المعادلات والمتباينات

• المعادلات والمتباينات أدوات رياضية أساسية تستخدم لتمثيل العلاقات بين الكميات وحل المسائل المختلفة.
• المعادلة هي جملة رياضية تعبر عن تساوي بين عبارتين.
• المعادلة تتكون من طرفين بينهما علامة يساوي (=).
• الهدف من حل المعادلة هو إيجاد قيمة المتغير (أو المتغيرات) التي تحقق المعادلة، أي تجعل الطرفين متساويين.
• المتغير هو رمز (عادة حرف) يمثل قيمة مجهولة.

أنواع المعادلات

• المعادلات الخطية: تتضمن متغيرات من الدرجة الأولى فقط (أعلى قوة للمتغير هي 1).
• المعادلات التربيعية: تتضمن متغيرات من الدرجة الثانية (أعلى قوة للمتغير هي 2).
• المعادلات التكعيبية: تتضمن متغيرات من الدرجة الثالثة (أعلى قوة للمتغير هي 3).
• المعادلات الأسية: تتضمن متغيرات في الأس.
• المعادلات اللوغاريتمية: تتضمن لوغاريتمات المتغيرات.
• المعادلات المثلثية: تتضمن دوال مثلثية للمتغيرات (مثل الجيب وجيب التمام).

حل المعادلات الخطية

• الهدف هو عزل المتغير في أحد طرفي المعادلة.
• يمكن إجراء العمليات الحسابية نفسها (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة) على كلا طرفي المعادلة دون تغيير الحل.
• لحل معادلة خطية، نبسط أولًا كلا الطرفين بفك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة.
• ننقل الحدود التي تحتوي على المتغير إلى طرف واحد، والحدود الثابتة إلى الطرف الآخر.
• نقسم كلا الطرفين على معامل المتغير لعزل المتغير وإيجاد قيمته.
• مثال: لحل المعادلة 2x + 3 = 7، نطرح 3 من كلا الطرفين: 2x = 4، ثم نقسم على 2: x = 2.

حل المعادلات التربيعية

• الصورة العامة للمعادلة التربيعية هي ax² + bx + c = 0، حيث a و b و c ثوابت و a ≠ 0.
• هناك عدة طرق لحل المعادلات التربيعية:
• التحليل إلى عوامل: نحلل الطرف الأيسر للمعادلة إلى حاصل ضرب عاملين، ثم نساوي كل عامل بالصفر ونجد قيم x.
• إكمال المربع: نحول المعادلة إلى صورة مربع كامل، ثم نجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين ونجد قيم x.
• القانون العام (قانون المميز): نستخدم القانون x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a لإيجاد قيم x.
• المميز (b² - 4ac) يحدد عدد ونوع الحلول:
• إذا كان المميز موجبًا، يوجد حلان حقيقيان مختلفان.
• إذا كان المميز صفرًا، يوجد حل حقيقي واحد (مكرر).
• إذا كان المميز سالبًا، لا يوجد حلول حقيقية (يوجد حلان مركبان).
• مثال: لحل المعادلة x² - 5x + 6 = 0، نحلل الطرف الأيسر إلى (x - 2)(x - 3) = 0، إذن x = 2 أو x = 3.

حل المعادلات غير الخطية الأخرى

• المعادلات التكعيبية: قد تتطلب طرقًا أكثر تعقيدًا مثل استخدام طرق عددية أو برامج حاسوبية.
• المعادلات الأسية واللوغاريتمية: نستخدم خواص الأسس واللوغاريتمات لتحويل المعادلة إلى صورة قابلة للحل.
• المعادلات المثلثية: نستخدم المتطابقات المثلثية لحل المعادلات.

المتباينات

• المتباينة هي جملة رياضية تعبر عن علاقة عدم تساوي بين عبارتين.
• تستخدم رموز المتباينات: > (أكبر من)، < (أصغر من)، ≥ (أكبر من أو يساوي)، ≤ (أصغر من أو يساوي)، ≠ (لا يساوي).
• حل المتباينة هو إيجاد جميع قيم المتغير التي تحقق المتباينة.
• تمثيل حل المتباينة: يتم تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد باستخدام فترات.

خصائص المتباينات

• يمكن إضافة أو طرح نفس العدد من كلا طرفي المتباينة دون تغيير اتجاه المتباينة.
• يمكن ضرب أو قسمة كلا طرفي المتباينة بعدد موجب دون تغيير اتجاه المتباينة.
• عند ضرب أو قسمة كلا طرفي المتباينة بعدد سالب، يجب تغيير اتجاه المتباينة.
• مثال: لحل المتباينة 3x - 2 > 7، نضيف 2 إلى كلا الطرفين: 3x > 9، ثم نقسم على 3: x > 3. إذن حل المتباينة هو جميع الأعداد الأكبر من 3.

حل المتباينات الخطية

• مشابه لحل المعادلات الخطية مع الانتباه إلى تغيير اتجاه المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
• مثال: لحل المتباينة -2x + 5 ≤ 11، نطرح 5 من كلا الطرفين: -2x ≤ 6، ثم نقسم على -2 مع تغيير اتجاه المتباينة: x ≥ -3.

حل المتباينات غير الخطية

• قد تتطلب طرقًا مختلفة حسب نوع المتباينة.
• المتباينات التربيعية: نحلل المتباينة إلى عوامل، ثم نحدد إشارة كل عامل في الفترات المختلفة.
• المتباينات الكسرية: نحدد أصفار البسط والمقام، ثم نحدد إشارة الكسر في الفترات المختلفة.

تطبيقات على المعادلات والمتباينات

• حل المسائل الكلامية: يمكن استخدام المعادلات والمتباينات لتمثيل وحل المسائل الكلامية المختلفة في مجالات مثل الفيزياء، الهندسة، الاقتصاد، وغيرها.
• التحسين: يمكن استخدام المتباينات لإيجاد القيم القصوى أو الدنيا لدالة معينة.
• البرمجة الخطية: تستخدم المتباينات لتمثيل القيود في مسائل البرمجة الخطية.