اللوغاريتمات

اللوغاريتمات

تعريف اللوغاريتم

• اللوغاريتم هو القوة التي يجب أن ترفع إليها قاعدة معينة للحصول على عدد معين.
• يُعبر عنه بالصيغة: إذا كانت ( b^y = x ) فإن ( \log_b(x) = y ).

اللوغاريتمات الطبيعية

• قاعدة اللوغاريتم الطبيعي هي ( e ) (حيث ( e \approx 2.718 )).
• يُعبر عنه بـ ( \ln(x) )، وهو لوغاريتم أساسي يُستخدم في الرياضيات والعلوم.
• الخصائص:
  • ( \ln(1) = 0 )
  • ( \ln(e) = 1 )
  • ( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) )
  • ( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) )
  • ( \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) )

اللوغاريتمات الأساسية

• تشمل اللوغاريتمات التي لها قواعد مختلفة، مثل 10 (اللوغاريتم العشري) و 2 (اللوغاريتم الثنائي).
• يُعبر عن اللوغاريتم العشري بـ ( \log_{10}(x) ) أو ببساطة ( \log(x) ).
• الخصائص:
  • ( \log_{10}(10) = 1 )
  • ( \log_{10}(1) = 0 )
  • ( \log_{10}(ab) = \log_{10}(a) + \log_{10}(b) )
  • ( \log_{10}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{10}(a) - \log_{10}(b) )
  • ( \log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10}(a) )

العلاقة بين اللوغاريتمات الطبيعية والأساسية

• يمكن تحويل اللوغاريتمات بين القواعد باستخدام الصيغة: [ \log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)} ] حيث ( k ) هو أي قاعدة تختارها (مثل 10 أو ( e )).

تعريف اللوغاريتم

• اللوغاريتم يُعرف بأنه القوة اللازمة لرفع قاعدة إلى قيمة معينة للحصول على عدد مُحدد.
• يُمثل العلاقة الرياضية بالصيغتين: إذا كانت ( b^y = x ) فإن ( \log_b(x) = y ).

اللوغاريتمات الطبيعية

• قاعدة اللوغاريتم الطبيعي هي العدد ( e ) والذي تقريبا يساوي 2.718.
• يُشار إليه بـ ( \ln(x) ) ويستخدم بشكل شائع في الرياضيات والعلوم.
• الخصائص الأساسية للوغاريتمات الطبيعية:
  • ( \ln(1) = 0 ): حيث اللوغاريتم لأي عدد يساوي 1 دائمًا صفر.
  • ( \ln(e) = 1 ): لأن ( e ) مرفوعًا للأساس 1 يعطي ( e ).
  • خاصية الجمع: ( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) ) تعني أن لوغاريتم ناتج ضرب عددين هو مجموع لوغاريتماتهم.
  • خاصية الطرح: ( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) ) تعني أن لوغاريتم ناتج قسمة عددين هو فرق لوغاريتماتهم.
  • خاصية القوة: ( \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) ) تعني أن لوغاريتم عدد مرفوع لأس هو ناتج ضرب الأس في لوغاريتم العدد.

اللوغاريتمات الأساسية

• تشمل اللوغاريتمات ذات القواعد 10 (اللوغاريتم العشري) و2 (اللوغاريتم الثنائي).
• اللوغاريتم العشري يُشير إليه بـ ( \log_{10}(x) ) أو ببساطة ( \log(x) ).
• الخصائص الأساسية للوغاريتمات الأساسية:
  • ( \log_{10}(10) = 1 ): أي أن اللوغاريتم لعدد يساوي قاعدته يكون دائمًا 1.
  • ( \log_{10}(1) = 0 ): كما في اللوغاريتمات الطبيعية، أي عدد يساوي 1 له لوغاريتم صفر.
  • خاصية الجمع: ( \log_{10}(ab) = \log_{10}(a) + \log_{10}(b) ).
  • خاصية الطرح: ( \log_{10}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{10}(a) - \log_{10}(b) ).
  • خاصية القوة: ( \log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10}(a) ).

العلاقة بين اللوغاريتمات الطبيعية والأساسية

• يمكن التحويل بين اللوغاريتمات المختلفة باستخدام الصيغة التالية: [ \log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)} ] حيث ( k ) تمثل أي قاعدة يُمكن اختيارها، مثل 10 أو ( e ).