Álgebra Lineal: Vectores y Matrices

Matemáticas II

Introducción al Álgebra Lineal

• El álgebra lineal examina vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones lineales.
• Es esencial para la ingeniería, la física, la informática y la economía.
• Proporciona herramientas para modelar y resolver problemas complejos.

Vectores

• Un vector tiene magnitud y dirección.
• Se representa geométricamente como una flecha.

Operaciones

• Suma de vectores: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$
• Producto escalar por vector: $k\vec{u} = (ku_1, ku_2)$
• Producto punto (escalar): $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$
• Producto cruz (vectorial) en $\mathbb{R}^3$: $\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$

Matrices

• Una matriz es una tabla rectangular de números, símbolos o expresiones.
• Se denota como $A_{m \times n}$, con $m$ filas y $n$ columnas.

Operaciones

• Suma de matrices: $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$
• Producto escalar por matriz: $kA = [ka_{ij}]$
• Producto de matrices: $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ para $A_{m \times n}$ y $B_{n \times p}$, resultando en $C_{m \times p}$.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Son conjuntos de ecuaciones lineales con las mismas variables.

Métodos de Solución

• Sustitución: Despejar una variable en una ecuación y sustituirla en otra.
• Eliminación (reducción): Sumar o restar múltiplos de las ecuaciones para eliminar una variable.
• Método de Gauss-Jordan: Transformar la matriz aumentada a forma escalonada reducida.
• Regla de Cramer: Utiliza determinantes, válida si el determinante de la matriz de coeficientes no es cero.

Transformaciones Lineales

• Una transformación lineal preserva las operaciones de suma vectorial y multiplicación por un escalar.

Propiedades

• $T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$
• $T(k\vec{u}) = kT(\vec{u})$

Aplicaciones del Álgebra Lineal

• Gráficos por computadora: Transformación de imágenes y modelado 3D.
• Análisis de datos: Reducción de dimensionalidad.
• Optimización: Programación lineal.
• Física: Mecánica cuántica, electromagnetismo.

Conclusión

• El Álgebra Lineal es fundamental para modelar y resolver problemas en diversas disciplinas.

Algoritmos de Ordenamiento

Ordenamiento por Inserción

• El ordenamiento por inserción ordena un arreglo insertando un elemento a la vez en la ubicación correcta dentro de la parte ya ordenada del arreglo.
• Es eficiente para arreglos pequeños o parcialmente ordenados.

Proceso

• Recorre el arreglo de izquierda a derecha.
• Para cada elemento, lo inserta en su posición correcta en la parte ordenada.

Pseudocódigo

• Para i de 1 hasta longitud(arreglo) - 1: clave = arreglo[i], j = i - 1. Mientras j >= 0 y arreglo[j] > clave: arreglo[j + 1] = arreglo[j], j = j - 1. arreglo[j + 1] = clave.

Ejemplo

• Dado el arreglo [5, 2, 4, 6, 1, 3], el ordenamiento se realiza paso a paso insertando cada número en su posición ordenada.

Ordenamiento por Selección

• El ordenamiento por selección implica buscar el valor mínimo y colocarlo al principio del arreglo, luego repetir el proceso para el resto del arreglo.

Proceso

• Busca el elemento mínimo.
• Intercámbialo con el primero.
• Repite para el resto del arreglo.

Pseudocódigo

• Para i de 0 hasta longitud(arreglo) - 2: min_index = i. Para j de i + 1 hasta longitud(arreglo) - 1: Si arreglo[j] < arreglo[min_index]: min_index = j. Intercambia arreglo[i] y arreglo[min_index] si es necesario.

Ejemplo

• En el arreglo [5, 2, 4, 6, 1, 3], el algoritmo repetidamente selecciona el elemento más pequeño restante y lo coloca en la parte ordenada del arreglo.

Ordenamiento de Burbuja

• El ordenamiento de burbuja compara pares de elementos adyacentes, cambiándolos si están en el orden incorrecto, moviendo los elementos grandes hacia el final del arreglo.

Proceso

• Compara elementos adyacentes en el arreglo.
• Cambia si están en el orden incorrecto.
• Repite hasta que no haya más intercambios.

Pseudocódigo

• Para i de 0 hasta longitud(arreglo) - 2: Para j de 0 hasta longitud(arreglo) - i - 2: Si arreglo[j] > arreglo[j + 1]: Intercambia arreglo[j] y arreglo[j + 1].

Ejemplo

• En [5, 2, 4, 6, 1, 3], las pasadas repetidas a través del arreglo empujan los elementos más grandes hacia sus posiciones correctas.

Complejidad

• Ordenamiento por inserción tiene complejidad $O(n^2)$ en el peor y promedio de los casos, pero $O(n)$ en el mejor.
• Ordenamiento por selección siempre tiene complejidad $O(n^2)$.
• Ordenamiento de burbuja tiene complejidad $O(n^2)$ en el peor y promedio de los casos, y $O(n)$ en el mejor.

Propiedades Químicas

Propiedad Química

• Describe la capacidad de una sustancia para experimentar un cambio químico específico.

Ejemplos

• Inflamabilidad, toxicidad, acidez.
• Reactividad, calor de combustión.
• Estados de oxidación, estabilidad química.
• La composición química de la materia siempre cambia durante un cambio químico.

Reconociendo Cambios Químicos

Ejemplos

• Cambio de color.
• Producción de gas.
• Formación de un precipitado (un sólido que se forma a partir de una solución).
• Transferencia de energía (como calor, luz o sonido).

Cambio Químico

• Produce materia con una composición diferente de la original.
• La evidencia de un cambio químico no es prueba definitiva.
• Para confirmar un cambio químico, se debe probar la composición química antes y después del cambio.

Reacciones Químicas

Reactivos

• Sustancias presentes al inicio de una reacción química.

Productos

• Sustancias producidas en una reacción química.

Ecuación Química

• Reactivos → Productos.
• La flecha significa "produce".
• Muestra la conversión de reactivos en productos.

Conservación de la Masa

• Durante cualquier reacción química, la masa de los productos es igual a la masa de los reactivos.