إحصاء

التفاضل والتكامل

التفاضل

• التعريف: دراسة معدلات التغير والميول.
• المشتقات:
  • تدل على سرعة التغير.
  • قاعدة المشتقات:
    • (x^n)' = n*x^(n-1)
    • (sin x)' = cos x
    • (cos x)' = -sin x
    • (e^x)' = e^x
• قاعدة السلسلة: إذا كانت y = f(g(x)), فإن (dy/dx) = (dy/dg) * (dg/dx).
• تطبيقات:
  • إيجاد الميول.
  • تحديد النقاط الحرجة (أقصى وأدنى).
  • تحليل الدوال.

التكامل

• التعريف: عملية جمع القيم، تُستخدم لإيجاد المساحات.
• التكامل المحدد:
  • يُستخدم لحساب المساحات تحت المنحنيات.
  • الصيغة: ∫[a,b] f(x) dx.
• التكامل غير المحدد:
  • إيجاد الدالة الأصلية.
  • صيغة: ∫f(x) dx = F(x) + C، حيث C تمثل الثابت.
• قواعد التكامل:
  • ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C، n ≠ -1.
  • ∫e^x dx = e^x + C.
  • ∫sin x dx = -cos x + C.
  • ∫cos x dx = sin x + C.
• نظرية أساسي في التفاضل والتكامل:
  • تربط بين المشتقات والتكاملات.
  • إذا كانت F هي دالة أصلية لـ f، فإن ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).

مفاهيم إضافية

• النهايات: تُستخدم لتحديد سلوك الدوال عند اقتراب المتغيرات من قيم معينة.
• الدوال المستمرة: دالة مستمرة إذا كانت قيمتها تحدد بشكل متتابع دون انقطاع.
• الأشكال غير المعرفة: مثل 0/0 أو ∞/∞، تُحل باستخدام قواعد خاصة مثل قاعدة لوبيتال.

التفاضل

• التفاضل: فرع من الرياضيات يركز على معدلات التغير وكيفية تفاعل الكميات.
• المشتقات: تشير إلى سرعة التغير للدالة وتساعد في فحص سلوك الدوال.
• قاعدة المشتقات:
  • (x^n)' = n*x^(n-1): قانون أساسي لحساب مشتقات القوى.
  • (sin x)' = cos x: مشتقة دالة الجيب.
  • (cos x)' = -sin x: مشتقة دالة جيب التمام.
  • (e^x)' = e^x: مشتقة دالة الأس.
• قاعدة السلسلة: في حالة الدالة المركبة y = f(g(x)), يُستخدم الصيغة (dy/dx) = (dy/dg) * (dg/dx) لحساب المشتقة.
• تطبيقات التفاضل:
  • تحديد الميول واتجاهات المنحنيات.
  • تحليل النقاط الحرجة لتحديد أقصى وأدنى القيم.

التكامل

• التكامل: عملية رياضية تُستخدم لجمع القيم وتحديد المساحات تحت المنحنيات.
• التكامل المحدد: يُستخدم لحساب المساحات مع الصيغة ∫[a,b] f(x) dx، حيث [a,b] تمثل الحدود.
• التكامل غير المحدد: يسعى لإيجاد الدالة الأصلية مع الصيغة ∫f(x) dx = F(x) + C، حيث C هو الثابت.
• قواعد التكامل:
  • ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C، بشرط n ≠ -1.
  • ∫e^x dx = e^x + C.
  • ∫sin x dx = -cos x + C.
  • ∫cos x dx = sin x + C.
• نظرية أساسي في التفاضل والتكامل: تربط بين المشتقات والتكاملات؛ إذا كانت F دالة أصلية لـ f، فإن ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).

مفاهيم إضافية

• النهايات: تُستخدم لتحليل سلوك الدوال قرب قيم معينة، مما يسهل فهم التغيرات.
• الدوال المستمرة: تُعرف بأنها دالة لا تحتوي على انقطاعات، مما يعني أن قيمها متتابعة.
• الأشكال غير المعرفة: تشمل مثل 0/0 أو ∞/∞ وتنحل باستخدام قواعد مثل قاعدة لوبيتال.

اختبر معلوماتك حول مفاهيم التفاضل والتكامل، بما في ذلك المشتقات وقواعد التكامل. يغطي هذا الاختبار أيضًا التطبيقات العملية والروابط بين المشتقات والتكاملات. يعد هذا الاختبار مناسبًا للطلاب في صفوف الرياضيات المتقدمة.