Algebra Chapter: Quadratic Equations

Quadratic Equations

Definition

• A quadratic equation is a polynomial equation of degree 2, meaning the highest power of the variable (usually x) is 2.
• General form: ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are constants, and a ≠ 0.

Properties

• Quadratic equations have two solutions, also known as roots.
• The solutions can be real or complex numbers.
• If the solutions are real, they can be equal or distinct.

Factoring

• Factoring is a method to solve quadratic equations by expressing the equation as a product of two binomials.
• Factoring is possible when the equation can be written in the form: (x - r)(x - s) = 0, where r and s are the solutions.
• This method is useful when the equation has integer coefficients and can be easily factored.

Quadratic Formula

• The quadratic formula is a general method to solve quadratic equations: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.
• The formula will give two solutions, which can be real or complex numbers.
• The quadratic formula is useful when the equation cannot be factored easily.

Graphing

• The graph of a quadratic equation is a parabola that opens upward or downward.
• The vertex of the parabola is the minimum or maximum point, and it can be found using the formula: x = -b / 2a.
• The x-intercepts of the parabola are the solutions to the equation.

Applications

• Quadratic equations have many applications in physics, engineering, and economics, such as:
  • Projectile motion: trajectory of a thrown object.
  • Electric circuits: impedance and resonance.
  • Optimization problems: maximum and minimum values.

Karesel Denklemler

Tanım

• Karesel denklem, değişkenin (genellikle x) en yüksek gücü 2 olan polinom denklemdir.
• Genel form: ax^2 + bx + c = 0, burada a, b ve c sabitlerdir ve a ≠ 0.

Özellikler

• Karesel denklemler iki çözüm sahiptir, ayrıca kök olarak bilinir.
• Çözümler gerçek veya kompleks sayılar olabilir.
• Çözümler gerçek ise, eşit veya farklı olabilir.

Faktörleme

• Faktörleme, denklemi iki ikili çarpımına ifade etmek suretiyle çözme yöntemidir.
• Faktörleme, denklem (x - r)(x - s) = 0 formunda yazılabildiğinde möglich.
• Bu yöntem, denklem tamsayı katsayılarına sahip olduğunda ve kolayca faktöre edildiğinde kullanışlıdır.

Karesel Formül

• Karesel formül, karesel denklemleri çözümlemek için genel bir yöntemdir: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.
• Formül iki çözüm verecek, bunlar gerçek veya kompleks sayılar olabilir.
• Karesel formül, denklem kolayca faktöre edilemediğinde kullanışlıdır.

Grafik Çizim

• Karesel denklem grafiği yukarı veya aşağı açılır paraboladir.
• Parabolanın vertex noktası, minimum veya maksimum noktadır ve x = -b / 2a formülünü kullanarak bulunabilir.
• Parabolanın x-kesişim noktaları, denklem çözümünü oluşturur.

Uygulamalar

• Karesel denklemler, fizik, mühendislik ve ekonomide birçok uygulama sahiptir, örneğin:
  • Projectile motion: atılmış bir nesnenin yolu.
  • Electric circuits: empedans ve rezonans.
  • Optimization problems: maksimum ve minimum değerler.