Algèbre linéaire: Espaces Vectoriels

Algèbre linéaire

Définitions

• Un espace vectoriel (E) est un ensemble muni de deux opérations : l'addition (+ : E × E → E) et la multiplication scalaire (⋅ : K × E → E).
• K est un corps, souvent ℝ ou ℂ.

Axiomes d'un espace vectoriel

• Associativité de l'addition : (u + v) + w = u + (v + w) pour tout u, v, w ∈ E.
• Commutativité de l'addition : u + v = v + u pour tout u, v ∈ E.
• Élément neutre pour l'addition : Il existe 0 ∈ E tel que u + 0 = u pour tout u ∈ E.
• Élément inverse pour l'addition : Pour tout u ∈ E, il existe -u ∈ E tel que u + (-u) = 0.
• Compatibilité de la multiplication scalaire : a ⋅ (b ⋅ u) = (a ⋅ b) ⋅ u pour tout a, b ∈ K et u ∈ E.
• Élément neutre pour la multiplication scalaire : 1 ⋅ u = u pour tout u ∈ E.
• Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : a ⋅ (u + v) = a ⋅ u + a ⋅ v pour tout a ∈ K et u, v ∈ E.
• Distributivité par rapport à l'addition du corps : (a + b) ⋅ u = a ⋅ u + b ⋅ u pour tout a, b ∈ K et u ∈ E.
• Un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si F est non vide, fermé sous l'addition (u + v ∈ F pour tout u, v ∈ F), et fermé sous la multiplication scalaire (a ⋅ u ∈ F pour tout a ∈ K et u ∈ F).
• Une combinaison linéaire de vecteurs v1​, v2​,..., vn​ est un vecteur de la forme a1​v1​ + a2​v2​ + ... + an​vn​, où a1​, a2​,..., an​ sont des scalaires dans K.
• L'enveloppe linéaire (ou espace engendré) d'un ensemble de vecteurs S est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de vecteurs dans S, noté span(S).
• Des vecteurs v1​, v2​,..., vn​ sont linéairement indépendants si a1​v1​ + a2​v2​ + ... + an​vn​ = 0 implique a1​ = a2​ = ... = an​ = 0.
• Une base d'un espace vectoriel E est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent E.
• La dimension d'un espace vectoriel E est le nombre de vecteurs dans une base de E.
• Une application linéaire est une fonction T : E → F entre deux espaces vectoriels E et F qui préserve l'addition et la multiplication scalaire : T(u + v) = T(u) + T(v) et T(a ⋅ u) = a ⋅ T(u).
• Le noyau d'une application linéaire T : E → F est l'ensemble des vecteurs dans E qui sont envoyés sur le vecteur nul dans F : ker(T) = {u ∈ E | T(u) = 0}.
• L'image d'une application linéaire T : E → F est l'ensemble des vecteurs dans F qui sont l'image d'un vecteur dans E : im(T) = {T(u) | u ∈ E}.

Théorème du rang

• Pour une application linéaire T : E → F entre espaces vectoriels de dimension finie, on a : dim(E) = dim(ker(T)) + dim(im(T)).

Représentation matricielle

• Toute application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie peut être représentée par une matrice, dépendant du choix des bases.

Changement de base

• Le changement de base transforme les coordonnées d'un vecteur en fonction de la base utilisée, avec une matrice de passage.

Produit scalaire et orthogonalité

• Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel E est une application ⟨⋅, ⋅⟩ : E × E → ℝ satisfaisant les propriétés de symétrie, linéarité à gauche et définie positive.
• Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si ⟨u, v⟩ = 0.
• Une base est orthogonale si tous ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux.
• Une base est orthonormale si elle est orthogonale et si tous ses vecteurs sont de norme 1.
• Le procédé de Gram-Schmidt construit une base orthonormale à partir d'une base quelconque d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

Valeurs propres et vecteurs propres

• Un vecteur propre d'une matrice carrée A est un vecteur non nul v tel que Av = λv pour un certain scalaire λ.
• Le scalaire λ est appelé valeur propre associée au vecteur propre v.
• Le polynôme caractéristique d'une matrice A est défini comme p(λ) = det(A - λI).
• Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de A.
• Une matrice A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = PDP⁻¹.
• Une matrice est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est égale à la taille de la matrice.

Algorithmic Game Theory

Game Theory Definition

• Game theory is a field studying interactions among multiple agents where actions of one agent affect others.
• It provides mathematical framework for analyzing such interactions.
• Each agent aims to maximize their payoff given others' actions.

Example

Traffic Intersection Game

• Two drivers approach an intersection simultaneously.
• Each driver can either Stop (S) or Go (G).
• Outcomes include both stopping (safe), both going (crash), or one stopping and the other going (delay).
• Drivers prefer safety and avoiding delay.

Modeling a Game

• Specifies players, actions available to each player and payoff received by each player for each combination of actions.

Example

Prisoner's Dilemma

• Two suspects are interrogated separately, and each can Cooperate (C) or Defect (D).
• If both Cooperate they get 1 year, If both Defect they get 3 years. If one Cooperates and the other Defects they get 5 years and go free respectively.

Payoff Matrix for Prisoner's Dilemma

• C/C: -1, -1
• C/D: -5, 0
• D/C: 0, -5
• D/D: -3, -3

Nash Equilibrium Definition

• A set of actions, one for each player, where no player benefits from changing their action given others' actions.
• (D, D) is a Nash Equilibrium in the Prisoner's Dilemma because neither player can improve their situation by unilaterally changing to C, assuming the other player sticks with D.
• (C, C) is not a Nash Equilibrium because each player can benefit by switching to D.

Notes

• Maximizing society/social welfare is not the goal of Nash Equilibrium

Algorithmic Game Theory Questions

• How difficult is finding (computing) a Nash equilibrium?
• How can games be engineered for socially 'good' outcomes?

Selfish Routing Example

• In a network, traffic is routed from source to destination.
• Users want to minimize their own travel time, leading to selfish routing.
• The key concern is how this traffic compares to optimal traffic patterns.

Price of Anarchy

• Definition: Ratio between the worst Nash equilibrium cost, and the optimal solution cost.

• Purpose: Measures decay in social welfare from selfish behavior.

Static Electricity

Charging by Friction

• The Triboelectric series lists materials based on their inclination to gain or lose electrons.

Triboelectric Characteristics

• Materials higher in the list becoming positive by losing electrons.
• Materials lower in the list becoming negative by gaining electrons.

Examples

• Glass gets rubbed with silk will make the Glass positive as its higher in the triboelectric series and the Silk negative being lower in the series.
• Rubber balloon rubbed with hair will result in the Rubber Balloon being negative as its lower in the triboelectric series and the hair being positive being higher in the series.

Charge Polarization Information

• Definition: Rearrangement of charges within each molecule.
• Result: A slightly negative/positive side of the molecule forms, and a resulting change to the other side.
• Example: Water (H2O) - Oxygen is negative and Hydrogen is positive

Information About Electroscopes

• Use: device utilized to detect static charge.
• Structure: Metal knob attached to two metal leaves.
• Function: Touching the know with something charged will cause the leaves to spread out (repulsion).

Electroscope Varieties

• Pith Ball Electroscope: A hanging pith ball will get pulled towards objects that have charges.
• Metal Leaf Electroscope: Repulsion between charged metal leaves will occur when charged.