Analyse Multivariée et Facteur

L'analyse multivariée est une collection de techniques statistiques utilisées pour explorer et comprendre les données qui ont plusieurs variables, en recherchant des structures, des relations ou des tendances dans les données.

Le but de l'analyse multivariée est de découvrir les structures cachées dans les données complexes à l'aide de méthodes mathématiques et statistiques.

L'analyse factorielle est un type de technique d'analyse des données qui vise à réduire la dimensionnalité des données en trouvant des variables cachées (facteurs) qui expliquent les variations des variables observées.

La classification est une technique qui regroupe des observations (individus, objets) en groupes homogènes en fonction de leurs similarités.

L'analyse multivariée permet d'identifier les variables qui expliquent le plus les différences entre les individus.

L'analyse multivariée cherche à déterminer s'il existe des liens (corrélations) entre différentes variables dans les données.

L'analyse multivariée analyse les données pour déterminer s'il existe des caractères globaux, c'est-à-dire des tendances ou caractéristiques qui sont communes à la plupart des observations.

L'analyse multivariée peut ainsi permettre de résumer les données en un nombre plus petit de variables, ce qui les rend plus faciles à comprendre et à interpréter.

Une analyse factorielle est une technique statistique qui sert à résumer et hiérarchiser les informations d'un tableau de données. Elle permet de regrouper les individus en fonction de leurs caractéristiques.

L'analyse factorielle permet de réduire la dimension du tableau de données en projetant les points dans un espace de dimension inférieure. Les axes de ce sous-espace sont appelés "axes factoriels" ou "facteurs".

La distance utilisée pour calculer la réduction de dimension varie en fonction du type de variables. Pour les variables d'échelle, la distance euclidienne est utilisée. Pour les variables nominales, une distance de type Khi-deux s'applique.

L'analyse factorielle permet d'identifier des groupes d'individus plus semblables entre eux. Ces groupes sont appelés "typologies".

L'analyse factorielle est une technique puissante pour analyser des données multivariées. Elle permet de découvrir des structures cachées dans les données et de simplifier leur interprétation.

Le barycentre du nuage de points représentant les individus est la moyenne des points pour chaque variable.

La matrice des covariances mesure la dispersion des variables et leur relation les unes avec les autres.

L'inertie du nuage est une mesure de la dispersion totale des individus autour du barycentre.

L'objectif de l'ACP (Analyse en Composantes Principales) est de trouver un sous-espace qui représente au mieux les relations entre les individus.

On cherche le sous-espace qui maximise la projection de l'inertie du nuage.

La projection de l'inertie dans un sous-espace est calculée en utilisant le vecteur u.

L'inertie relative au nuage est définie par la trace de la matrice des covariances.

Chercher le sous-espace qui déforme le moins les distances entre les individus revient à trouver le sous-espace qui maximise la projection de la trace de la matrice des covariances.

La méthode d'analyse en composantes principales cherche à trouver une combinaison linéaire de variables qui maximise la variabilité du nuage de points représentant les individus étudiés. Cette combinaison linéaire est appelée axe principal.

Le premier axe principal, noté Xv1, est la combinaison linéaire qui maximise la variabilité des données. Le vecteur v1 est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de la matrice de covariance.

La variabilité de l'axe principal Xv1 est mesurée par la proportion de la variabilité totale représentée par la valeur propre correspondante. Cette proportion mesure la capacité de l'axe à expliquer l'inertie totale des données.

L'ACP vise à déterminer le nombre minimum de facteurs nécessaires pour représenter les données de manière fidèle et concise. Chaque facteur représente une dimension majeure des données.

L'analyse factorielle vise à identifier la nature des facteurs et à les interpréter en fonction du contexte de l'étude. La signification des facteurs est essentielle pour comprendre les structures dans les données.

L'ACP permet de quantifier la proportion de la variabilité totale expliquée par un nombre donné de facteurs. Cette mesure permet de juger de la qualité de la représentation des données par les facteurs.

L'ACP peut être utilisée pour comparer la structure factorielle de différents groupes d'individus. Cela permet de déterminer si les relations entre les variables sont identiques ou différentes entre les groupes.

La statistique du test se présente comme suit : 𝑺𝑩 = 𝒏 − 𝟏 − 𝟐𝒑 + 𝟓 ⁄ 𝟔 𝑳𝒏(|𝒅𝒆𝒕 𝑹 |), sous 𝐇𝟎 𝑺𝑩  𝟐𝒑(𝒑+𝟏)⁄𝟐. Cette statistique permet de tester l'hypothèse nulle de l'indépendance des variables.

L'analyse en composantes principales est une technique qui permet de réduire la dimensionnalité des données en créant de nouvelles variables non corrélées, appelées composantes principales, qui expliquent la majeure partie de la variance des données originales.

Une composante principale est une combinaison linéaire des variables originales qui maximise la variance expliquée par les données.

La variabilité expliquée par une composante principale est égale à sa valeur propre. Les valeurs propres sont les valeurs propres de la matrice des covariances ou corrélations des variables.

Le nombre de composantes principales à extraire correspond généralement au nombre de valeurs propres supérieures à 1. Cela signifie que ces composantes expliquent plus de variance que la moyenne d'une seule variable.

Le pouvoir explicatif des composantes principales extraites doit être proche de l'inertie initiale du nuage de points (80% ou 90%). L'inertie est la somme des variances des variables.

Pour obtenir des composantes principales plus stables et interprétables, il est important de travailler avec des données standardisées. Cela permet de s'assurer que toutes les variables ont la même unité de mesure.

L'analyse en composantes principales permet d'identifier les variables qui contribuent le plus à la formation de chaque composante principale.

Le coefficient KMO mesure la proportion de variance expliquée par les corrélations entre variables. Il est idéalement proche de 1, indiquant que les variables partagent beaucoup de variance.

Le test de sphéricité de Bartlett vérifie si les variables sont corrélées. Si l'hypothèse nulle est rejetée, cela signifie que les variables ne sont pas indépendantes, ce qui est souhaitable pour l'ACP.

Les corrélations partielles mesurent la relation entre deux variables après avoir contrôlé l'influence des autres variables.

L'analyse en composantes principales (ACP) est une technique qui vise à réduire la dimensionnalité des données en trouvant des variables cachées, appelées composantes principales, qui expliquent la variance des variables originales.

L'ACP est un outil puissant pour analyser des données à plusieurs variables, mais elle n'est pas toujours la meilleure solution. Il est important d'évaluer soigneusement la qualité des données et la pertinence de l'ACP avant son application.

Un coefficient KMO faible indique que les variables ne partagent pas beaucoup de variance et que l'ACP peut ne pas être appropriée.

La sphéricité implique un nuage de points qui se dilate dans tous les sens, sans direction particulière. Cela signifie que les variables ne sont pas corrélées.

Si le test de sphéricité de Bartlett montre que la matrice des corrélations est différente de la matrice identité, cela signifie que les variables sont corrélées entre elles.