Algorithmique et Complexité

Algorithmique et Complexité

• L'algorithmique consiste à concevoir et analyser des algorithmes, des procédures pour résoudre des problèmes.
• La complexité d'un algorithme évalue les ressources nécessaires à son exécution, comme le temps et l'espace.
• L'étude de la complexité permet de comparer l'efficacité des algorithmes, de prédire leur comportement et de choisir l'algorithme le plus adapté à un problème spécifique.

Mesure de la complexité

• La complexité temporelle mesure le temps d'exécution en fonction de la taille des données d'entrée.
• La complexité spatiale mesure la quantité de mémoire utilisée en fonction de la taille des données d'entrée.
• La notation de Landau (Big O) exprime la complexité asymptotique d'un algorithme, son comportement lorsque la taille des données tend vers l'infini.
• Exemples de notations de Landau :
  • O(1) : Complexité constante
  • O(log n) : Complexité logarithmique
  • O(n) : Complexité linéaire
  • O(n log n) : Complexité quasi-linéaire
  • O(n²) : Complexité quadratique
  • O(n³) : Complexité cubique
  • O(2ⁿ) : Complexité exponentielle
  • O(n!) : Complexité factorielle

Analyse de la complexité

• La complexité des algorithmes itératifs est déterminée en comptant les opérations effectuées dans les boucles.
• La complexité des algorithmes récursifs est déterminée en résolvant une équation de récurrence.
• Exemples de complexités :
  • Recherche linéaire : O(n)
  • Recherche dichotomique : O(log n)
  • Tri à bulles : O(n²)
  • Tri rapide (quicksort) : O(n log n) en moyenne, O(n²) dans le pire des cas

Classes de complexité

• Les problèmes de classe P peuvent être résolus en temps polynomial.
• Les problèmes de classe NP peuvent être vérifiés en temps polynomial.
• Les problèmes NP-complets sont dans NP et tout autre problème NP peut être réduit à eux en temps polynomial.
• Les problèmes NP-difficiles sont au moins aussi difficiles que les problèmes NP-complets, mais ne sont pas nécessairement dans NP.

Conclusion

• L'analyse de la complexité aide à concevoir des algorithmes efficaces et à choisir celui qui convient le mieux à un problème donné.
• La compréhension des classes de complexité (P, NP, NP-complet, NP-difficile) permet de comprendre les limites de la résolution algorithmique de certains problèmes.

Introduction au Trading Algorithmique

• Le trading algorithmique est devenu essentiel aux marchés financiers modernes, couvrant actions, dérivés, changes et crypto-monnaies.
• Les algorithmes contribuent de manière significative à l'activité de trading globale.
• Le trading algorithmique est accessible aux petites entreprises et aux investisseurs individuels grâce à la disponibilité accrue de données financières, de matériel puissant, de logiciels sophistiqués et d'outils avancés.
• L'ouvrage vise à fournir un aperçu complet des différents aspects du trading algorithmique, combinant une vue d'ensemble du domaine avec des exemples de code concrets implémentés en Python.
• Le lecteur doit avoir des connaissances de base en programmation (Python) et une compréhension générale des marchés financiers.

Contenu du Trading Algorithmique

• Trading algorithmique : motivation et définition.
• Python et données financières.
• Backtesting vectoriel.
• Backtesting axé sur les événements.
• Trading haute fréquence.
• Apprentissage automatique pour le trading algorithmique.
• Conclusion.

Introduction à la Statistique Descriptive

• La statistique descriptive est un ensemble de techniques pour collecter, organiser, présenter et analyser des données afin de décrire les caractéristiques principales d'un ensemble de données.
• Il existe deux types principaux de statistiques : descriptive et inférentielle.
• La statistique descriptive décrit et résume les données.
• La statistique inférentielle infère des propriétés d'une population à partir d'un échantillon.
• Une population est l'ensemble total d'individus ou d'objets d'intérêt, tandis qu'un échantillon est un sous-ensemble de cette population.
• Les variables peuvent être qualitatives ou quantitatives.
  • Les variables qualitatives décrivent des qualités non numériques et peuvent être nominales ou ordinales.
  • Les variables quantitatives décrivent des quantités numériques et peuvent être discrètes ou continues.

Mesures de Tendance Centrale

• Les mesures de tendance centrale représentent le centre d'un ensemble de données.
• Les mesures principales incluent la moyenne, la médiane et le mode.
• La moyenne est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
  • Formule : $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
• La médiane divise l'ensemble de données en deux parties égales.
  • Calcul : si n est impair, Mediana = x((n+1)/2) ; si n est pair, Mediana = (x(n/2) + x(n/2+1))/2
• Le mode est la valeur la plus fréquente dans l'ensemble de données.

Mesures de Dispersion

• Les mesures de dispersion indiquent la dispersion des données autour de la moyenne.
• Les mesures principales incluent l'étendue, la variance et l'écart type.
• L'étendue est la différence entre les valeurs maximale et minimale.
  • Formule : $\text{Rango} = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}$
• La variance est la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne.
  • Formules : Variance Populationnelle (σ²) et Variance Échantillonale (s²).
• L'écart type est la racine carrée de la variance.
  • Formules : Écart type Populationnel (σ) et Écart type Échantillonnal (s).

L'Équation de Schrödinger Indépendante du Temps

• L'équation de Schrödinger dépendante du temps décrit comment l'état quantique d'un système physique évolue avec le temps.
• Pour les systèmes où l'énergie potentielle ne change pas avec le temps, l'équation de Schrödinger indépendante du temps peut être employée pour trouver les états stationnaires du système.

Équation de Schrödinger Dépendante du Temps

• Formule : $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\right]\Psi(x,t)$

Potentiel Indépendant du Temps

• Si le potentiel V(x,t) est indépendant du temps (V(x,t) = V(x)), la séparation des variables peut être employée.
  • Formule : Ψ(x,t) = ψ(x)ϕ(t)

Équation de Schrödinger Indépendante du Temps

• De la partie spatiale, l'équation de Schrödinger indépendante du temps est obtenue.
  • Formule : $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

Partie Dépendante du Temps

• De la partie temporelle, : $i\hbar\frac{d\phi(t)}{dt} = E\phi(t)$
• La solution à cette équation est donnée par : $\phi(t) = e^{-iEt/\hbar}$
• La solution complète est : $\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$

Propriétés

• La densité de probabilité $|\Psi(x,t)|^2 = |\psi(x)|^2$ est indépendante du temps.
• La valeur attendue de tout opérateur indépendant du temps $\hat{Q}$ est constante dans le temps.
  • Formule : $\langle Q \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^(x,t)\hat{Q}\Psi(x,t) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^(x)\hat{Q}\psi(x) dx$

Résumé

• L'équation de Schrödinger indépendante du temps est un outil crucial pour trouver les états stationnaires et les énergies d'un système quantique avec un potentiel indépendant du temps.
• Ces états stationnaires ont des densités de probabilité indépendantes du temps et des valeurs attendues constantes pour les opérateurs indépendants du temps.