Algoritmi e Strutture Dati: Visita ai Grafi

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Questions and Answers

Qual è il colore iniziale del nodo sorgente 's' durante la visita BFS?

  • Blu
  • Bianco
  • Nero
  • Grigio (correct)

Nella visita BFS, un nodo viene colorato nero dopo che sono stati visitati tutti i suoi vicini.

True (A)

Qual è la struttura dati utilizzata per gestire i nodi durante la visita BFS?

Coda

Qual è la caratteristica principale dell'albero di BFS?

<p>Costruito a livelli. (C)</p> Signup and view all the answers

Durante la visita BFS, un nodo 'u' viene rimosso dalla coda usando il comando ______.

<p>REMOVE-FIRST</p> Signup and view all the answers

Abbina i termini relativi alla visita BFS con le loro descrizioni:

<p>Grigio = Nodo in fase di esplorazione Nero = Nodo completamente esplorato Bianco = Nodo non ancora visitato Coda = Struttura dati utilizzata per gestire i nodi</p> Signup and view all the answers

Nell'algoritmo BFS, tutti i nodi vengono inizializzati come 'bianchi'.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'attributo associato a ogni nodo che ricorda il livello del nodo?

<p>d</p> Signup and view all the answers

Nell'algoritmo BFS, il livello di ogni nodo viene rappresentato tramite l'attributo ______.

<p>d</p> Signup and view all the answers

Abbina gli elementi con le loro descrizioni:

<p>u.color = Stato del nodo (bianco, grigio, nero) u.π = Nodo padre del nodo u u.d = Livello del nodo u G = Grafo di partenza</p> Signup and view all the answers

Quale nodi si può raggiungere dal nodo A nel secondo esempio di DFS?

<p>D e F (B)</p> Signup and view all the answers

La pila di DFS è sempre ordinata in modo crescente.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'elemento sulla parte superiore della pila nel primo esempio di DFS?

<p>A</p> Signup and view all the answers

Nel primo esempio di DFS, la pila mostra i nodi in ordine: A, ______, C.

<p>D</p> Signup and view all the answers

Abbina i nodi ai loro rispettivi stati nella pila dell'algoritmo DFS:

<p>A = Sopra nella pila B = Sotto nella pila C = Ultimo visitato D = Primo visitato</p> Signup and view all the answers

Quale colore assume un nodo bianco quando viene visitato?

<p>Grigio (D)</p> Signup and view all the answers

Il nodo diventa nero dopo che tutti i suoi vicini sono stati visitati.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'operazione principale eseguita sul nodo 'u' durante la visita?

<p>u.color ← black</p> Signup and view all the answers

Il vertice 'v' assume il colore _____ quando viene aggiunto alla lista di visitazione.

<p>grigio</p> Signup and view all the answers

Abbina le seguenti operazioni alle loro descrizioni:

<p>A DD(D, s) = Aggiunge il nodo 's' a D R EMOVE -F IRST(D) = Rimuove il primo nodo di D s.color ← grigio = Segna il nodo 's' come visitato D ← M AKE -E MPTY = Inizializza la struttura D come vuota</p> Signup and view all the answers

Qual è il colore assegnato al nodo iniziale s in un algoritmo BFS dopo l'inizio della visita?

<p>Grigio (B)</p> Signup and view all the answers

In un algoritmo BFS, i nodi vengono visitati in profondità prima di passare ai nodi adiacenti.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è la funzione principale della coda D nell'algoritmo BFS?

<p>Memorizzare i nodi da visitare.</p> Signup and view all the answers

Il nodo u viene colorato di ______ quando è completamente visitato.

<p>nero</p> Signup and view all the answers

Qual è l'output finale dell'algoritmo BFS nell'esempio fornito?

<p>Ordine di visita dei nodi a livello (D)</p> Signup and view all the answers

Abbina i seguenti colori ai loro significati nell'algoritmo BFS:

<p>Bianco = Nodo non visitato Grigio = Nodo visitato parzialmente Nero = Nodo completamente visitato</p> Signup and view all the answers

Il nodo adiacente v viene colorato di grigio solo se è bianco.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Quale passaggio esegue l'algoritmo BFS quando la coda D diventa vuota?

<p>Termina la visita.</p> Signup and view all the answers

Quale colore viene assegnato ai nodi appena scoperti durante l'algoritmo di visita?

<p>Grigio (B)</p> Signup and view all the answers

Il colore nero indica che un nodo è stato completamente esplorato.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta l'attributo π per ciascun nodo nel sottografo di predecessori?

<p>Il nodo predecessore che ha permesso la scoperta.</p> Signup and view all the answers

Durante l'algoritmo, se un nodo ha un colore _____ e ha vicini bianchi, allora viene colorato di grigio.

<p>grigio</p> Signup and view all the answers

Abbina i termini ai loro significati:

<p>Bianco = Nodo non ancora scoperto Grigio = Nodo in fase di esplorazione Nero = Nodo completamente esplorato π = Predecessore del nodo</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al colore dei nodi?

<p>Un nodo bianco è sempre non scoperto. (D)</p> Signup and view all the answers

Un nodo con colore bianco non può essere un nodo predecessore.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il primo passo nell'inizializzazione dell'algoritmo di visita?

<p>Colorare tutti i nodi di bianco e impostare π a nil.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Sottografo di predecessori

Un sottografo che mostra il percorso da un nodo sorgente a tutti gli altri nodi raggiungibili nel grafo, rappresentando le relazioni di predecessore tra i nodi.

Nodo Grigio

Un nodo che è stato visitato ma non ancora completamente elaborato durante la visita del grafo.

Nodo Bianco

Un nodo che non è ancora stato visitato durante la visita del grafo.

Nodo Nero

Un nodo che è stato visitato ed elaborato completamente durante la visita del grafo.

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Predecessore (π)

L'attributo di un nodo che registra il nodo grigio che ha permesso la sua scoperta.

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VISITA(G, s)

Un algoritmo che crea il sottografo di predecessori a partire da un nodo sorgente.

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INIZIALIZZA(G)

L'algoritmo VISITA(G, s) inizia impostando tutti i nodi del grafo come bianchi e li prepara per la visita.

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Proprietà II: VISITA(G, s)

Al termine dell'algoritmo VISITA(G, s), tutti i nodi raggiungibili dal nodo sorgente (s) saranno neri, e l'unico nodo nero con predecessore nil sarà il nodo sorgente stesso (s).

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Albero di BFS

L'albero di BFS è costruito a livelli, dove il livello n+1 non viene elaborato prima di completare il livello n. Ogni nodo nell'albero ha un attributo (d) che indica il suo livello.

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Visita BFS con calcolo del livello

L'algoritmo di visita BFS con il calcolo del livello inizializza tutti i nodi del grafo come bianchi, con predecessore nil e distanza infinita. Successivamente, visita il grafo a partire da un nodo sorgente, aggiornando il colore, il predecessore e la distanza dei nodi visitati.

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Attributo (d) del nodo

L'attributo 'd' di un nodo indica il livello del nodo nell'albero di BFS.

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Attributo (π) del nodo

L'attributo 'π' di un nodo rappresenta il predecessore del nodo nell'albero di BFS.

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BFS (Breadth First Search)

L'algoritmo Breadth First Search (BFS) visita i nodi di un grafo in ordine di livello, esplorando prima tutti i nodi adiacenti al nodo di partenza e poi quelli a due livelli di distanza, e così via.

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Coda (in BFS)

Una struttura dati che memorizza gli elementi in ordine d'arrivo, come una fila.

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Nodo Grigio (BFS)

Un nodo è grigio se è stato visitato ma non tutti i suoi nodi adiacenti sono stati esplorati.

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Nodo Bianco (BFS)

Un nodo è bianco se non è mai stato visitato.

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Nodo Nero (BFS)

Un nodo è nero se è stato visitato e tutti i suoi nodi adiacenti sono stati esplorati.

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Precursore (π) in BFS

L'attributo π di un nodo contiene il nodo precedente nella visita, ovvero il nodo da cui è stato raggiunto.

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Nodi Adiacenti

L'insieme di tutti i nodi adiacenti ad un nodo.

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Principio di Funzionamento BFS

L'algoritmo BFS visita i nodi di un grafo in ordine di livello, esplorando prima tutti i nodi adiacenti al nodo di partenza e poi quelli a due livelli di distanza e così via.

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Distanza (d) nell'Albero di BFS

L'algoritmo BFS assegna un valore di distanza (d) a ciascun nodo, che rappresenta il numero di archi che separano il nodo dal nodo sorgente. Il valore di distanza aumenta di 1 per ogni livello dell'albero BFS.

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Predecessore (π) nell'Albero di BFS

L'algoritmo BFS assegna un predecessore (π) a ciascun nodo, che rappresenta il nodo che ha permesso la sua scoperta. L'attributo π è nullo per il nodo sorgente e identifica il percorso dal nodo al nodo sorgente.

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Colora i nodi durante la visita BFS

I nodi vengono colorati durante la visita BFS per tener traccia del loro stato. I nodi bianchi indicano i nodi non ancora visitati, i nodi grigi indicano i nodi visitati ma non ancora completamente elaborati, mentre i nodi neri indicano i nodi visitati ed elaborati.

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Ordinare le Liste di Adiacenza durante la visita BFS

La visita BFS è sensibile all'ordine in cui i nodi sono elencati nelle liste di adiacenza. L'ordine può influenzare la forma dell'albero BFS e i percorsi trovati.

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Visita di un nodo in DFS

La procedura in cui visitiamo un nodo non ancora esplorato, lo marchiamo come "visitato" e visitiamo tutti i suoi nodi adiacenti. Questa azione si ripete finché non abbiamo visitato tutti i nodi raggiungibili dal nodo iniziale.

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Nodo sorgente in DFS

Il primo nodo visitato in un DFS, da cui si inizia l'esplorazione del grafo.

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Nodo grigio in DFS

Un nodo che è stato visitato ma non ancora completamente esplorato in DFS. Potrebbe avere ancora nodi adiacenti non visitati.

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Nodo nero in DFS

Un nodo che è stato completamente visitato in DFS. Tutti i suoi nodi adiacenti sono stati esplorati.

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Pila in DFS

Un elenco che contiene tutti i nodi visitati in DFS in ordine inverso rispetto a come sono stati scoperti.

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Study Notes

Introduzione

  • Il corso è su Algoritmi e Strutture Dati.
  • I docenti sono Ugo de'Liguoro e András Horváth.
  • Il corso è per studenti di informatica.

Sommario

  • L'obiettivo è visitare tutti i nodi e archi in modo sistematico.
  • È un problema base in molte applicazioni.
  • La visita fornisce informazioni sul grafo visitato.
  • Esistono diversi tipi di visite, tra cui in ampiezza (BFS) e in profondità (DFS).

Visita in generale

  • L'insieme dei vertici è diviso in tre sottoinsiemi:
    • Bianco: nodi non ancora scoperti.
    • Grigio: nodi scoperti ma non completamente esplorati (da cui partire per ulteriori esplorazioni).
    • Nero: nodi scoperti e completamente esplorati (puntamento non più necessario).

Proprietà e Invarianti

  • La proprietà fondamentale è che il colore di un nodo può cambiare da bianco a grigio a nero.
  • Invarianti:
    • I: Se (u, v) è un arco e u è nero, allora v è grigio o nero.
    • II: Tutti i vertici grigi o neri sono raggiungibili da un nodo iniziale (start node).
    • III: Qualsiasi cammino da un nodo iniziale a un nodo bianco deve contenere almeno un vertice grigio.

Versione "astratta" dell'algoritmo

  • INIZIALIZZA(G): inizializza il grafo
  • VISITA(G, S): visita il grafo partendo da S
  • I colori dei nodi vengono aggiornati
  • Il ciclo while continua finchè ci sono nodi grigi
  • Se si trova un nodo bianco adiacente a un nodo grigio, si fa diventare grigio il nodo bianco.
  • Nel caso contrario si fa diventare nero il nodo grigio.

Algoritmo di visita

  • Vengono descritte le istruzioni per visitare un grafo.
  • Inizializzazione dei nodi del grafo
  • Procedura ricorsiva di visita
  • Mantenimento di una pila/coda per tenere traccia dei nodi da visitare.

Sottografo di predecessori

  • Vengono descritti il sottografo e le sue proprietà.
  • Definizione del sottografo come grafo formato dai nodi raggiungibili da una sorgente.
  • Il sottografo è un albero.

Visitare grafi non connessi

  • L'algoritmo di visita viene esteso per visitare tutti i componenti connessi di un grafo non connesso.
  • Questo viene fatto visitando ogni nodo non ancora visitato.

Cammino di scoperta

  • Il funzionamento di trovare il cammino in un grafo.
  • Come viene gestito il caso di non trovare alcun cammino da una sorgente a un nodo desiderato.

Complessità della visita

  • Analisi della complessità temporale dell'algoritmo di visita.

Visita in ampiezza (BFS)

  • Descrizione dell'algoritmo di visita in ampiezza (BFS).
  • Utilizzo di una coda per la gestione dei nodi da visitare.

Visita in profondità (DFS)

  • Descrizione dell'algoritmo di visita in profondità (DFS).
  • Utilizzo di una pila per la gestione dei nodi da visitare.

Ordine di scoperta dei nodi

  • Descrizione dell'ordine in cui i nodi vengono scoperti nella visita in profondità (DFS).
  • Due differenti ordini, uno basato sulla lista adiacenti, e l'altro basato sull'ordinamento contrario.

Versione corretta dell'algoritmo DFS

  • Vengono corrette, e dettagliate, le istruzioni per la visita DFS.
  • Si aggiungono le istruzioni per la gestione di eventuali problematiche con la visita iniziale.

Un altro esempio di DFS

  • Esempio aggiuntivo di funzionamento della visita in profondità (DFS).
  • Si mostra il risultato dell'algoritmo per un grafo dato.

Struttura di "attivazione"

  • Funzionamento della struttura di "attivazione" nell'algoritmo DFS.
  • Descrizione dei concetti chiave.

Versione ricorsiva della visita in profondità

  • Descrizione dell'algoritmo di visita in profondità utilizzando una versione ricorsiva.
  • Relazione tra versione ricorsiva e versione iterativa.

Versione estesa per raccogliere informazioni aggiuntive

  • Descrizione di una versione dell'algoritmo che raccoglie informazioni aggiuntive, come l'ordine di visita.
  • Introduzione del "tempo" per tenere traccia dell'ordine di visita e di altri concetti funzionali.

Proprietà della visita in profondità di tutti i nodi

  • Discussione delle proprietà della visita in profondità su tutti i nodi di un grafo.
  • Teoremi, come il teorema delle parentesi, che stabiliscono relazioni tra nodi e archi.
  • Classificazione degli archi (archi dell'albero, archi all'indietro, archi in avanti, archi di attraversamento).

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