Algebra und ihre Geschichte

Lineare Algebra (Informatik)

• Einführung:
  • Die lineare Algebra befasst sich mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme und den dazugehörigen Rechenoperationen.
  • Das Wort „Algebra" stammt aus dem Arabischen und bedeutet im Deutschen etwa „Ergänzen".
  • Frühgeschichte: Babylonier (ca. 2000 v. Chr.) und Ägypter (ca. 1700 v. Chr.) lösten Gleichungssysteme mit geometrischen Methoden.
  • Höhepunkt im antiken Griechenland: Pythagoreer (ca. 600 v. Chr.) entdeckten irrationale Zahlen, Euklid (ca. 300 v. Chr.) verfasste die „Elemente".
  • Moderne Entwicklung: Mathematiker wie Euler, Lagrange, Gauss, Galois, Abel usw. prägten die weitere Entwicklung.
• Grundbegriffe
  • Logik: Untersucht die Struktur von Sätzen (Aussagen) bezüglich ihrer Wahrheitswerte (wahr/falsch) und logischen Operatoren (z. B. und, oder, nicht, wenn ..., dann ...).
  • Wahrheitstafeln: Analysieren den Wahrheitsgehalt von zusammengesetzten Aussagen mithilfe logischer Operatoren.
  • Vollständige Induktion: Beweisverfahren, um die Gültigkeit einer Aussage für alle natürlichen Zahlen nachzuweisen.
• Mengenlehre
  • Menge: Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte (Elemente).
  • Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
  • Teilmenge: Eine Menge A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist.
  • Potenzmenge: Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge.
  • Differenz, Schnitt: Operationen auf Mengen, definiert durch die gemeinsamen Elemente.
  • Vereinigung: Menge aller Elemente, die in mindestens einer der gegebenen Mengen enthalten sind.
  • Kartesisches Produkt: Menge aller geordneten Paare von Elementen aus zwei Mengen.
• Relationen
  • Relation: Beziehung zwischen Elementen aus zwei Mengen.
  • Äquivalenzrelation: Relation mit reflexiven, symmetrischen und transitiven Eigenschaften.
  • Kongruenz modulo m: Relation auf Z, definiert durch m|(x-y)
• Abbildungen (Funktionen)
  • Abbildung (Funktion): Beziehung zwischen zwei Mengen, bei der jedes Element der ersten Menge genau einem Element der zweiten Menge zugeordnet ist.
  • Bild, Urbild: Teilmengen, die von bzw. auf eine Abbildung abgebildet werden.
  • Verkettung: Komposition von Funktionen.
  • Injektivität, Surjektivität, Bijektivität: Eigenschaften von Abbildungen (injektiv: eindeutige Zuordnung, surjektiv: jedes Element des Wertebereichs hat ein Urbild, bijektiv: injektiv und surjektiv).
• Untervektorräume
  • Untervektorraum: Nicht-leere Teilmenge eines Vektorraums, die bezüglich der Vektoraddition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist.
• Matrizen
  • Matrix: Rechteckiges Schema von Zahlen (Elementen eines Körpers).
  • Matrizenaddition, -multiplikation, Transponierte: Operationen auf Matrizen.
  • Inverse Matrix: Matrix, die mit der gegebenen Matrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.
• Erzeugendensystem, lineare Unabhängigkeit, Basis
  • Erzeugendensystem: Eine Menge von Vektoren, die jeden Vektor des Raumes darstellen lässt.
  • Lineare Unabhängigkeit: Eine Menge von Vektoren, für die die einzige Linearkombination, die Null ergibt, die triviale ist.
  • Basis: Eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden.
• Dimension
  • Dimension: Die Anzahl der Elemente in einer Basis.
• Lineare Abbildungen
  • Lineare Abbildung (Homomorphismus): Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die die Vektorraumstruktur erhält.
  • Kern, Bild: Teilmengen, die durch eine lineare Abbildung auf Null abgebildet bzw. „erzeugt“ werden.

In diesem Quiz erforschen wir den Begriff ‚Algebra‘ und seine Ursprünge, einschließlich der Lösung von Gleichungssystemen durch die Babylonier. Wir betrachten auch das bekannte mathematische Buch, das den Begriff geprägt hat, sowie zentrale Themen der linearen Algebra. Ein weiterer Aspekt ist die geografische Betrachtung der Geschichte der Algebra.