Aplicações de Derivadas: Taxas Relacionadas

Capítulo 4 Aplicações de Derivadas

• O estudo das taxas de variação relacionadas explora como as taxas de variação de duas ou mais variáveis estão interligadas.
• Se y = f(x), então dy/dx representa a taxa de variação de y em relação a x.
• A regra da cadeia para taxas relacionadas é expressa como dy/dt = (dy/dx) * (dx/dt).
• Uma notação alternativa é ẏ = dy/dt e ẋ = dx/dt, então a regra da cadeia é ẏ = (dy/dx) * ẋ.

Solução de Problemas de Taxas Relacionadas

• Ler o problema cuidadosamente é o primeiro passo para configurar uma solução.
• Um diagrama pode estruturar um problema visualmente.
• A notação deve representar as variáveis relevantes.
• Formular equações com base nas informações fornecidas.
• Expressar as informações fornecidas em termos de derivados.
• Construir uma equação relacionando as variáveis.
• Usar a regra da cadeia para derivar a equação em relação a t.
• Substituir e resolver a taxa desconhecida.

Exemplo 1: Taxa de variação do volume de um balão

• O raio de um balão esférico infla a 2 cm/s e o problema pretende encontrar a taxa de variação do volume quando o raio atinge 3 cm.
• A equação $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ relaciona o volume $(V)$ ao raio($r$) de uma esfera.
• Usando a regra da cadeia, $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
• Quando r = 3 cm e dr/dt = 2 cm/s, dV/dt = 72π cm³/s.

Exemplo 2: Taxa de variação do nível de água em um tanque cônico

• A água é bombeada para dentro a 2 m³/min, encontrar a taxa segundo a qual o nível da água está a aumentar quando a água atinge os 3 m de profundidade.
• O volume da água, o raio da superfície e a altura são representados pelas variáveis V, r e h, respetivamente.
• A formula do volume é $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
• Triângulos semelhantes podem ser usados para expressar $r$ em termos de $h: r = \frac{h}{2}$.
• Após a substituição,: $V = \frac{\pi}{12} h^3$.
• Após a derivação: $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4} h^2 \frac{dh}{dt}$.
• Resolvendo para dh/dt: $\frac{dh}{dt} = \frac{4}{\pi h^2} \frac{dV}{dt}$.
• Quando h = 3 m e dV/dt = 2 m³/min, dh/dt ≈ 0,28 m/min.

4.2 Máximos e Mínimos

• Um máximo absoluto (ou máximo global) ocorre no ponto C se $f(c) \geq f(x)$ para todos os valores de x no domínio de f, neste caso f(c) é chamado de valor máximo de f em D.
• Um mínimo absoluto (ou mínimo global) ocorre no ponto C se $f(c) \leq f(x)$ para todos os valores de x no domínio de f, neste caso f(c) é chamado de valor mínimo de f em D.
• Ambos os valores máximo e mínimo de f são chamados de Valores Extremos.
• Um máximo local (ou máximo relativo) ocorre no ponto C se $f(c) \geq f(x)$ sempre que x está próximo de C
• Um mínimo local (ou mínimo relativo) ocorre no ponto C se $f(c) \leq f(x)$ sempre que x está próximo de C

Teorema do Valor Extremo

• Se f é contínua em um dado intervalo fechado $[a, b]$, então f atinge um valor máximo (f(c)) e um valor mínimo (f(d)).

Definição de Números Críticos

• Um número crítico é um número c no domínio onde f'(c) = 0 ou f'(c) não existe.

Teorema de Fermat

• Se f tem um máximo local ou mínimo local em c, e f'(c) existe, então f'(c) = 0.

Método de Intervalo Fechado

• Para encontrar os valores absolutos máximo e mínimo de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]:
• Determinar os valores de f nos números críticos dentro de (a, b).
• Calcular f(x) nos pontos finais do intervalo.
• Selecionar o maior e o menor dos valores calculados para identificar os valores máximos e mínimos absolutos, respetivamente.

Exemplo 3: Encontrando valores extremos absolutos

• Para encontrar os valores absolutos máximo e mínimo da função $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ no intervalo [-1/2, 4].
• Os números críticos $x = 0$ e $x = 2$ são determinados encontrando onde a derivada $f'(x) = 3x^2 - 6x$ é igual a zero.
• Os valores da função nos números críticos e nos pontos finais são calculados: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}, f(0) = 1, f(2) = -3, f(4) = 17$.
• Conclui-se que o valor máximo absoluto é 17 em x = 4 e o valor mínimo absoluto é -3 em x = 2.

MongoDB Guía de Inicio Rápido

• MongoDB é um banco de dados NoSQL que é usado para armazenar dados.

Conectando a MongoDB

• Para conectar-se ao MongoDB, use o seguinte comando:

mongosh

Bases de Datos

• Mostrar todas as bases de dados com o seguinte comandojavascript show dbs ou javascript show databases.
• Para mudar o usar a base de dados, segue o exemplo com o comandojavascript use name.
• Para mostrar a base de dados atual, usejavascript db.

Colecciones

• Para criar uma coleção, use o seguinte comando:javascript db.createCollection(, ).
• Para mostrar coleções, use o seguinte comando:

show collections
``` or
```javascript
show tables

Documentos

• Para inserir um documento, use o seguinte comando:

db..insertOne( )

• Para inserir vários documentos, use o seguinte comando:

db..insertMany( [ , ...])

• Para consultar documentos, use o seguinte comando:javascript db..find(, ).
• Para atualizar os documentos, use este comando:javascript db..updateOne( , , ).
• Para eliminar os documentos, use:javascript db..deleteMany( , ) ejavascript db..deleteOne( , ).

Recursos Adicionais

• Para mais informações, visite https://www.mongodb.com/docs/.

Aprendizado de Máquina

• É uma área da ciência da computação que permite que os computadores aprendam com os dados sem serem programados explicitamente.
• Arthur Samuel (1959): "Aprendizado de Máquina: campo de estudo que dá aos computadores a capacidade de aprender sem serem explicitamente programados."
• Tom Mitchell (1997): "Diz-se que um programa de computador aprende com a experiência E em relação a alguma tarefa T e alguma medida de desempenho P, se seu desempenho em T, medido por P, melhora com a experiência E."
  • Exemplo: Filtro de spam
    • E = Observação de você sinalizando spam
    • T = Sinalizar spam para novos e-mails
    • P = Número (ou fração) de e-mails de spam classificados corretamente.

Tipos de Sistemas de Aprendizado de Máquina

• Aprendizado supervisionado
  • Usa dados rotulados para treinar um modelo.
  • Classificação de spam e classificação de imagens são exemplos de algoritmos de aprendizado supervisionado.
• Aprendizado não supervisionado
  • Usa dados não rotulados para treinar um modelo.
  • Clustering e redução de dimensionalidade são exemplos de algoritmos de aprendizado não supervisionado.
• Aprendizado semissupervisionado
  • Usa dados parcialmente rotulados para treinar um modelo.
  • Marcação de fotos (se apenas algumas pessoas forem identificadas) é um exemplo de algoritmo de aprendizado semissupervisionado.
• Aprendizado por reforço
  • O sistema de aprendizado (agente) aprende tentando maximizar as recompensas do ambiente.
  • Robótica e jogos são exemplos de algoritmos de aprendizado por reforço.
• Aprendizado em lote
  • O sistema é treinado usando todos os dados disponíveis (aprendizado offline).
• Aprendizado online
  • O sistema é treinado incrementalmente, alimentando-o com instâncias de dados sequencialmente, individualmente ou em pequenos grupos chamados de minilotes.
  • A previsão do preço das ações é um exemplo de aprendizado online.
• Aprendizado baseado em instâncias
  • O sistema aprende os exemplos de cor e generaliza para novas instâncias usando uma medida de similaridade.
• Aprendizado baseado em modelos
  • Um modelo é construído a partir dos exemplos.
  • O modelo é usado para fazer previsões.

Principais Desafios do Aprendizado de Máquina

• Pouca quantidade de dados de treinamento
  • Não há dados suficientes para treinar o modelo com precisão.
• Dados de treinamento não representativos
  • Os dados de treinamento podem não ser representativos dos dados do mundo real.
  • Isso pode levar a um modelo que não seja preciso para novos dados.
• Dados de baixa qualidade
  • Os dados estão incorretos, incompletos ou inconsistentes.
  • Isso pode levar a um modelo impreciso.
• Recursos irrelevantes
  • Os recursos podem não ser relevantes para o problema que está sendo resolvido. Isso pode levar a um modelo menos preciso, pois o modelo terá que aprender a ignorar os recursos irrelevantes.
• Sobreajuste dos dados de treinamento
  • O modelo está muito bem ajustado aos dados de treinamento, mas não generaliza bem para novos dados.
• Subajuste aos dados de treinamento
  • O modelo não está bem ajustado o suficiente aos dados de treinamento e não consegue capturar os padrões nos dados.
• Ajuste fino de recursos
  • Seleção de recursos: selecionar os recursos mais úteis para treinar entre os recursos existentes.
  • Engenharia de recursos: combinar recursos existentes para produzir recursos mais úteis.
  • Criar novos recursos: reunir novos dados é o processo de reunir novos dados.
• Simplificando o modelo
  • Selecionar um modelo com menos parâmetros
  • Restringir o modelo
• Coletando mais dados de treinamento
• Diminuir o ruído nos dados de treinamento
  • Corrigir erros de dados e remover valores discrepantes

Método de validação de teste

• Conjunto de dados usado para avaliar o modelo.
• Erro de generalização
• A taxa de erro em novos casos.
• Conjunto de validação
• Dados usados para comparar diferentes modelos.
• Ajuste de hiperparâmetros.
• Hiperparâmetros: Parâmetros do próprio algoritmo de aprendizado.
• Validação cruzada: Divida o conjunto de treinamento em subconjuntos complementares, treine o modelo em cada subconjunto e valide o modelo nos subconjuntos restantes.
• Divisão de dados
• Conjunto de treinamento (80%)
• Conjunto de validação (10%)
• Conjunto de teste (10%)

Capítulo 14 As Leis da Termodinâmica

• Calor é energia transferida entre um sistema e seu ambiente devido a uma diferença de temperatura entre eles.
• O sistema é o conjunto de objetos nos quais focamos nossa atenção.
• O ambiente é todo o resto.
• Calor específico:
  • Caloria (cal)
    • A quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1 g de água em 1°C
      • 1 cal = 4,186 J
  • 1 kcal = 1000 cal = 4186 J
  • BTU (unidade térmica britânica)
    • É a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1 lb de água em 1°F
      • 1 BTU = 252 cal = 1054 J

Calor Específico

• Relaciona o calor transferido a uma substância com sua massa, calor específico e mudança de temperatura.
  • Q = mcΔT
    • Q: calor adicionado/removido
    • m: massa da substância
    • c: calor específico da substância
    • ΔT: mudança de temperatura

Exemplo 14.1

• Determinando a temperatura final quando um ferradura de ferro quente é solta na água.
  • Calor perdido = calor ganho
  • $m_wc_w(T_f - T_{wi}) = -m_ic_i(T_f - T_{wi})$
  • A temperatura final calculada é 29,6°C.

Calor Latente

• Calor latente descreve o calor transferido durante uma mudança de fase, dado por:
  • Q = mL
    • Q: calor adicionado/removido
    • m: massa da substância
    • L: calor latente da substância
• Calor latente de fusão ($L_f$):
  • Calor necessário para mudar 1 kg do sólido para 1 kg do líquido.
• Calor latente de vaporização ($L_v$):
  • Calor necessário para mudar 1 kg do líquido para 1 kg do gás.

Exemplo 14.2

• Calculando a quantidade de gelo que derrete quando um projétil de chumbo é disparado em um bloco de gelo.
  • $m_{ice}L_f = -(mc(T_f - T_i) + \frac{1}{2}mv^2)$,
  • A massa de gelo derretido calculada é $2.6 \times 10^{-4} kg$.

Matplotlib

• É uma biblioteca abrangente usada em Python para criar visualizações estáticas, animadas e interativas.
• Possibilita criar enredos de qualidade de publicação, criar figuras interativas, personalizar estilo e layout visual, exportar para vários formatos de arquivo e incorporar em JupyterLab e interfaces gráficas de usuário.
• Também possui um rico conjunto de pacotes de terceiros construídos.

Plotagem Matplotlib Simples

• Desenvolvendo um gráfico simples usando Matplotlib.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## Dados para plotar
t = np.arange(0.0, 2.0, 0.01)
s = 1 + np.sin(2 * np.pi * t)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, s)

ax.set(xlabel='time (s)', ylabel='voltage (mV)',
       title='O mais simples possível, pessoal')
ax.grid()

fig.savefig("teste.png")
plt.show()

• Componentes principais
  • matplotlib.pyplot:
• Uma coleção de funções que fazem o Matplotlib funcionar como o MATLAB.
  • matplotlib.axes:
• Este é o núcleo do Matplotlib.
• É a região na qual de dados são plotados.
  • matplotlib.figure:
• Este é o contêiner de alto nível para todos os elementos de plotagem.

Tutorial Pyplot

• Descrevendo o uso básico de pyplot para criar diferentes tipos de gráficos em Matplotlib.
• Desenvolvendo uma plotagem com categorias variáveis:

names = ['group_a', 'group_b', 'group_c']
values = [1, 10, 100]

plt.figure(figsize=(9, 3))

plt.subplot(131)
plt.bar(names, values)
plt.subplot(132)
plt.scatter(names, values)
plt.subplot(133)
plt.plot(names, values)
plt.suptitle('Plotagem Categórica')
plt.show()

• Plotagens podem ter suas linhas alteradas usando plt.setp.

lines = plt.plot([1, 2, 3], [1, 2, 3])
plt.setp(lines, color='r', linewidth=2.0)
plt.show()

• Múltiplas Figuras e Eixos

def f(t):
    return np.exp(-t) * np.cos(2*np.pi*t)

t1 = np.arange(0.0, 5.0, 0.1)
t2 = np.arange(0.0, 5.0, 0.02)

plt.figure()
plt.subplot(211)
plt.plot(t1, f(t1), 'bo', t2, f(t2), 'k')

plt.subplot(212)
plt.plot(t2, np.cos(2*np.pi*t2), 'r--')
plt.show()