Algèbre Linéaire: Scalaires et Vecteurs

Algèbre Linéaire et Analyse Vectorielle

Scalaires

• Les scalaires sont des éléments d'un corps mathématique.
• Un corps permet l'addition, la soustraction, la multiplication et la division selon les règles arithmétiques habituelles.
• Si a et b sont dans un corps, a + b et ab le sont également.
• Les corps courants en physique sont l'ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}$), complexes ($\mathbb{C}$) et rationnels ($\mathbb{Q}$).

Vecteurs

• Les vecteurs sont des éléments d'un espace vectoriel.
• Un espace vectoriel permet l'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire.
• Un exemple est l'ensemble des n-uplets de nombres réels, noté $\mathbb{R}^n$.
• $\mathbb{R}^3$ est fréquemment utilisé en physique, avec la notation $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) = v_1\hat{\mathbf{x}} + v_2\hat{\mathbf{y}} + v_3\hat{\mathbf{z}}$.
• $\hat{\mathbf{x}}$, $\hat{\mathbf{y}}$ et $\hat{\mathbf{z}}$ sont des vecteurs unitaires dans les directions x, y et z.

Produit Scalaire

• Pour deux vecteurs $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$, le produit scalaire est défini comme $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre eux.
• En termes de composantes, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.
• Le résultat d'un produit scalaire est un scalaire.

Produit Vectoriel

• Pour deux vecteurs $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$, le produit vectoriel est défini comme $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta \hat{\mathbf{n}}$.
• $\theta$ est l'angle entre $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$, et $\hat{\mathbf{n}}$ est un vecteur unitaire normal au plan contenant $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ (règle de la main droite).
• En termes de composantes, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{\mathbf{x}} + (a_3b_1 - a_1b_3)\hat{\mathbf{y}} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{\mathbf{z}}$.
• Le résultat d'un produit vectoriel est un vecteur.

Transformations Linéaires

• Une transformation linéaire mappe un vecteur à un autre en respectant deux propriétés.
• $T(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = T(\mathbf{a}) + T(\mathbf{b})$
• $T(c\mathbf{a}) = cT(\mathbf{a})$, où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont des vecteurs, et $c$ est un scalaire.

Moment d'inertie: Exemples et Théorème des Axes Parallèles

Cylindre

• Étude du moment d'inertie $I$ d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $H$ par rapport à son axe de symétrie.
• Division du cylindre en disques d'épaisseur $dz$.
• Volume d'un disque: $dV = \pi R^2 dz$.
• Masse d'un disque: $dm = \rho dV = \rho \pi R^2 dz$.
• Moment d'inertie d'un disque: $dI = \frac{1}{2} R^2 dm = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 dz$.
• Moment d'inertie du cylindre: $I = \int dI = \int_0^H \frac{1}{2} \rho \pi R^4 dz = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 H$.
• Sachant que la masse du cylindre est $M = \rho V = \rho \pi R^2 H$, alors $I = \frac{1}{2} M R^2$.

Tige Pivotée

• Étude du moment d'inertie d'une tige de longueur $L$ et de masse $M$ pivotée à une extrémité.
• Division de la tige en éléments de longueur $dx$.
• Masse d'un élément: $dm = \frac{M}{L} dx$.
• Moment d'inertie de l'élément: $dI = x^2 dm = x^2 \frac{M}{L} dx$.
• Moment d'inertie de la tige: $I = \int dI = \int_0^L x^2 \frac{M}{L} dx = \frac{M}{L} [\frac{1}{3} x^3]_0^L = \frac{1}{3} M L^2$.

Théorème des Axes Parallèles

• $I = I_{CM} + M d^2$.
• $I_{CM}$: Moment d'inertie par rapport au centre de masse.
• $M$: Masse de l'objet.
• $d$: Distance entre l'axe de rotation et le centre de masse.

Exemple d'utilisation

• Calcul du moment d'inertie d'une tige pivotée à une extrémité en utilisant le théorème des axes parallèles.
• $I = I_{CM} + M d^2 = \frac{1}{12} M L^2 + M (\frac{L}{2})^2 = \frac{1}{12} M L^2 + \frac{1}{4} M L^2 = \frac{1}{3} M L^2$.

Méthode de recalage de la vélocité

Présentation

Une nouvelle approche, en utilisant l'ensemble de données vidéo à point de vue libre.

Ensemble de données vidéo à point de vue libre

• Composé de séquences vidéo multi-vues de scènes dynamiques capturées par plusieurs caméras.
• Permet de rendre de nouvelles vues de la scène à n'importe quel point de vue et à n'importe quel moment.
• Largement utilisé dans la recherche en vision par ordinateur, en particulier dans la synthèse de vues et la reconstruction 3D.

Difficultés

• Grande taille des données et haute dimensionnalité.
• Géométrie complexe et variations de texture.
• Problèmes de synchronisation et d'étalonnage.

Méthode de recalage de la vélocité

• Une nouvelle approche pour transférer le mouvement d'un acteur à un autre avec des formes et des tailles de corps différentes.
• Exploite le champ de vélocité de l'acteur source pour piloter le mouvement de l'acteur cible.
• Préserve les caractéristiques dynamiques du mouvement original tout en s'adaptant à la structure corporelle de la cible.

Étapes clés

1. Estimation du champ de vélocité : Estimation du champ de vélocité 3D de l'acteur source à partir de la vidéo à point de vue libre.
2. Recalage du mouvement : Cartographie du champ de vélocité de la source à l'acteur cible en fonction de la correspondance de leur corps.
3. Synthèse de l'animation : Génération de la séquence d'animation de l'acteur cible en intégrant le champ de vélocité recalé au fil du temps.

Avantages

• Transfert de mouvement réaliste et plausible.
• Robuste aux variations de forme et de taille du corps.
• Efficace et facile à mettre en œuvre.

Expériences

• La méthode est évaluée sur diverses séquences vidéo à point de vue libre avec différents acteurs et mouvements.
• Les résultats démontrent l'efficacité de la méthode proposée pour générer des résultats de recalage de mouvement de haute qualité.

Métriques d'évaluation

• Qualité perceptuelle : Mesurée par des études d'utilisateurs subjectives.
• Précision géométrique : Mesurée en comparant la pose 3D de l'acteur recalé avec la vérité au sol.
• Cohérence temporelle : Mesurée en analysant la douceur de la séquence de mouvement.

Conclusion

La méthode de recalage de la vélocité fournit une solution prometteuse pour le transfert de mouvement dans la vidéo à point de vue libre.

Travaux futurs

• Étendre la méthode pour gérer des mouvements et des interactions plus complexes.
• Étudier l'utilisation de techniques d'apprentissage profond pour améliorer la précision et la robustesse de la méthode.
• Explorer l'application de la méthode à d'autres types de données, telles que la capture de mouvement humain et les données de simulation.