Algebra: Linear Equations and Function Notation

Linear Equations

• A linear equation is an equation in which the highest power of the variable(s) is 1.
• Standard form: Ax + By = C, where A, B, and C are constants.
• Slope-intercept form: y = mx + b, where m is the slope and b is the y-intercept.
• Point-slope form: y - y1 = m(x - x1), where (x1, y1) is a point on the line and m is the slope.
• Linear equations can be solved using substitution, elimination, or graphing.

Function Notation

• Function notation: f(x) = expression, where f is the function and x is the input or independent variable.
• Domain: the set of input values for which the function is defined.
• Range: the set of output values of the function.
• Example: f(x) = 2x + 1, where f is the function, x is the input, and 2x + 1 is the output.

Graphing Functions

• Graphing a function: plotting points on a coordinate plane to visualize the relationship between the input and output values.
• x-axis: horizontal axis, represents the input values.
• y-axis: vertical axis, represents the output values.
• Origin: (0, 0), the point where the x and y axes intersect.

Quadratic Equations

• A quadratic equation is a polynomial equation of degree 2, in the form of ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are constants.
• Factoring: expressing the quadratic equation as a product of two binomials.
• Quadratic formula: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, where a, b, and c are constants.
• Graphing quadratic equations: parabola, opens upward or downward, with a vertex and axis of symmetry.

Domain and Range

• Domain: the set of input values for which the function is defined.
• Range: the set of output values of the function.
• Finding domain and range:
  • Domain: identify the values of x for which the function is undefined or becomes infinite.
  • Range: identify the possible output values of the function.
• Example: f(x) = 1/x, domain: all real numbers except x = 0, range: all real numbers except y = 0.

Ecuaciones Lineales

• Una ecuación lineal es una ecuación en la que el mayor poder de la variable(s) es 1.
• La forma estándar es: Ax + By = C, donde A, B y C son constantes.
• La forma pendiente-intercepto es: y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intercepto en y.
• La forma punto-pendiente es: y - y1 = m(x - x1), donde (x1, y1) es un punto en la línea y m es la pendiente.
• Las ecuaciones lineales se pueden resolver utilizando sustitución, eliminación o gráficos.

Notación de Funciones

• La notación de función es: f(x) = expresión, donde f es la función y x es la variable independiente.
• El dominio es el conjunto de valores de entrada para los que la función está definida.
• La rango es el conjunto de valores de salida de la función.
• Ejemplo: f(x) = 2x + 1, donde f es la función, x es la variable independiente y 2x + 1 es la salida.

Graficación de Funciones

• La graficación de una función es la traza de puntos en un plano de coordenadas para visualizar la relación entre los valores de entrada y salida.
• El eje x es el eje horizontal, que representa los valores de entrada.
• El eje y es el eje vertical, que representa los valores de salida.
• El origen es el punto (0, 0), donde se intersectan los ejes x e y.

Ecuaciones Cuadradas

• Una ecuación cuadrada es una ecuación polinomial de grado 2, en la forma de ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes.
• La factorización es la expresión de la ecuación cuadrada como un producto de dos binomios.
• La fórmula cuadrada es: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, donde a, b y c son constantes.
• La graficación de ecuaciones cuadradas es una parábola, que abre hacia arriba o hacia abajo, con un vértice y un eje de simetría.

Dominio y Rango

• El dominio es el conjunto de valores de entrada para los que la función está definida.
• La rango es el conjunto de valores de salida de la función.
• La forma de encontrar el dominio y la rango es:
  • Dominio: identificar los valores de x para los que la función está indefinida o se vuelve infinita.
  • Rango: identificar los posibles valores de salida de la función.
• Ejemplo: f(x) = 1/x, dominio: todos los números reales excepto x = 0, rango: todos los números reales excepto y = 0.