Algèbre Linéaire: Espaces Vectoriels et Corps

Algèbre Linéaire (Série 1)

• Si $a + b = 0$ alors $b = -a$, où $a, b \in \mathbb{K}$ et $\mathbb{K}$ est un corps.
• Si $a + a = a$ alors $a = 0$, où $a \in \mathbb{K}$.
• Si $a \cdot a = a$ alors $a = 0$ ou $a = 1$, où $a \in \mathbb{K}$.
• Le corps $\mathbb{K}$ est tel que, si $a \neq 0$, alors il existe un unique $b \in \mathbb{K}$ tel que $a \cdot b = 1$, où $b$ est noté $a^{-1}$.
• Si $a \cdot b = 0$ alors $a = 0$ ou $b = 0$, où $a, b \in \mathbb{K}$.

$\mathbb{K}$-espace vectoriel

• $V = \mathbb{K} \times \mathbb{K} = {(x, y) \mid x, y \in \mathbb{K}}$, où $\mathbb{K}$ est un corps.
• L'addition sur $V$ est définie par $(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')$.
• La multiplication par un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est définie par $\lambda \cdot (x, y) = (\lambda \cdot x, y)$.
• Besoins d'être vérifié si $V$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.

Sous-espaces vectoriels de $E$

• $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
• $F_1 = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y}$
• $F_2 = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y + 1}$
• $F_3 = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \cdot y = 0}$
• $F_4 = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0}$
• $F_5 = {f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(1) = 0}$
• $F_6 = {f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0) = 1}$
• $F_7 = {f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(x) = f(-x) \forall x \in \mathbb{R}}$
• $F_8 = {f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(x) = -f(-x) \forall x \in \mathbb{R}}$
• Chaque ensemble doit être examiné pour savoir s'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de $E$.

Sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$

• $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
• $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
• $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F \subset G$ ou $G \subset F$.
• $F + G := {x + y \mid x \in F, y \in G}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Sous-espaces vectoriels $F, G, H$ de $E$

• $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
• $(F \cap G) + (F \cap H) \subset F \cap (G + H)$.
• Trouver un exemple où l'inclusion est stricte.

Concepts de base

• Langage source
• Langage cible
• Compilateur
• Interpréteur
• Machine virtuelle

Compilation

• Transformation d'un programme source en un programme cible équivalent.
• Le programme cible est généralement en langage machine.
• Le compilateur effectue une analyse statique du code source.
• Le programme cible peut être exécuté directement par le système d'exploitation.

Interprétation

• Exécution directe du code source par un interpréteur.
• L'interpréteur effectue une analyse dynamique du code source.
• Le code source est analysé et exécuté ligne par ligne.
• L'interpréteur peut être vu comme une machine virtuelle.

Compilation vs Interprétation

• L'analyse dans la compilation est statique tandis que dans l'interprétation, elle est dynamique.
• L'exécution dans la compilation est un programme cible tandis que dans l'interprétation, elle est le code source.
• La compilation est plus rapide, mais l'interprétation est plus lente.
• La compilation est moins portable, tandis que l'interprétation est plus portable.
• Le débogage est plus difficile en compilation, mais plus facile en interprétation.
• Les erreurs sont détectées avant l'exécution dans la compilation, mais pendant l'exécution dans l'interprétation.
• Exemples de compilation: C, C++, Java (compilation en bytecode), Fortran.
• Exemples d'interprétation: Python, JavaScript, Ruby, PHP, Perl, Bash, R.

Structure d'un compilateur

• Analyse lexicale (Scanning)
• Analyse syntaxique (Parsing)
• Analyse sémantique
• Génération de code intermédiaire
• Optimisation de code
• Génération de code cible

Analyse lexicale

• Divise le code source en une séquence de lexèmes (tokens).
• Chaque lexème est une unité syntaxique de base (mot-clé, identificateur, opérateur, constante, etc.).
• Le résultat de l'analyse lexicale est une séquence de lexèmes.

Analyse syntaxique

• Analyse la structure grammaticale du code source.
• Construit un arbre syntaxique (parse tree) représentant la structure du code.
• Vérifie si le code source respecte les règles de la grammaire du langage.

Analyse sémantique

• Vérifie le sens du code source.
• Vérifie les types des variables et des expressions.
• Vérifie la portée des variables.
• Ajoute des informations sémantiques à l'arbre syntaxique.

Génération de code intermédiaire

• Transforme l'arbre syntaxique en une représentation intermédiaire du code.
• Le code intermédiaire est plus facile à optimiser et à traduire en code cible.
• Exemples de code intermédiaire: code à trois adresses, P-code.

Optimisation de code

• Améliore le code intermédiaire pour qu'il s'exécute plus rapidement ou utilise moins de mémoire.
• Exemples d'optimisations: suppression de code mort, propagation de constantes, common subexpression elimination.

Génération de code cible

• Transforme le code intermédiaire en code cible (langage machine, assembleur, etc.).
• Alloue de la mémoire pour les variables.
• Génère les instructions machine correspondantes au code intermédiaire.

Résumé

• La compilation transforme un programme source en un programme cible équivalent.
• L'interprétation exécute directement le code source par un interpréteur.
• La structure d'un compilateur inclut l'analyse lexicale, l'analyse syntaxique, l'analyse sémantique, la génération de code intermédiaire, l'optimisation de code et la génération de code cible.

Tension

• La tension, notée $T$, est une force exercée par une corde, une ficelle, un câble ou un objet similaire sur un autre objet.
• Elle est orientée le long de la longueur de la corde et exerce une traction égale sur les objets aux deux extrémités.

Concepts clés

• La direction de la tension tire toujours le long de la direction de la corde.
• L'amplitude de la force de tension est la même tout au long de la corde si:
  • La corde est sans masse.
  • Il n'y a pas de poulies ou d'autres dispositifs modifiant la tension le long de la corde.
• Les cordes idéales sont celles qui sont sans masse et ne s'étirent pas.
• La tension est une force et peut être analysée à l'aide des lois du mouvement de Newton.

Bloc suspendu verticalement (Example 1)

• Un bloc de masse $m$ est suspendu au plafond par une corde.
• La tension dans la corde est égale au poids du bloc: $T = mg$.

Bloc tiré horizontalement (Example 2)

• Un bloc de masse $m$ est tiré horizontalement sur une surface sans frottement par une corde avec une tension $T$.
• L'accélération du bloc est directement proportionnelle à la tension et inversement proportionnelle à la masse: $a_x = \frac{T}{m}$.

Deux blocs reliés par une corde (Example 3)

• Deux blocs de masses $m_1$ et $m_2$ sont reliés par une corde, où $m_1$ est sur une surface horizontale sans frottement et $m_2$ pend verticalement via une poulie.
• L'accélération du système est $a = \frac{m_2g}{m_1 + m_2}$.
• La tension dans la corde est $T = \frac{m_1m_2g}{m_1 + m_2}$.

Notes supplémentaires

• Sur les poulies, la tension reste la même des deux côtés si la poulie est sans masse et sans frottement.
• Dans les problèmes plus complexes, la masse de la corde et son élasticité peuvent devoir être prises en compte.
• Si une corde exerce une force selon un angle, la force de tension doit être résolue en composantes avant d'appliquer les lois de Newton.

Système cardiovasculaire

Vaisseaux sanguins

Artères

• Transportent le sang loin du cœur.
• Parois épaisses et élastiques pour résister à la haute pression.
• Se ramifient en artérioles plus petites.

Capillaires

• Vaisseaux microscopiques où se produit l'échange de nutriments et de déchets.
• Parois fines pour la diffusion des substances.
• Relient les artérioles et les veinules.

Veines

• Transportent le sang vers le cœur.
• Parois plus fines que les artères, avec une pression inférieure.
• Les valves empêchent le reflux du sang.
• Les veinules fusionnent en veines plus grandes.

Circulation sanguine

Circulation pulmonaire

• Ventricule droit $\rightarrow$ Artère pulmonaire $\rightarrow$ Poumons $\rightarrow$ Veine pulmonaire $\rightarrow$ Oreillette gauche.
• Transporte le sang désoxygéné vers les poumons et renvoie le sang oxygéné vers le cœur.

Circulation systémique

• Ventricule gauche $\rightarrow$ Aorte $\rightarrow$ Tissus corporels $\rightarrow$ Veine cave $\rightarrow$ Oreillette droite.
• Fournit du sang oxygéné à tous les tissus corporels et renvoie le sang désoxygéné au cœur.

Structure cardiaque

Chambres

• Oreillettes (droite et gauche): reçoivent le sang.
• Ventricules (droit et gauche): pompent le sang.

Valves

• Valves auriculoventriculaires (AV):
  • Tricuspide (côté droit).
  • Mitrale/bicuspide (côté gauche).
• Valves semi-lunaires:
  • Pulmonaire (ventricule droit).
  • Aortique (ventricule gauche).

Les phases du cycle cardiaque sont la systole (contraction) et la diastole (relaxation).

Pression artérielle

• Pression systolique: Pression lorsque le cœur se contracte.
• Pression diastolique: Pression lorsque le cœur se détend.
• Exprimée en systolique/diastolique (par exemple, 120/80 mmHg).

Régulation de la pression artérielle

• Système nerveux: contrôle de la fréquence cardiaque et de la constriction des vaisseaux.
• Hormones: telles que l'adrénaline et l'angiotensine, affectent la pression artérielle.
• Reins: régulent le volume sanguin.

Troubles courants

• Hypertension: Pression artérielle élevée pouvant entraîner des maladies cardiaques, des accidents vasculaires cérébraux et une insuffisance rénale.
• Athérosclérose: Accumulation de plaque dans les artères réduisant le débit sanguin, pouvant provoquer une crise cardiaque ou un accident vasculaire cérébral.
• Insuffisance cardiaque: Le cœur ne peut pas pomper suffisamment de sang, entraînant de la fatigue, un essoufflement et une rétention d'eau.

Théorie algorithmique des jeux

Quelle est la théorie des jeux ?

• Jeux : interactions stratégiques entre deux ou plusieurs joueurs
• Joueurs : entités décisionnelles (algorithmes, personnes, organisations, etc.)
• Stratégies : actions possibles des joueurs
• Gains/Utilités/Récompenses : valeurs numériques que les joueurs tentent de maximiser. Il représente le résultat du jeu pour chaque joueur

Exemple : Dilemme du prisonnier

Deux suspects sont arrêtés pour un crime. Ils sont interrogés séparément.

• Si les deux restent silencieux, ils écopent chacun d’un an de prison.
• Si l’un avoue et l’autre reste silencieux, l’auteur des aveux est libéré et l’autre écope de 4 ans de prison.
• Si les deux avouent, ils écopent chacun de 3 ans de prison.

Table des gains (Années d’emprisonnement)

| | Silencieux | Avoue | | | | | | Silencieux | -1, -1 | -4, 0 | | Avoue | 0, -4 | -3, -3 |

Qu’est-ce que la théorie algorithmique des jeux ?

La théorie traditionnelle des jeux suppose :

• Les joueurs sont rationnels
• Les joueurs ont une puissance informatique illimitée

Cependant :

• Les joueurs sont des algorithmes avec une puissance informatique limitée
• Les jeux se jouent souvent sur un réseau informatique

Théorie algorithmique des jeux :

• Applique la conception et l’analyse d’algorithmes à des environnements théoriques de jeux
• Il se situe à l’intersection de la théorie des jeux et de l’informatique.

Objectifs de la théorie algorithmique des jeux

• Concevoir des algorithmes permettant aux joueurs de calculer des stratégies (approximativement) optimales dans les grands jeux.
• Quantifier la perte d’efficacité due au comportement égoïste (prix de l’anarchie).
• Concevoir des jeux pour obtenir certains résultats souhaitables. (conception de mécanismes).

Thèmes de la théorie algorithmique des jeux

Concepts de solution : Qu’est-ce qu’une solution et quelle est sa difficulté à être calculée ?

• Équilibre de Nash, équilibre corrélé, etc.

Prix de l’anarchie : Dans quelle mesure le comportement égoïste est mauvais ?

• Combien d’efficacité est perdue à cause du comportement stratégique ?

Conception de mécanismes : Comment concevoir des jeux pour obtenir certains résultats souhaitables ?

• Enchères, protocoles de vote, etc.

Apprentissage dans les jeux : Comment les joueurs apprennent-ils à bien jouer dans les jeux répétés ?

• Apprentissage sans regret, apprentissage par renforcement, etc.

Équilibre de Nash

Un équilibre de Nash est un profil de stratégie où aucun joueur ne peut améliorer son gain en s’écartant unilatéralement. Autrement dit, compte tenu de ce que font les autres joueurs, aucun joueur ne veut changer sa propre stratégie.

• Soit si la stratégie du joueur i, et s-i les stratégies de tous les autres joueurs.
• s = (si, s-i) est un équilibre de Nash si pour tous les joueurs i et pour toutes les stratégies si du joueur i :

ui(si, s-i) ≥ ui(si, s-i)

Exemple : Dilemme du prisonnier

| | Silencieux | Avoue | | | | | | Silencieux | -1, -1 | -4, 0 | | Avoue | 0, -4 | -3, -3 |

(Avouer, avouer) est un équilibre de Nash

Existence de l’équilibre de Nash

• Théorème (Nash, 1950) : Tout jeu avec un nombre fini de joueurs et un nombre fini de stratégies a au moins un équilibre de Nash (éventuellement dans des stratégies mixtes).

Stratégie mixte : Une distribution de probabilité sur des stratégies pures.

Complexité du calcul

• Quelle est la difficulté de calculer un équilibre de Nash ?
• Théorème (Daskalakis, Goldberg, Papadimitriou, 2009) : Le calcul d’un équilibre de Nash dans un jeu avec 2 joueurs ou plus est PPAD-complet.

PPAD : Argument de parité polynomiale dirigée. Une classe de complexité qui contient des problèmes que l’on pense difficiles, mais pas nécessairement NP-difficiles.

Prix de l’anarchie

Définition

Le prix de l’anarchie (PoA) mesure la perte d’efficacité due au comportement égoïste. Il est défini comme le rapport entre le pire des cas de l’équilibre de Nash et le bien-être social optimal.

PoA = (Bien-être social du pire des cas de l’équilibre de Nash) / (Bien-être social optimal)

Bien-être social

La somme des gains de tous les joueurs.

Exemple : Équilibrage de charge

• n joueurs veulent utiliser une ressource (p. ex., un serveur)

• Chaque joueur i choisit un serveur si ∈ S, où S est l’ensemble des serveurs.

• Le coût d’un serveur est fonction du nombre de joueurs qui l’utilisent.

P. ex., le coût du serveur j est cj(x) = x, où x est le nombre de joueurs qui utilisent le serveur j

• Chaque joueur veut minimiser son coût.

Prix de l’anarchie dans l’équilibrage de charge

Théorème : Dans le jeu d’équilibrage de charge décrit ci-dessus, le prix de l’anarchie est au plus de 4/3.

Conception de mécanismes

Définition

La conception de mécanismes est l’art de concevoir des jeux pour obtenir certains résultats souhaitables. Le concepteur peut choisir les règles du jeu, mais pas les stratégies des joueurs.

Exemple : Enchères

• Un vendeur veut vendre un article à l’un des n enchérisseurs.

• Chaque enchérisseur i a une valeur privée vi pour l’article.

• Le vendeur veut maximiser ses revenus.

Types d’enchères

• Enchère au premier prix : Chaque enchérisseur soumet une offre. Le plus offrant remporte l’enchère et paie son offre.
• Enchère au deuxième prix : Chaque enchérisseur soumet une offre. Le plus offrant remporte l’enchère et paie la deuxième offre la plus élevée.
• Enchère VCG (Vickrey-Clarke-Groves) : Une généralisation de l’enchère au deuxième prix à plusieurs articles.

Apprentissage dans les jeux

Définition

L’apprentissage dans les jeux étudie comment les joueurs apprennent à bien jouer dans les jeux répétés. Les joueurs jouent les mêmes jeux de façon répétée et mettent à jour leurs stratégies en fonction des observations passées.

Types d’algorithmes d’apprentissage

• Apprentissage sans regret : Les joueurs tentent de minimiser leur regret, c’est-à-dire la différence entre le gain qu’ils ont reçu et le gain qu’ils auraient pu recevoir s’ils avaient joué une stratégie différente.
• Apprentissage par renforcement : Les joueurs apprennent à bien jouer par essais et erreurs. Ils reçoivent des récompenses pour les bonnes actions et des pénalités pour les mauvaises actions.

Convergence vers l’équilibre

Dans certaines conditions, les algorithmes d’apprentissage peuvent converger vers un équilibre de Nash ou un équilibre corrélé.

Résumé

La théorie algorithmique des jeux est un domaine fascinant qui combine la théorie des jeux et l’informatique. Il offre une panoplie d’outils puissante pour analyser les interactions stratégiques entre des agents rationnels dotés d’une puissance informatique limitée. Les sujets abordés dans cette conférence donnent un aperçu des nombreuses applications de la théorie algorithmique des jeux dans divers domaines, tels que l’économie, l’informatique et les sciences sociales.

Algorithmes de tri

Tris de comptage

Le tri comptage est un algorithme de tri non comparatif qui fonctionne en comptant le nombre d’occurrences de chaque valeur unique dans le tableau à trier. Le comptage est stocké dans un tableau auxiliaire, et le tri peut être effectué en parcourant le tableau auxiliaire pour placer les éléments dans leur position correcte dans le tableau de sortie.

Algorithmes

TriComptage(tableau, k) Entrée : tableau[1..n] d’entiers, k la plus grande valeur dans le tableau Sortie : tableau trié

1. Initialiser un tableau comptage[0..k] avec des 0
2. Pour i de 1 à n faire
3. comptage[tableau[i]] = comptage[tableau[i]] + 1
4. Pour i de 1 à k faire
5. comptage[i] = comptage[i] + comptage[i-1]
6. Pour i de n à 1 faire
7. tableauSortie[comptage[tableau[i]]] = tableau[i]
8. comptage[tableau[i]] = comptage[tableau[i]] - 1
9. Retourner tableauSortie

Complexité

La complexité du tri comptage est de $O(n + k)$, où $n$ est la taille du tableau à trier et $k$ est la plus grande valeur dans le tableau.

Tris radix

Le tri radix est un algorithme de tri non comparatif qui trie les éléments en traitant les chiffres individuels des nombres. Il peut être utilisé pour trier des entiers, des chaînes de caractères, des cartes de visite, etc.

Algorithme

TriRadix(tableau, d) Entrée : tableau[1..n] d’entiers, d le nombre de chiffres dans le plus grand nombre Sortie : tableau trié

1. Pour i de 1 à d faire
2. Utiliser un tri stable pour trier le tableau en fonction du i-ème chiffre

Complexité

La complexité du tri radix est de $O(nk)$, où $n$ est la taille du tableau à trier et $k$ est le nombre de chiffres dans le plus grand nombre.

Tris fusion

Le tri fusion est un algorithme de tri par comparaison qui divise le tableau à trier en deux moitiés, trie chaque moitié récursivement, puis fusionne les deux moitiés triées en un seul tableau trié.

Algorithme

TriFusion(tableau) Entrée : tableau[1..n] d’éléments Sortie : tableau trié

1. Si n == 1 alors
2. Retourner tableau
3. Sinon
4. m = n / 2
5. gauche = tableau[1..m]
6. droite = tableau[m+1..n]
7. gauche = TriFusion(gauche)
8. droite = TriFusion(droite)
9. Retourner Fusionner(gauche, droite)

Algorithme de la fonction Fusionner

Fusionner(gauche, droite) Entrée : gauche[1..m] et droite[1..n] deux tableaux triés Sortie : tableau[1..m+n] trié

1. i = 1, j = 1, k = 1
2. Tant que i