أنواع العلاقات وخصائص الدوال

Definition: A relation is a set of ordered pairs, typically represented as (x, y).
Types:
- One-to-One: Each element in the domain is paired with a unique element in the range.
- Many-to-One: Multiple elements in the domain map to a single element in the range.
- One-to-Many: A single element in the domain maps to multiple elements in the range (not a function).
- Many-to-Many: Multiple elements from the domain map to multiple elements in the range (not a function).

Definition: A function is a specific type of relation where each input has exactly one output.
Key Properties:
- Domain: Set of all possible input values (x-values) for the function.
- Range: Set of all possible output values (y-values) for the function.
- Injective (One-to-One): No two different inputs produce the same output.
- Surjective (Onto): Every element in the range is mapped by at least one element from the domain.
- Bijective: A function that is both injective and surjective, establishing a one-to-one correspondence.

Coordinate Plane: Functions are represented in a Cartesian coordinate system (x-y plane).
Plotting Points: Identify points (x, f(x)) to visualize the function's behavior.
Types of Functions:
- Linear: Straight line graph; constant rate of change.
- Quadratic: Parabola; vertex as maximum or minimum point.
- Exponential: Rapid increase or decrease; curves upwards or downwards.
- Trigonometric: Periodic functions; sine and cosine waves.
Vertical Line Test: A graph represents a function if no vertical line intersects the graph at more than one point.

Definition: The set of all possible input values (x-values) for which the function is defined.
Finding the Domain:
- Consider restrictions (e.g., division by zero, square roots of negative numbers).
- Use interval notation to express domain (e.g., (-∞, 2) ∪ (2, ∞) excludes x = 2).

Definition: The set of all possible output values (y-values) that a function can produce.
Finding the Range:
- Analyze the function's behavior (increasing/decreasing).
- Consider the minimum and maximum values based on the function's type.
- Express in interval notation (e.g., [0, ∞) indicates all y-values from 0 upward).

تعريف: العلاقة هي مجموعة من الأزوج المرتبة، تُمثل عادةً كـ (x, y).
أنواع:
- واحد إلى واحد: كل عنصر في المجال مرتبط بعنصر فريد في المدى.
- كثير إلى واحد: عدة عناصر في المجال ترجع إلى عنصر واحد في المدى.
- واحد إلى كثير: عنصر واحد في المجال يعود للعديد من العناصر في المدى (ليست دالة).
- كثير إلى كثير: عناصر متعددة من المجال ترجع لعناصر متعددة في المدى (ليست دالة).

تعريف: الدالة نوع محدد من العلاقات حيث كل مدخل له ناتج واحد فقط.
الخصائص الرئيسية:
- المجال: مجموعة من جميع القيم الممكنة للمدخلات (قيم x) للدالة.
- المدى: مجموعة من جميع القيم الممكنة للمخرجات (قيم y) للدالة.
- حقن (واحد إلى واحد): لا يوجد مدخلان مختلفان ينتجان نفس المخرج.
- شمولية (الكلي): كل عنصر في المدى مرتبط على الأقل بعنصر واحد من المجال.
- ثنائي التوجه: دالة تجمع بين الحقن والشمولية، مما ينشئ ارتباطًا فرديًا.

الطائرة الإحداثية: تُمثل الدوال في نظام إحداثي ديكارتية (مستوى x-y).
رسم النقاط: تحديد النقاط (x, f(x)) لتصور سلوك الدالة.
أنواع الدوال:
- خطية: رسم خط مستقيم؛ معدل تغير ثابت.
- تربيعية: شكل منحني (بارابولا)؛ الرأس كأقصى أو أدنى نقطة.
- أسية: زيادة أو نقصان سريع؛ ينحني للأعلى أو للأسفل.
- مثلثية: دوال دورية؛ موجات جيب وجيب تمام.
اختبار الخط العمودي: الرسم يمثل دالة إذا لم يتقاطع أي خط عمودي مع الرسم في أكثر من نقطة واحدة.

تعريف: مجموعة جميع القيم الممكنة للمدخلات (قيم x) التي تُعرّف فيها الدالة.
إيجاد المجال:
- مراعاة القيود (مثل القسمة على صفر، الجذور التربيعية من أعداد سالبة).
- استخدام تدوين الفترات للتعبير عن المجال (مثل (-∞, 2) ∪ (2, ∞) يستبعد x = 2).

تعريف: مجموعة من جميع القيم الممكنة للمخرجات (قيم y) التي يمكن أن تنتجها الدالة.
إيجاد المدى:
- تحليل سلوك الدالة (زايدة/نازلة).
- النظر في القيم الدنيا والقصوى استنادًا إلى نوع الدالة.
- التعبير في تدوين الفترات (مثل [0, ∞) يشير إلى جميع قيم y من 0 وما فوق).