Algebra Class 10

गुणनखंडन की विधि

• (6x^2 + 17x + 5) को (6 \left( \frac{x+5}{3} \right) \left( \frac{x+2}{2} \right)) द्वारा गुणनखंडित किया जा सकता है।
• फ़ैक्टर थिओरम का उपयोग करते हुए, (y^2 - 5y + 6) का गुणनखंडन ( (y - 2)(y - 3) ) के रूप में किया गया।
• फ़ैक्टर थिओरम कहता है कि अगर (p(a) = 0) तो (x - a) (p(x)) का गुणनखंड है।

गुणनखंडन के विधियों का उपयोग

• विभिन्न पॉलिनॉमियल्स जैसे (x^3 - 23x^2 + 142x - 120) को गुणनखंडित करने के लिए पहला फ़ैक्टर खोजा जाता है।
• पॉलिनॉमियल (p(x) = x^3 - 23x^2 + 142x - 120) के लिए सभी फ़ैक्टर्स (±1, ±2, ±3, ..., ±120) होते हैं।
• (p(1) = 0) से (x - 1) फ़ैक्टर की पुष्टि होती है।

अंकगणितीय पहचाने

• अंकों की पहचानों में से कुछ हैं:
  • ( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 )
  • ( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 )
  • ( x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) )
  • ( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab )

पहचान का उदाहरण

• जैसे:
  • ( (x + 3)(x + 3) = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 )
  • ( (x - 3)(x + 5) = x^2 + 2x - 15 )

फ़ैक्टर थिओरम पर आधारित समस्याएँ

• यदि (x + 2) एक फ़ैक्टर है, तो (p(-2) = 0) होना चाहिए।
• (p(x) = x^3 + 3x^2 + 5x + 6) और (s(x) = 2x + 4) के लिए ((-2)) पर (p) और (s) की जाँच की गई।

(k) का मान ढूँढना

• यदि (x - 1) (p(x) = 4x^3 + 3x^2 - 4x + k) का फ़ैक्टर है, तो (p(1) = 0) से (k = -3) निकाला गया।

द्विघात पॉलिनॉमियल का गुणनखंडन

• (ax^2 + bx + c) का गुणनखंडन ( (px + q)(rx + s) ) के रूप में किया जा सकता है।
• (b) की गणना को दो संख्याओं के योग और गुणन के रूप में किया जा सकता है।

संक्षेप में:

• गुणनखंडन और पहचान का अध्ययन महत्वपूर्ण है, जो गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद करता है।