiplicar ese número por todos los números naturales.
• Ejemplo: Múltiplos de $3 \rightarrow 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...$

6.2 DIVISORES DE UN NÚMERO

• Los divisores de un número son aquellos números que lo dividen exactamente.
• Ejemplo: Divisores de $18 \rightarrow 1, 2, 3, 6, 9, 18$

6.3 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

• Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o cifra par.
• Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
• Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la suma de las cifras que ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11.

6.4 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

• Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
  • Ejemplos: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,...$
• Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
  • Ejemplos: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,...$
• El número 1 no es ni primo ni compuesto, solo tiene un divisor: él mismo.*

6.5 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

• Todo número compuesto se puede descomponer de forma única en producto de factores primos.
• Ejemplo: Descomponer el número 60 en factores primos.
  • $60 = 2^2. 3. 5$

6.6 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

• El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.

• Para calcular el M.C.D. de dos o más números se siguen estos pasos:

1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes elevados al menor exponente.
3. Se multiplican los factores elegidos.

• Ejemplo: Calcular el M.C.D. de 48 y 60.
  • $48 = 2^4. 3$
  • $60 = 2^2. 3. 5$
  • M.C.D. $(48, 60) = 2^2. 3 = 12$

6.7 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero.

• Para calcular el m.c.m. de dos o más números se siguen estos pasos:

1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
3. Se multiplican los factores elegidos.

• Ejemplo: Calcular el m.c.m. de 12 y 18.
  • $12 = 2^2. 3$
  • $18 = 2. 3^2$
  • m.c.m. $(12, 18) = 2^2. 3^2 = 36$

Capítulo 14: La Transformada de Laplace

14.1 Definición de la Transformada de Laplace

Definición 14.1.1

• Sea $f(t)$ una función definida para $t \geq 0$, entonces la Transformada de Laplace de $f(t)$, denotada por $F(s)$ o $\mathcal{L}{f(t)}$ se define como

$\qquad \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$

Para todos los valores de s para los cuales converge la integral impropia. Cuando la integral converge, se dice que la función $f(t)$ es Transformable por Laplace.

Teorema 14.1.1 Linealidad

• Si $f(t)$ y $g(t)$ son Transformables por Laplace y $\alpha$ y $\beta$ son constantes, entonces

$\qquad \mathcal{L}{\alpha f(t) + \beta g(t)} = \alpha \mathcal{L}{f(t)} + \beta \mathcal{L}{g(t)}$

Teorema 14.1.2 Transformada de Laplace de Derivadas

• Si $f(t)$ es continua para $t \geq 0$ y de orden exponencial y si $f'(t)$ es continua por tramos en $[0, \infty)$, entonces

$\qquad \mathcal{L}{f'(t)} = s \mathcal{L}{f(t)} - f(0)$

$\qquad \mathcal{L}{f''(t)} = s^2 \mathcal{L}{f(t)} - sf(0) - f'(0)$

$\qquad \mathcal{L}{f'''(t)} = s^3 \mathcal{L}{f(t)} - s^2f(0) - sf'(0) - f''(0)$

• En general

$\qquad \mathcal{L}{f^{(n)}(t)} = s^n \mathcal{L}{f(t)} - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$

Teorema 14.1.3

• Si $f(t)$ es Transformable por Laplace y $n > 0$, entonces

$\qquad \mathcal{L}{t^n f(t)} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)$

Teorema 14.1.4 Traslación en el eje s

• Si $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$ y $a$ es cualquier constante, entonces

$\qquad \mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s - a)$

Teorema 14.1.5 Traslación en el eje t

• Si $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$ y $a > 0$, entonces

$\qquad \mathcal{L}{f(t - a)u(t - a)} = e^{-as} F(s)$

Donde $u(t - a)$ es la función escalón unitario definida como

$\qquad u(t - a) = \begin{cases} 0, & t < a \ 1, & t \geq a \end{cases}$

Teorema 14.1.6 Transformada de Laplace de una Integral

• Si $f(t)$ es continua por tramos para $t \geq 0$ y de orden exponencial, entonces

$\qquad \mathcal{L}{\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau } = \frac{F(s)}{s}$

Teorema 14.1.7 Teorema de Convolución

• Sean $f(t)$ y $g(t)$ continuas por tramos para $t \geq 0$ y de orden exponencial, entonces

$\qquad \mathcal{L}{\int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) d\tau } = F(s) G(s)$

• Donde $F(s) = \mathcal{L}{f(t)}$ y $G(s) = \mathcal{L}{g(t)}$.

• La integral $\int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$ se llama la convolución de $f(t)$ y $g(t)$ y se denota por $f * g$. Por lo tanto, podemos reescribir (12) como

$\qquad \mathcal{L}{f * g} = F(s) G(s)$

Álgebra lineal Curso y ejercicios corregidos

Jean-Marie Monier

La tabla de contenuto proporciona un resumen comprensivo de los temas cubiertos en el curso, que van desde los espacios vectoriales hasta las formas cuadráticas.

Tabla de Contenidos

• Capítulo 1: Espacios vectoriales
  • Definiciones y ejemplos
  • Subespacios vectoriales
  • Suma de subespacios vectoriales
  • Aplicaciones lineales
• Capítulo 2: Matrices
  • Cálculo matricial
  • Matrices y aplicaciones lineales
  • Rango de una matriz
  • Matrices cuadradas invertibles
• Capítulo 3: Sistemas lineales
  • Generalidades
  • Sistemas de Cramer
  • Método del pivote de Gauss
• Capítulo 4: Dimensión de un espacio vectorial
  • Generadores y bases
  • Dimensión de un espacio vectorial
  • Rango de una aplicación lineal
• Capítulo 5: Espacios vectoriales de dimensión finita
  • Teoremas fundamentales
  • Aplicaciones lineales en dimensión finita
  • Traza de una matriz cuadrada
• Capítulo 6: Determinantes
  • Formas multilineales alternadas
  • Determinante de una familia de vectores
  • Determinante de un endomorfismo
  • Determinante de una matriz cuadrada
• Capítulo 7: Reducción de los endomorfismos
  • Elementos propios de un endomorfismo
  • Polinomio característico
  • Diagonalización
  • Trigonalización
• Capítulo 8: Espacios prehilbertianos reales
  • Producto escalar
  • Desigualdad de Cauchy-Schwarz, norma
  • Ortogonalidad
  • Proyecciones ortogonales y distancia a un subespacio
  • Endomorfismos simétricos
• Capítulo 9: Espacios euclidianos
  • Bases ortonormales
  • Grupo ortogonal
  • Endomorfismos ortogonales
• Capítulo 10: Formas quadráticas
  • Formas bilineales simétricas
  • Formas quadráticas
  • Reducción de Gauss
• Índice

Redes Convolucionales

Motivación

• Las redes neuronales convencionales no escalan bien a imágenes grandes, debido a demasiados parámetros.

Observaciones

• En las imágenes, los pixeles cercanos están más correlacionados que los lejanos.
• Las características aprendidas en una parte de la imagen pueden aplicarse a otras regiones.

Convolución Discreta 2D

• La convolución discreta 2D de una imagen de entrada $I$ con un filtro (kernel) $K$ produce un mapa de características $S$.

Definición

• $S(i, j) = (I * K)(i, j) = \sum_m \sum_n I(m, n)K(i - m, j - n)$
  • $I$: Imagen de entrada
  • $K$: Filtro o kernel
  • $S$: Mapa de características (feature map)

Cálculo

• El valor de $S(i, j)$ se obtiene deslizando el filtro $K$ sobre la imagen $I$, centrando $K$ en la posición $(i, j)$, multiplicando los valores de $K$ por los valores correspondientes de $I$, y sumando los resultados.

Pooling

• Reduce la dimensionalidad del mapa de características.

Max-Pooling

• Reduce tomando el valor máximo de cada región.

Average-Pooling

• Reduce tomando el valor promedio de cada región.

Arquitectura de CNN

• Una CNN típica consiste en varias capas convolucionales y de pooling, seguidas de una o más capas totalmente conectadas.

Capas Convolucionales

• Extraen características de la imagen de entrada.

Capas de Pooling

• Reducen la dimensionalidad de los mapas de características.

Capas Totalmente Conectadas

• Clasifican las características extraídas por las capas convolucionales y de pooling.

Ejemplo: LeNet-5

• Capa de entrada: Imagen de 32x32
• Varias capas convolucionales, de pooling y totalmente conectadas para clasificar dígitos.

Ventajas de las CNN

• Compartición de parámetros, invariancia traslacional, aprendizaje automático de características.

Desventajas de las CNN

• Requieren grandes cantidades de datos y son computacionalmente costosas.

Aplicaciones de las CNN

• Clasificación de imágenes, detección de objetos, segmentación semántica, reconocimiento facial y procesamiento del lenguaje natural.

Capítulo 2: Álgebra Relacional

• El álgebra relacional es un lenguaje de consulta procedimental.
• Consiste en un conjunto de operaciones que toman una o dos relaciones como entrada y producen una nueva relación en el resultado.

Operaciones Fundamentales

• Selección ($\sigma$)
• Proyección ($\Pi$)
• Unión ($\cup$)
• Diferencia (–)
• Producto cartesiano ($\times$)
• Renombrar ($\rho$)

Operaciones Adicionales

• Estas operaciones se pueden definir en términos de operaciones fundamentales:
  • Intersección ($\cap$)
  • Empalme ($\Join$)
  • División ($\div$)

1. Operación de Selección

• El operador de selección selecciona tuplas que satisfacen un predicado dado
• Notación: $\sigma_p(r)$
  • Donde:
    • $\sigma$ representa el símbolo sigma (griego) utilizado para la selección.
    • $p$ es el predicado
    • $r$ es una relación
• El predicado $p$ puede utilizar cualquiera de los siguientes operadores: $=, \neq, >, <, \geq, \leq$

Mecánica Cuántica

¿Qué es la Mecánica Cuántica?

• Teoría fundamental en física que describe las propiedades físicas de la naturaleza a escala atómica y subatómica; se diferencia de la mecánica clásica.

Conceptos Clave

• Cuantización: La energía, el momento y otras cantidades físicas están cuantizadas, tomando solo valores discretos.
• Dualidad Onda-Partícula: Las partículas exhiben propiedades tanto ondulatorias como corpusculares.
• Principio de Incertidumbre: Existe un límite fundamental en la precisión con que se pueden conocer simultáneamente ciertos pares de propiedades físicas de una partícula, como la posición y el momento.
• Superposición: Un sistema cuántico puede existir en múltiples estados simultáneamente hasta que se mide.
• Entrelazamiento: Dos o más partículas pueden enlazarse de tal manera que el estado de una partícula afecte instantáneamente al de la otra, independientemente de la distancia entre ellas.

Formulación Matemática

Función de Onda

• El estado de un sistema cuántico se describe mediante una función de onda, denotada por $\Psi(r, t)$, donde $r$ es la posición y $t$ el tiempo.

Ecuación de Schrödinger

• Gobierna la evolución temporal de la función de onda:
  • $i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi$
  • Donde:
    • $i$ es la unidad imaginaria
    • $\hbar$ es la constante de Planck reducida
    • $\frac{\partial \Psi}{\partial t}$ es la derivada temporal de la función de onda
    • $\hat{H}$ es el operador Hamiltoniano, que representa la energía total del sistema

Operadores y Observables

• En la mecánica cuántica, los observables físicos están representados por operadores.

Aplicaciones

• La mecánica cuántica tiene muchas aplicaciones en diversos campos, incluyendo:
  • Física atómica y molecular
  • Física de la materia condensada
  • Computación cuántica
  • Física de partículas

Experimentos Clave

• Experimento de la Doble Ranura: Demuestra la dualidad onda-partícula.
• Experimento de Stern-Gerlach: Demuestra la cuantización del momento angular.
• Experimentos de Entrelazamiento Cuántico: Confirman la existencia del entrelazamiento cuántico.

Desafíos y Direcciones Futuras

• Interpretación de la Mecánica Cuántica: No hay consenso sobre la interpretación de la misma.
• Gravedad Cuántica: Conciliar la mecánica cuántica con la relatividad general.
• Tecnologías Cuánticas: Desarrollo de tecnologías cuánticas prácticas.

Introducción al Análisis CFD

• El análisis de dinámica de fluidos computacional (CFD) es un método de vanguardia utilizado en ingeniería y ciencia.
• Objetivo: simular el flujo de fluidos, la transferencia de calor y los fenómenos físicos relacionados.

¿Qué es CFD?

• CFD emplea métodos y algoritmos numéricos para resolver y analizar problemas relacionados con flujos de fluidos.

Aspectos clave

• Soluciones Numéricas: Utiliza técnicas de discretización para resolver ecuaciones de gobierno.
• Simulación del Comportamiento del Fluido: Predice cómo se comportarán los fluidos en diferentes escenarios.
• Amplia Gama de Aplicaciones: Aplicable a la industria aeroespacial, automotriz, ingeniería química y más.

¿Cómo Funciona CFD?

• El proceso de CFD involucra varias etapas clave, desde la definición del problema hasta el análisis de resultados.

Pasos en el Análisis CFD

1. Definición del Problema: Definir los objetivos y el alcance de la simulación.
2. Creación de la Geometría: Crear un modelo geométrico del dominio del fluido.
3. Mallado: Dividir la geometría en celdas o elementos pequeños.
4. *Aplicación de Condiciones de Contorno: Establecer las propiedades del fluido, entradas, salidas, etc.
5. Resolución: Ejecutar la simulación mediante un software de CFD.
6. Post-Procesamiento: Analizar y visualizar los resultados.

Ventajas de CFD

• Reducción de Costos: Disminuye la necesidad de prototipos físicos y experimentos.
• Información Detallada: Proporciona información detallada sobre el comportamiento del fluido.
• Optimización: Permite la optimización de diseños y procesos.
• Versatilidad: Aplicable a una amplia gama de problemas e industrias.

Limitaciones de CFD

• Recursos Computacionales: Requiere una gran potencia y tiempo de cálculo.
• Precisión: Los resultados dependen de la exactitud de los modelos y de las condiciones de contorno.
• Experiencia: Requiere usuarios expertos para configurar y validar simulaciones.
• Simplificaciones: Implica simplificaciones y suposiciones que pueden afectar a la exactitud.

Aplicaciones de CFD

• CFD es una herramienta versátil con aplicaciones en muchas industrias.

Ejemplos

• Aeroespacial: Simulación del flujo de aire alrededor de las aeronaves y optimización del diseño aerodinámico.
• Automotriz: Análisis del flujo de aire alrededor de los vehículos para reducir la resistencia y mejorar la eficiencia del combustible.
• Ingeniería Química: Simulación de los procesos de mezcla y reacción en los reactores.
• Electrónica: Gestión del rendimiento térmico de los componentes electrónicos.
• Ingeniería Civil: Análisis de las cargas de viento sobre edificios y estructuras.

El Control de Ecuaciones

• Las simulaciones de CFD se basan en ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos y la transferencia de calor.

Ecuaciones Comunes

• Ecuaciones de Navier-Stokes: Describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas.
• Ecuación de Continuidad: Expresa la conservación de la masa.
• Ecuaciones de Energía: Describe la conservación de la energía.

Software CFD

• Varios paquetes de software disponibles para realizar simulaciones CFD.

Opciones Populares

• ANSYS Fluent: Software CFD comercial ampliamente utilizado.
• OpenFOAM: Software CFD de código abierto con una gran comunidad de usuarios.
• COMSOL Multiphysics: Software para simulaciones multifísica, incluida la dinámica de fluidos.
• STAR-CCM+: Software completo para CFD para una amplia gama de aplicaciones.

Conclusión

• CFD: una herramienta de análisis eficaz para simular la dinámica de fluidos y la transferencia de calor.

Tensión en Cuerdas

• La tensión en cuerdas se produce cuando una cuerda está tensa, transmitiendo una fuerza de tracción a los objetos unidos a ella.

Suposiciones

• Cuerda sin masa
• La cuerda es inelástica

Tensión

• Considera un bloque de masa $m$ tirado hacia la derecha por una cuerda.
  • La fuerza ejercida por la cuerda se llama tensión ($T$).
  • La tensión es la misma en toda la cuerda.

Ejemplo

• Dos bloques conectados por una cuerda, tirados por una fuerza externa $F$.
  • $F$ es la fuerza externa que tira de los dos bloques
  • $T$ es la tensión en la cuerda que conecta los dos bloques

Segunda Ley de Newton

• Aplicación de la Segunda Ley de Newton:
  • Bloque 1: $T = m_1 a$
  • Bloque 2: $F - T = m_2 a$

Resolviendo la aceleración

• Resolviendo la aceleración ($a$):
  • $a = \frac{F}{m_1 + m_2}$

Resolviendo la tensión

• La tensión ($T$) se puede hallar mediante la aceleración:
  • $T = m_1 a = \frac{m_1 F}{m_1 + m_2}$

Tensión en un Ascensor que Acelera

• Escenario: Una persona de masa $m$ de pie en un ascensor que acelera hacia arriba con aceleración $a$.
  • $R$ es la fuerza de reacción (tensión)
  • $mg$ es el peso de la persona

Aplicando la Segunda Ley de Newton

• Aplicando la Segunda Ley de Newton:
  • $R - mg = ma$

Resolviendo la fuerza de reacción

Resolviendo la fuerza de reacción ($R$): $R = mg + ma = m(g + a)$

Tensión en una Cuerda Sobre una Polea

• Suposiciones:
  • Cuerda y polea sin masa, sin fricción

Escenario

• Dos masas, $m_1$ y $m_2$, conectadas por una cuerda sobre una polea.
  • $T$ es la tensión en la cuerda
  • Asumiendo $m_2 > m_1$

Ecuaciones de Movimiento

• Las ecuaciones de movimiento son:
  • $T - m_1 g = m_1 a$
  • $m_2 g - T = m_2 a$

Resolviendo la aceleración

• Resolviendo la aceleración ($a$):
  • $a = \frac{g(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2}$

Resolviendo la tensión

• Resolviendo la tensión ($T$):
  • $T = \frac{2 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$

Sistema en Equilibrio

• Cuando el sistema está en equilibrio (sin aceleración):
  • $T = m_1 g = m_2 g$
• Lo que implica:
  • $m_1 = m_2$

Matrikel1

El objetivo de esta actividad es proporcionarle experiencia práctica con la regresión lineal y tomar decisiones sobre la base de los resultados estadísticos.

Materiales

• Ordenador con R y RStudio instalados
• Paquetes R: tidyverse

Procedimiento

Parte 1: Regresión Lineal

1. Carga el conjunto de datos "cars" en R. Este conjunto de datostiene datos sobre la velocidad yla distancia de detención de lostransporte.

data(cars)

2. Realiza una regresión lineal para modelar la relación entre la velocidad y la distancia de frenado.

model  ### Teoría Algorítmica de Juegos

#### ¿Qué es la Teoría Algorítmica de Juegos?
- **Teoría de Juegos:** estudio de modelos matemáticos de interacciones estratégicas entre agentes racionales.
- **Diseño de Algoritmos:** el diseño y análisis de procedimientos eficientes para resolver problemas computacionales.
- **Teoría Algorítmica de Juegos (AGT):** se encuentra en la intersección de la Teoría de Juegos y el Diseño de Algoritmos.

#### Teoría de juegos tradicional
- No considera explícitamente las cuestiones computacionales.
- Asume que los jugadores pueden calcular sus estrategias óptimas y tomar decisiones óptimas.
- No proporciona algoritmos en tiempo polinomial para calcular conceptos de solución de la teoría de juegos.

#### Diseño de algoritmos tradicional
- No considera explícitamente el comportamiento estratégico.
- Asume que la entrada es dada y no depende de individuos egoístas.
- No se ocupa de los incentivos.

#### ¿Porqué es importante AGT?
- **Internet ha tenido un revolucionario impacto en las interacciones entre individuos (agentes):**
    - Subastas online (Ej:, eBay, Google, subastas de anuncios).
    - Redes sociales (Ej:, Facebook, Twitter)
    - Compartir recursos (Ej:, BitTorrent)
    - Sistemas peer-to-peer (Ej,: compartir ficheros)
- **Estos sistemas multi-agente tienen participantes estratégicos.**
- Los usuarios actúan en su propio interés.
- Todo el sistema debe ser diseñado teniendo en cuenta lo intereses de los participantes.
- **La teoría clásica de juegos no considera la complejidad computacional.**
    - ¿Podemos computar eficientemente los equilibrios?
    - ¿Que ocurre si los jugadores tiene recursos computacionales limitados?
- **El diseño de algoritmos clásico no considera incentivos.**
    - ¿Cómo diseñamos los mecanismos que motivan a los usuarios a comportarse bien?
    - ¿Podemos cuantificar la pérdida de eficiencia debidos al comportamiento egoísta ?

#### Temas en AGT
- **Diseño de Mecanismos.**	¿Cómo diseñar	reglas	de	un	juego	para	ganar un	deseado resultado,	incluso	cuando	lo jugadores actúan de forma estratégica.
- *Precio de Anarquía:**	¿Cuán	ineficiente	es un	sistema	debido al	comportamiento	egoísta	de	lo agentes?
- *Computación de Equilibrios:**	¿Cómo computar eficientemente los equilibrios	de Nash y otros	conceptos de solución de		la	teoría	de		juegos?
- *Elección Social:**	¿Cómo	agregar	las	preferencias	de		múltiples	agentes para	hacer una	decisión	colectiva?
- *Juegos de Red.**	¿Cómo	las	interacciones	estratégicas	entre	los	agentes afectan	lo	estructural y función	de	las	redes?
- *Subastas:** ¿Cómo	diseñar	subastas	que	son	eficientes,	maximizan	el	ingreso y prueba-estrategia ?
- *División	Justa:**	¿Cómo	dividir	recursos	justamente	entre	múltiples	agentes con	diferentes	preferencias
- *Enrutamiento egoísta** ¿Cómo cuantificamos la pérdida de eficiencia en enrutamiento debido al enrutamiento	egoísta ?

##### Enrutamiento egoísta
Una red con $n$ jugadores.
Cada jugador quiere enrutar el tráfico desde