التفاضل والتكامل والإحصاء

التفاضل:
- دراسة تغير الدوال بالنسبة للمتغيرات.
- مشتقة الدالة تعبر عن معدل التغير.
- القواعد الأساسية:
  - مشتقة ثابت = 0.
  - مشتقة x^n = n*x^(n-1).
  - قاعدة الجمع: (f + g)' = f' + g'.
  - قاعدة الضرب: (fg)' = f'g + fg'.
  - قاعدة القسمة: (f/g)' = (f'g - fg')/g^2.
التكامل:
- عملية عكس التفاضل، تهدف إلى حساب المساحة تحت المنحنيات.
- التكامل المحدود: يمثل المساحة بين منحنى الدالة والمحور.
- التكامل غير المحدود يعبر عن مجموعة الدوال المشتقة.
- قواعد التكامل:
  - ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C (عند n ≠ -1).
  - ∫e^x dx = e^x + C.
  - ∫sin(x) dx = -cos(x) + C.
  - ∫cos(x) dx = sin(x) + C.

تعريف الإحصاء:
- فرع من الرياضيات يهتم بجمع وتحليل وتفسير البيانات.
المقاييس الأساسية:
- المتوسط: مجموع القيم مقسومًا على عددها.
- الوسيط: القيمة التي تتوسط مجموعة مرتبة من البيانات.
- المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة البيانات.
التوزيعات:
- التوزيع الطبيعي: شكل الجرس، يتميز بالتناظر حول المتوسط.
- التوزيع الثنائي: يمثل عدد النجاح في عدد ثابت من المحاولات.
الاحتمالات:
- قياس فرص حدوث حدث معين.
- قاعدة الجمع: P(A أو B) = P(A) + P(B) - P(A و B).
- قاعدة الضرب: P(A و B) = P(A) * P(B|A).
التحليل الإحصائي:
- استخدام أدوات مثل الانحدار، تحليل التباين، واختبارات الفرضيات لاستخلاص النتائج من البيانات.

التفاضل هو دراسة تغير الدوال وتأثير المتغيرات على هذا التغير.
المشتقة تعبر عن معدل التغير للدالة.
القواعد الأساسية للمشتقات:
- مشتقة الثابت تساوي 0، مما يعني أن الثوابت لا تتغير.
- قاعدة المشتقة للقوة: إذا كانت d = x^n، فإن مشتقتها هي n*x^(n-1).
- قاعدة الجمع: مشتقة مجموع الدوال هي مجموع مشتقاتها، أي (f + g)' = f' + g'.
- قاعدة الضرب: مشتقة حاصل ضرب دالتين تكون (fg)' = f'g + fg'.
- قاعدة القسمة: مشتقة قسمة دالتين هي (f/g)' = (f'g - fg')/g^2.

التكامل هو العملية العكسية للتفاضل، حيث تهدف إلى حساب المساحات تحت المنحنيات.
التكامل المحدود يعبر عن المساحة بين منحنى الدالة والمحور x.
التكامل غير المحدود يمثل مجموعة الدوال المشتقة من دالة معينة.
قواعد التكامل الأساسية:
- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C (حيث n ≠ -1).
- ∫e^x dx = e^x + C.
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C.
- ∫cos(x) dx = sin(x) + C.

الإحصاء هو فرع رياضي يجمع بين جمع وتحليل وتفسير البيانات.
المقاييس الأساسية في الإحصاء:
- المتوسط: يتم حسابه من خلال جمع القيم ثم القسمة على عددها.
- الوسيط: القيمة التي تتوسط مجموعة مرتبة من البيانات، وتستخدم لتحديد المنتصف.
- المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة البيانات، مما يعكس التركيز.

الاحتمالات تقيس فرصة حدوث حدث معين.
قاعدة الجمع: P(A أو B) = P(A) + P(B) - P(A و B)، تعبر عن احتمال حدوث واحد من حدثين.
قاعدة الضرب: P(A و B) = P(A) * P(B|A)، تستخدم لحساب احتمال حدوث حدثين معًا.