Algebra Chapter 1

Algebra

Definition and Branches

• Algebra is a branch of mathematics that deals with the study of variables and their relationships.
• It involves the use of symbols, equations, and formulas to solve problems.
• There are several branches of algebra, including:
  • Elementary algebra: deals with the basic concepts of algebra, such as equations and functions.
  • Intermediate algebra: builds on the principles of elementary algebra and introduces more advanced topics.
  • College algebra: covers advanced topics, including systems of equations and linear algebra.
  • Abstract algebra: focuses on the study of algebraic structures, such as groups and rings.

Key Concepts

• Variables and Constants: A variable is a symbol that represents a value that can change, while a constant is a value that does not change.
• Equations and Expressions: An equation is a statement that says two expressions are equal, while an expression is a group of numbers, variables, and operations.
• Order of Operations: A set of rules that dictates the order in which operations should be performed when evaluating an expression, often remembered using the acronym PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication and Division, and Addition and Subtraction).

Equations and Inequalities

• Linear Equations: Equations in which the highest power of the variable is 1.
• Quadratic Equations: Equations in which the highest power of the variable is 2.
• Systems of Equations: A set of two or more equations that must be solved simultaneously.
• Inequalities: Statements that compare two expressions using greater than, less than, greater than or equal to, or less than or equal to.

Functions

• Domain and Range: The domain is the set of input values for a function, while the range is the set of output values.
• Types of Functions: Including linear, quadratic, polynomial, and rational functions.
• Function Operations: Adding, subtracting, multiplying, and dividing functions.

Graphing

• Coordinate Plane: A plane with a horizontal x-axis and a vertical y-axis used to graph functions.
• Graphing Linear Equations: The graph of a linear equation is a straight line.
• Graphing Quadratic Equations: The graph of a quadratic equation is a parabola.

Solving Equations and Inequalities

• Addition and Subtraction Properties: Rules that allow us to add or subtract the same value to both sides of an equation.
• Multiplication and Division Properties: Rules that allow us to multiply or divide both sides of an equation by the same non-zero value.
• Factoring: A method of solving quadratic equations by expressing them as a product of simpler expressions.

बीजगणित (Algebra)

परिभाषा और शाखाएं

• बीजगणित गणित की एक शाखा है जो चरों और उनके संबंधों के अध्ययन से संबंधित है।
• इसमें समीकरणों, सूत्रों और प्रतीकों का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
• बीजगणित की कई शाखाएं हैं, जिसमें शामिल हैं:
  • प्राथमिक बीजगणित: इसका संबंध बीजगणित की मूल अवधारणाओं से है, जैसे समीकरण और कार्य।
  • मध्यवर्ती बीजगणित: प्राथमिक बीजगणित के सिद्धांतों पर निर्मित है और अधिक उन्नत विषयों का परिचय देती है।
  • कॉलेज बीजगणित: इसमें उन्नत विषयों का अध्ययन किया जाता है, जिसमें समीकरण प्रणाली और रेखीय बीजगणित शामिल हैं।
  • अमूर्त बीजगणित: इसमें बीजगणित संरचनाओं का अध्ययन किया जाता है, जैसे समूह और रिंग।

मुख्य अवधारणाएं

• चर और स्थिरांक: एक चर एक प्रतीक है जिसका मान बदल सकता है, जबकि एक स्थिरांक एक मान है जिसका मान नहीं बदलता है।
• समीकरण और अभिव्यक्तियां: एक समीकरण दो अभिव्यक्तियों के बराबर होने का बयान है, जबकि एक अभिव्यक्ति संख्याओं, चरों और संचालन का समूह है।
• संचालन का क्रम: एक नियम-समूह जिसका उपयोग अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करते समय संचालन के क्रम का निर्धारण करने के लिए किया जाता है, जिसे अक्सर PEMDAS (पैराथीसीस, एक्स्पोनेंट्स, मल्टीप्लिकेशन एंड डिविजन, और एडिशन एंड सब्ट्रैक्शन) के प्रारूप में याद किया जाता है।

समीकरण और असमीकरण

• रेखीय समीकरण: एक समीकरण जिसमें चर की उच्चतम शक्ति 1 है।
• द्विघात समीकरण: एक समीकरण जिसमें चर की उच्चतम शक्ति 2 है।
• समीकरण प्रणाली: एक या इसके बाद के समीकरणों का समूह जिसका हल एक साथ किया जाना चाहिए।
• असमीकरण: दो अभिव्यक्तियों के बीच तुलना करने वाले बयान जिसमें अधिक से, कम से, अधिक से या कम से शामिल हैं।

कार्य

• डोमेन और रेंज: एक कार्य के लिए डोमेन इनपुट मानों का सेट है, जबकि रेंज आउटपुट मानों का सेट है।
• कार्य के प्रकार: इसमें रेखीय, द्विघात, बहुपद और युक्त कार्य शामिल हैं।
• कार्य संचालन: कार्यों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग संचालन।

आलेख

• निर्देश प्लेन: एक आलेख प्लेन जिसका उपयोग कार्यों के आलेख के लिए किया जाता है, जिसमें एक क्षैतिज एक्स-अक्ष और एक ऊर्ध्व य-अक्ष है।
• रेखीय समीकरणों का आलेख: एक रेखीय समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है।
• द्विघात समीकरणों का आलेख: एक द्विघात समीकरण का आलेख एक पैराबोला है।