Algebra: Polynomial Equations

Polynomial Equations

Definition

• A polynomial equation is an equation consisting of variables and coefficients combined using only addition, subtraction, and multiplication.
• The degree of the equation is the highest power of the variable.

Types of Polynomial Equations

• Monomial equations: equations with only one term (e.g. 2x^3 = 0)
• Binomial equations: equations with two terms (e.g. x^2 + 2x = 0)
• Trinomial equations: equations with three terms (e.g. x^2 + 2x + 1 = 0)

Solving Polynomial Equations

• Factoring: if the equation can be written as a product of simpler expressions, it can be solved by setting each factor equal to 0 and solving for the variable.
• Synthetic Division: a method for dividing a polynomial by a linear factor.
• Remainder Theorem: if a polynomial is divided by (x - a), the remainder is the value of the polynomial when x = a.

Quadratic Equations

Definition

• A quadratic equation is a polynomial equation of degree 2, with a general form of ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are constants.
• The solutions to a quadratic equation are the roots or zeroes of the equation.

Formulae

• Quadratic Formula: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, used to solve quadratic equations.
• Vertex Form: y = a(x - h)^2 + k, where (h, k) is the vertex of the parabola.

Solving Quadratic Equations

• Factoring: if the equation can be written as a product of two binomials, it can be solved by setting each factor equal to 0 and solving for the variable.
• Quadratic Formula: used when the equation cannot be factored.
• Graphing: quadratic equations can be solved by graphing the related function and finding the x-intercepts.

Graphing Quadratic Equations

• Parabola: the graph of a quadratic equation, opening upward or downward.
• Vertex: the lowest or highest point of the parabola.
• Axis of Symmetry: the vertical line that passes through the vertex and is the line of symmetry for the parabola.

Polinom Denklemleri

Tanım

• Polinom denklemi, sadece toplama, çıkarma ve çarpma kullanarak değişkenler ve katsayılar birleştirilir.
• Denklemin derecesi, değişkenin en yüksek gücüdür.

Polinom Denklemleri Türleri

• Monom denklemleri: tek terimli denklemler (örneğin, 2x^3 = 0)
• Binom denklemleri: iki terimli denklemler (örneğin, x^2 + 2x = 0)
• Trinom denklemleri: üç terimli denklemler (örneğin, x^2 + 2x + 1 = 0)

Polinom Denklemleri Çözümü

• Faktörleştirme: denklem basit ifadelerin bir ürünü olarak yazılabiliyorsa, her faktörü 0'a eşitleyerek değişkeni çözebiliriz.
• Sentez Bölme: bir polinomun lineer bir faktöre bölünmesi için kullanılan bir yöntem.
• Kalanı Teoremi: bir polinomun (x - a) tarafından bölünmesi durumunda, kalan polinomun x = a değeridir.

Kuadratik Denklemler

Tanım

• Kuadratik denklem, derecesi 2 olan bir polinom denklemdir, genel formu ax^2 + bx + c = 0 şeklindedir, burada a, b, ve c sabitleridir.
• Kuadratik denklemin çözümleri, denklemin kökleri veya sıfırlarıdır.

Formülleri

• Kuadratik Formül: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, kuadratik denklemleri çözmek için kullanılır.
• Tepesi Formu: y = a(x - h)^2 + k, burada (h, k) parabolün tepesidir.

Kuadratik Denklemleri Çözümü

• Faktörleştirme: denklem iki binomun ürünü olarak yazılabiliyorsa, her faktörü 0'a eşitleyerek değişkeni çözebiliriz.
• Kuadratik Formül: denklem faktörleştirilemiyorsa kullanılır.
• Grafik Çizimi: kuadratik denklemler, ilgili fonksiyonun grafik çizimi ve x-kesişimlerinin bulunması yoluyla çözülebilir.

Kuadratik Denklemlerin Grafik Çizimi

• Parabol: kuadratik denklemin grafiği, yukarı veya aşağı açılan bir eğri biçimindedir.
• Tepesi: parabolün en düşük veya en yüksek noktasıdır.
• Simetri Ekseni: parabolün tepesinden geçen ve simetri çizgisi olan dikey bir çizgidir.