Análisis de Señales y Sistemas Biomédicos: Respuesta a Impulso

Respuesta al Impulso

• La respuesta al impulso tiene una forma característica que se define por el sistema.
• La forma de la respuesta al impulso es la misma independientemente de la amplitud del impulso y se puede utilizar para definir el sistema.
• La integral de convolución se utiliza para representar la respuesta al impulso como una suma de respuestas individuales.

La Integral de Convolución

• La integral de convolución se utiliza para calcular la respuesta del sistema a una entrada arbitraria.
• La integral de convolución se puede representar como la suma de las respuestas individuales del sistema a cada impulso que se utiliza para representar la entrada.
• La integral de convolución se puede escribir como:

y(t) = ∫h(τ)x(t-τ)dτ

• Donde y(t) es la respuesta del sistema, h(τ) es la respuesta al impulso del sistema y x(t) es la entrada.

Convolución en el Dominio de Frecuencia

• La convolución en el dominio de frecuencia es la multiplicación de las transformadas de Fourier de la entrada y la respuesta al impulso.
• La ecuación para la convolución en el dominio de frecuencia es:

H(ω) = H(ω)X(ω)

• Donde H(ω) es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso y X(ω) es la transformada de Fourier de la entrada.

Ejemplo 5.7

• Se proporciona un sistema de respuesta al impulso h(t) = 5.0e^(-5t)sen(100t) y se pide encontrar la respuesta del sistema a una onda dentada periódica con una frecuencia de 400 Hz.
• Se utiliza la convolución en el dominio de tiempo y en el dominio de frecuencia para encontrar la respuesta del sistema.

La Transferencia Digital

• La transferencia digital es una representación de la transferencia de una función de transferencia en el dominio de frecuencia.
• La transferencia digital se define como:

H(z) = Y(z) / X(z)

• Donde Y(z) es la transformada de z de la salida y X(z) es la transformada de z de la entrada.

La Transformada de z

• La transformada de z se utiliza para analizar sistemas discretos en el dominio de frecuencia.
• La transformada de z se define como:

X(z) = Σx[n]z^(-n)

• Donde x[n] es la entrada discreta y z es la variable compleja.

Propiedades de la Transformada de z

• La transformada de z tiene propiedades de desplazamiento en el tiempo, es decir, una potencia de z se asocia con un desplazamiento en el tiempo.
• La transformada de z se utiliza para encontrar la transferencia digital de un sistema.

Ejemplo 8.1

• Se proporciona una función de transferencia digital y se pide encontrar y graficar la respuesta en frecuencia.
• Se utiliza la transformada de Fourier y la transformada de z para encontrar la respuesta en frecuencia.### Introducción a los filtros digitales
• Un filtro digital es un sistema que altera la forma de una señal para cumplir con algún objetivo específico.
• Los filtros digitales se clasifican en dos categorías: Filtros de respuesta impulsiva finita (FIR) y filtros de respuesta impulsiva infinita (IIR).

Filtros FIR

• Los filtros FIR tienen una respuesta impulsiva finita, lo que significa que su respuesta impulsiva es de duración finita.
• Los coeficientes de un filtro FIR se pueden obtener mediante la transformada inversa de Fourier de la función de transferencia deseada.
• La función de transferencia de un filtro FIR se define como la relación entre la salida y la entrada en el dominio de la frecuencia.

Diseño de filtros FIR

• El diseño de un filtro FIR implica definir la función de transferencia deseada y luego obtener los coeficientes del filtro mediante la transformada inversa de Fourier.
• La función de transferencia se puede definir utilizando una ventana rectangular y luego aplicar la transformada inversa de Fourier para obtener los coeficientes del filtro.
• La respuesta impulsiva de un filtro FIR tiene la forma de una función sinc.

Impulso de respuesta de un filtro FIR

• La respuesta impulsiva de un filtro FIR se define como la salida del filtro cuando se aplica una entrada impulsiva.
• La respuesta impulsiva de un filtro FIR se puede calcular utilizando la ecuación: b[k] = sin(ωc(k - L/2)) / (π(k - L/2)), donde ωc es la frecuencia de corte relativa a la frecuencia de muestreo.

Ventajas y desventajas de los filtros FIR

• Ventajas:
  • La respuesta impulsiva es finita, lo que significa que el filtro no tiene una respuesta impulsiva infinita.
  • La función de transferencia es lineal, lo que facilita el diseño del filtro.
• Desventajas:
  • Requiere más coeficientes para lograr la misma pendiente de atenuación que un filtro IIR.
  • No es adecuado para aplicaciones que requieren una respuesta impulsiva infinita.

Filtros IIR

• Los filtros IIR tienen una respuesta impulsiva infinita, lo que significa que la respuesta impulsiva se extiende indefinidamente en el tiempo.
• Los coeficientos de un filtro IIR se pueden obtener mediante la ecuación de différence.

Ventajas y desventajas de los filtros IIR

• Ventajas:
  • Puede lograr una pendiente de atenuación más pronunciada que un filtro FIR con menos coeficientes.
  • Es adecuado para aplicaciones que requieren una respuesta impulsiva infinita.
• Desventajas:
  • La respuesta impulsiva es infinita, lo que puede causar problemas de estabilidad.
  • La función de transferencia no es lineal, lo que hace que el diseño del filtro sea más complicado.### Respuesta de Impulso en Diseño de Filtros FIR
• El valor real de la función para k = L/2 se puede obtener aplicando límites y notando que sin(x) → x cuando x se vuelve pequeño.
• La ecuación de la función de respuesta de impulso se trunca en algún L finito, aunque teóricamente el número de coeficientes, L, debería ser infinito porque la ecuación básica solo se acerca a cero cuando L → ∞.

Diseño de Filtros FIR de Pasa Altos, Pasa Bandas y Pasa Bajas

• Los filtros de ventana rectangular se pueden modificar para pasar altos, pasar bandas o pasar bajas.
• La ecuación para un filtro de pasa altos es:
  • b[k] = (sin(2πfc(k - L/2)) / (π(k - L/2))) para k ≠ L
  • b[k] = 1 - 2fc para k = L
• La ecuación para un filtro de pasa bandas es:
  • b[k] = (sin(2πfh(k - L/2)) * sin(2πfl(k - L/2)) / (π(k - L/2))) para k ≠ L
  • b[k] = 2(fh - fl) para k = L
• La ecuación para un filtro de pasa bajas es:
  • b[k] = (sin(2πfl(k - L/2)) - sin(2πfh(k - L/2)) / (π(k - L/2))) para k ≠ L
  • b[k] = 1 - 2(fh - fl) para k = L