اللوغاريتمات: الوغاريتم الطبيعي

اللوغاريتمات

الوغاريتم الطبيعي

Definition

• The natural logarithm, denoted by ln, is the logarithm to the base e (approximately 2.718)
• It is the inverse operation of exponentiation with base e

Properties

• Identity: ln(1) = 0
• Inverse: ln(e^x) = x and e^(ln(x)) = x
• Product: ln(ab) = ln(a) + ln(b)
• Quotient: ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
• Chain rule: ln(f(x)) = f'(x)/f(x)

Applications

• Growth and decay models: used to model population growth, chemical reactions, and radioactive decay
• Probability theory: used in probability distributions, such as the normal distribution and the lognormal distribution
• Information theory: used in data compression and encoding algorithms

Calculus

• Derivative: d(ln(x))/dx = 1/x
• Integral: ∫(ln(x) dx) = x ln(x) - x + C

Approximations

• Taylor series: ln(1+x) ≈ x - x^2/2 + x^3/3 - ...
• Approximation: ln(x) ≈ 2 * (x-1)/(x+1) for x > 0

Note: These study notes provide a concise overview of the natural logarithm, covering its definition, properties, applications, calculus, and approximations.

اللوغاريتمات

الوغاريتم الطبيعي

التعريف

• اللوغاريتم الطبيعي، المعلم بـ ln، هو اللوغاريتم لقاعدة e (تقريباً 2.718)
• هو عملية عكس عمليات التمثيل لقاعدة e

الخواص

• هوية: ln(1) = 0
• عكس: ln(e^x) = x و e^(ln(x)) = x
• نمو: ln(ab) = ln(a) + ln(b)
• نسبة: ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
• قاعدة السلسلة: ln(f(x)) = f'(x)/f(x)

التطبيقات

• نماذج النمو والانخفاض: يستخدم لنمذجة نمو السكان، والتغيرات الكيميائية، وال蜏ع_RADIOACTIVE
• نظرية الاحتمال: يستخدم في توزيعات الاحتمال، مثل التوزيع الطبيعي واللوغاريتمي
• نظرية المعلومات: يستخدم في خوارزميات ضغط البيانات والترميز

التكامل

• المشتق: d(ln(x))/dx = 1/x
• المكامل: ∫(ln(x) dx) = x ln(x) - x + C

التقريبات

• سلسلة تايلور: ln(1+x) ≈ x - x^2/2 + x^3/3 -...
• تقريب: ln(x) ≈ 2 * (x-1)/(x+1) ل x > 0