Algèbre linéaire: Concepts clés

• Information essentielle pour une étude sur l'algèbre linéaire.

Définitions de base

• Un vecteur est défini par sa magnitude (longueur), sa direction et son sens.
• L'addition vectorielle est effectuée composante par composante : $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2,..., a_n + b_n)$.
• La multiplication scalaire consiste à multiplier chaque composante du vecteur par un scalaire : $k\vec{a} = (ka_1, ka_2,..., ka_n)$.
• Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui peuvent être additionnés et multipliés par des scalaires.

Matrices

• Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, symboles ou expressions.
• L'addition matricielle est effectuée élément par élément : $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$.
• Multiplication scalaire : $kA = [ka_{ij}]$.
• Dans la multiplication matricielle, $(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$.
• La transposée d'une matrice $A$, $A^T$, est obtenue en échangeant ses rangées et ses colonnes.
• Une matrice carrée a un nombre égal de rangées et de colonnes.
• La matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs.
• Une matrice diagonale est une matrice carrée avec des éléments non nuls uniquement sur la diagonale principale.
• Une matrice symétrique satisfait $A = A^T$.
• Une matrice antisymétrique satisfait $A = -A^T$.

Déterminants

• Le déterminant est une fonction scalaire qui donne des indications sur l'inversibilité d'une matrice carrée.
• Pour une matrice $2 \times 2$ : $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}, \quad \det(A) = ad - bc$.
• Le déterminant d'une matrice $3 \times 3$ peut être calculé avec la règle de Sarrus ou le développement de Laplace.
• Propriétés des déterminants : $\det(A^T) = \det(A)$, $\det(AB) = \det(A) \det(B)$, et si une matrice a une rangée ou colonne de zéros, son déterminant est zéro.

Systèmes d'équations linéaires

• Un système d'équations linéaires peut s'écrire sous forme matricielle comme $Ax = b$.
• $A$ représente la matrice des coefficients, $x$ le vecteur des inconnues, et $b$ le vecteur des constantes.
• Les méthodes de résolution incluent l'élimination de Gauss, la règle de Cramer et l'inversion de matrice ($x = A^{-1}b$).
• Les systèmes linéaires peuvent avoir une solution unique, une infinité de solutions, ou aucune solution.

Valeurs propres et vecteurs propres

• Pour une matrice carrée $A$, un vecteur propre $v$ et une valeur propre $\lambda$ satisfont $Av = \lambda v$.
• Les valeurs propres sont les solutions de l'équation caractéristique : $\det(A - \lambda I) = 0$, où $I$ est la matrice identité.
• La somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice.
• Le produit des valeurs propres est égal au déterminant de la matrice.

Diagonalisation

• Une matrice $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$.
• Une matrice est diagonalisable si elle a $n$ vecteurs propres linéairement indépendants.

Applications

• Les applications de l'algèbre linéaire comprennent la résolution de systèmes d'équations différentielles.
• L'analyse de stabilité est une application.
• Transformations linéaires en infographie est une application.
• Analyse de donées et statistiques, analyse en composantes principales est aussi une application.