Arithmetic Progression: Basic Concepts and Applications

Introduction

Арифметическая прогрессия, или геометрическая последовательность с числом разности между элементами (d), является одной из наиболее часто используемых математических структур в статистике и других дисциплинах. Эта статья рассмотрет основные концепции и применения арифметической прогрессии.

Арифметическая Прогрессия

Любая последовательность целых чисел {a_n} имеет форму арфиметической прогрессии:

an = ... + d + (n - 1) * d

где а_{n} — n-ый член последовательности, d — длины периода последовательности, и n — золотое сечение. Если n > 1, то a_{n} будет отличным от а_{n-1}, если n < 1, то a_{n} будет равным предыдущему значению. Для каждого заданного интервала арифметического роста, существует только один такой длины период.

Для преобразования двумерных векторов в арифметическую позицию, можно использовать следующий алгоритм:

for(i=0; i<n; ++i){
    t += index[i];
    index[i] = t % i;
}

Классическая арифметическая прогрессия может быть расширена на вещественные числа, если вводится произвольное изменение длины периода. В этом случае, последовательность с константой инкремента изменяется по экспоненциальному закону.

Примеры Арифметической Прогрессии

Пусть нами заданная последовательность целых чисел {a}, где а_{1}=а, а_{k} и дополнительное условие что при бесконечном росте последовательности, сумма каждого двух следующих членов должна быть равна 3*a. Тогда, для решения задачи, необходимо выбрать такое значение а, чтобы все последующие члены последовательности были меньше или равны данному, а также удовлетворяли указанному условию.

Постройте последовательность a_1=7, a_n > a_(n-1). Если же предположить, что а_{1}=6, то для каждого n≤2^(n), существует некоторая последовательность целых чисел {b}, такая что {a+b} — арифметическая прогрессия с общим элементом равным а. Это можно доказать взаимной индукцией и решением задачи на случайный гипотезу.