Algebra Basics

Algebra

• Definition: A branch of mathematics dealing with symbols and the rules for manipulating those symbols to solve equations and represent relationships.

• Basic Concepts:

  • Variables: Symbols (often letters) that represent unknown values (e.g., x, y).
  • Constants: Fixed values (e.g., 2, -3, π).
  • Expressions: Combinations of variables and constants using operations (e.g., 3x + 2).
  • Equations: Statements that two expressions are equal (e.g., 2x + 3 = 7).

• Operations:

  • Addition, subtraction, multiplication, and division of algebraic expressions.
  • Distributive property: a(b + c) = ab + ac.
  • Combining like terms: 3x + 5x = 8x.

• Types of Algebra:

  • Elementary Algebra: Basics of algebra including operations, equations, and functions.
  • Abstract Algebra: Studies algebraic structures like groups, rings, and fields.
  • Linear Algebra: Focuses on vector spaces and linear mappings between them.

• Equations:

  • Linear Equations: Equations of the first degree (e.g., ax + b = 0).
  • Quadratic Equations: Equations of the second degree (e.g., ax² + bx + c = 0).
    • Solutions can be found using factoring, completing the square, or the quadratic formula: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
  • Polynomial Equations: Higher degree equations (e.g., axⁿ + bxⁿ⁻¹ + ... + c = 0).

• Functions:

  • Definition: A relation where each input has a single output.
  • Types:
    • Linear functions: f(x) = mx + b.
    • Quadratic functions: f(x) = ax² + bx + c.
    • Exponential functions: f(x) = a * b^x.

• Graphing:

  • Coordinate system (x-y plane).
  • Plotting points (x, y).
  • Understanding slopes (rise/run) for linear equations.

• Factoring:

  • Breaking down expressions into products (e.g., x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)).
  • Common techniques: grouping, using the quadratic formula, and special products (difference of squares).

• Inequalities:

  • Similar to equations but express a range of values (e.g., x + 3 > 5).
  • Solving involves similar steps, but direction of inequality changes when multiplying or dividing by a negative number.

• Applications:

  • Used in various fields including science, engineering, economics, and statistics.
  • Real-world problem-solving involving rates, proportions, and relationships between quantities.

• Key Skills:

  • Simplifying expressions.
  • Solving for unknowns.
  • Graphing functions and understanding their properties.
  • Problem-solving with algebraic techniques.

অসমীয়াত পাঠ্যৰ টোকা

• সংজ্ঞা: অংকখনৰ এটি শাখা যি চিহ্নবোৰ আৰু সেই চিহ্নবোৰৰ কাৰ্যপদ্ধতিৰ সৈতে সমীকৰণ সমাধান আৰু সম্পৰ্ক বুজাবলৈ জড়িত।

মৌলিক ধাৰণা

• ভৰিয়েবল: সঁচা বুজাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা চিহ্ন (সাধাৰণতে অক্ষৰ) যিসকলে অজ্ঞাত মান প চিনাক্ত কৰে (যেমন: x, y)।
• স্থায়ী মান: নিৰ্দিষ্ট মান (যেমন: 2, -3, π)।
• অভিব্যক্তি: ভৰিয়েবল আৰু স্থায়ী মানৰ সমন্বয়ে সৃষ্টি হোৱা (যেমন: 3x + 2)।
• সমীকৰণ: দুটা অভিব্যক্তি সমানে আছে বুলি বুজোৱা প্ৰত্যয়ন (যেমন: 2x + 3 = 7)।

কাৰ্য্যপদ্ধতি

• অংকীয় অভিব্যক্তিৰ যোগ, বিয়োগ, গুণ আৰু ভাগ।
• বিতৰণৰ সম্পত্তি: a(b + c) = ab + ac।
• সদৃশ পৰমাণুসমূহ মিলা: 3x + 5x = 8x।

অংকৰ প্ৰকাৰ

• প্ৰাথমিক অংক: অংকৰ মৌলিক বিষয়াবলী যেনে কাৰ্য, সমীকৰণ, আৰু কাৰ্য্য।
• অবশিষ্ট অংক: গোট, আংক, আৰু ক্ষেত্ৰ যেনে অংকৰ গঠন অধ্যয়ন কৰে।
• ৰেখীয় অংক: ভেক্টৰ স্থান আৰু তাৰ মাজৰ রেখীয় মানপৰ্য্বা।

সমীকৰণসমূহ

• ৰেখীয় সমীকৰণ: প্রথম ডিগ্ৰীৰ সমীকৰণ (যেমন: ax + b = 0)।
• কোণাংকীয় সমীকৰণ: দ্বিতীয় ডিগ্ৰীৰ সমীকৰণ (যেমন: ax² + bx + c = 0)।
• সমাধান কৰা হয় আঁতৰাই, চতুৰ্থক মান সম্পূৰ্ণ কৰি, বা ক деген চাৰ্ট ব্যৱহাৰ কৰি: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)।
• পলিনোমিয়েল সমীকৰণ: উচ্চ ডিগ্ৰীৰ সমীকৰণ (যেমন: axⁿ + bxⁿ⁻¹ +...+ c = 0)।

কাৰ্য্য

• সংজ্ঞা: এক সম্পৰ্ক য'ত প্ৰতিটো ইনপুটৰ এটা একমাত্ৰ আউটপুট থাকে।
• প্ৰকাৰ:
  • ৰেখীয় কাৰ্য: f(x) = mx + b।
  • কোণাংকীয় কাৰ্য: f(x) = ax² + bx + c।
  • গণ্ডগোলী কাৰ্য: f(x) = a * b^x।

গ্ৰাফিং

• সমন্বয়ৰ পদ্ধতি (x-y মণ্ডল)।
• বিন্দুগুলি চিত্রিত কৰো (x, y)।
• ৰেখীয় সমীকৰণৰ বাবে ঢল (উঠা/পৰিসৰৰ) বুজা।

ভাঙা

• অভিব্যক্তিসমূহক প্ৰডাক্টত ভাঙি দিয়া (যেমন: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3))।
• সাধাৰণ প্ৰযুক্তি: গোট কৰাটো, কোণাংকীয় চাৰ্ট ব্যৱহাৰ, আৰু বিশেষ প্ৰডাক্ট।

অসামান্যতা

• সমীকৰণৰ দৰে কিন্তু মানৰ পৰিসৰৰ বুজোৱাটো (যেমন: x + 3 > 5)।
• সমাধান কেইবোৰ চাৰ্চা বিকল্পত সমান পদক্ষেপ কাৰ্য্য কৰি, কিন্তু নেতিবাচক সংখ্যাৰে গুণ বা ভাগ কৰোঁতে অসম পদক্ষেপৰ দিশ সলনি হয়।

প্ৰয়োগসমূহ

• বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত ব্যৱহৃত যেনে বিজ্ঞান, ইঞ্জিনিয়াৰিঙ, অৰ্থনীতি, আৰু সাংখ্যিক বিজ্ঞান।
• বাস্তৱজীৱনৰ সমস্যাৰ সমাধান য'ত হাৰ, অনুপাত, আৰু পৰিমাণৰ মাজত সম্পৰ্ক আছে।

মুখ্য কৌশল

• অভিব্যক্তি সহজ কৰা।
• অজ্ঞাতৰ বাবে সমাধান কৰা।
• কাৰ্যৰ গ্ৰাফ আঁকা আৰু সেইবোৰৰ বৈশিষ্ট্য বুজা।
• অংকৰ কৌশলৰে সমস্যাৰ সমাধান।

ত্ৰিগনোমেট্ৰিৰ পৰিচয়

• ত্ৰিগনোমেট্ৰিৰ অধ্যয়ন ত্ৰিভুজৰ কোণ আৰু দিশৰ মাজৰ সম্বন্ধৰ ওপৰত কেন্দ্ৰীভূত।
• সাৰথি কোণযুক্ত ত্ৰিভুজসমূহৰ ওপৰত মূলতে কেন্দ্ৰীভূত, কিন্তু একক বৃত্তৰ জৰিয়তে সকলো ত্ৰিভুজলৈ বিস্তাৰিত।

মৌলিক ত্ৰিগনোমেট্ৰিক অনুপাত

• সাইন (sin): বিপৰীত দিশ / হাইপোটেনিউজ
• কচাইন (cos): সন্নিকট দিশ / হাইপোটেনিউজ
• টেঞ্জেন্ট (tan): বিপৰীত দিশ / সন্নিকট দিশ
• কোসেকেণ্ট (csc): 1/sin = হাইপোটেনিউজ / বিপৰীত দিশ
• সেকেণ্ট (sec): 1/cos = হাইপোটেনিউজ / সন্নিকট দিশ
• কটেঞ্জেন্ট (cot): 1/tan = সন্নিকট দিশ / বিপৰীত দিশ

ত্ৰিগনোমেট্ৰিক ফাংচনসমূহ

• সোজা ত্ৰিভুজৰ কোণৰ বাবে সংজ্ঞায়িত:
  • কোণ সাধাৰণতে ডিগ্ৰি (°) অথবা ৰেডিয়েন (rad) ত মাপ হয়।
• গুৰুত্বপূর্ণ কোণসমূহ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (আৰু তানৰ ৰেডিয়ান সমকক্ষ)।

একক বৃত্ত

• একক বৃত্তৰ নিৰ্দিষ্টতা: ৰেডিয়াচিৰ 1, মূলস্থানত কেন্দ্ৰিত (0,0)।
• বৃত্তত বিন্দুসমূহৰ সমন্বয় (cos θ, sin θ)ৰে অন্তর্ভুক্ত।
• সকলো কোণৰ বাবে ত্ৰিগনোমেট্ৰিক ফাংচন সংজ্ঞায়িত কৰোঁতে গুৰুত্বপূর্ণ, নেতিবাচক আৰু 90°তকৈ বেছি কোণ অন্তর্ভুক্ত।

গুৰুত্বপূর্ণ ত্ৰিগনোমেট্ৰিক চিহ্নবোধ

• পিথাগোৰিয়ান চিহ্নবোধ:
  • sin²θ + cos²θ = 1
• কোষ আৰু বিয়োগ চিহ্নবোধ:
  • sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
  • cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
• ডবল কোণৰ সূত্রসমূহ:
  • sin(2θ) = 2sinθcosθ
  • cos(2θ) = cos²θ - sin²θ

ত্ৰিগনোমেট্ৰিৰ ব্যৱহাৰসমূহ

• ত্ৰিভুজ সমাধান: টানিক অনুপাত আৰু নিয়ম ব্যৱহাৰ কৰি অজ্ঞাত দিশ/কোণ অৱসান কৰা।
• সাইন আৰু কচাইন বিধি:
  • সাইন বিধি: a/sin A = b/sin B = c/sin C
  • কচাইন বিধি: c² = a² + b² - 2ab cos C
• বাস্তৱ সাৰথিৰ বাবে ব্যৱহাৰ: অভিযান্ত্ৰণ, পদাৰ্থবিজ্ঞান, স্থাপত্য আৰু নেভিগেশন।

ত্ৰিগনোমেট্ৰিক ফাংচনৰ গ্ৰাফ

• সাইন আৰু কচাইন: পুনৰাবৃত্তিৰ ফাংচন 2π সময়ৰ সৈতে।
• টেঞ্জেন্ট: পুনৰাবৃত্তিৰ ফাংচন π সময়ৰ সৈতে।
• অ্যামপ্লিচুড, ফ্ৰিকুৱেন্সি, আৰু ফেজ শিফট উল্লেখযোগ্য বৰ্ণনাৰ বৈশিষ্ট্য।

বিপরীত ত্ৰিগনোমেট্ৰিক ফাংচনসমূহ

• পৰিচিত অনুপাতৰ পৰা কোণ নিৰ্দিষ্ট কৰে:
  • sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x)
• ত্ৰিগনোমেট্ৰিক অনুপাতৰ সৈতে সাদৃশ্যত সমাধানৰ বাবে গুৰুত্বপূর্ণ।

অধ্যয়নৰ টিপচ

• বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি ত্ৰিভুজ সমাধানৰ ব্যৱহাৰ কৰাটো অভ্যাস কৰক।
• একক বৃত্ত আৰু গুৰুত্বপূর্ণ কোণৰ সৈতে পৰিচিত হওক।
• চিহ্নবোধৰ ওপৰত কাম কৰক আৰু সিহঁতক উদাহৰণৰ জৰিয়তে প্ৰমাণ কৰক।
• বাস্তৱ সমস্যা সমাধান কৰি ব্যৱহাৰসমূহৰ প্ৰাকটিকেল দেখা।

এলজেব্ৰাৰ মৌলিক ধাৰণাসমূহ আৰু সমীকৰণৰ ব্যৱহাৰ সম্বন্ধে জানক। এই কুইজত আপুনি চলক, স্থিৰ মান, প্ৰকাশন আৰু সমীকৰণৰ দৰে মৌলিক বিষয়সমূহৰ বিষয়ে জানিব। এলজেব্ৰাৰ বিভিন্ন শ্ৰেণী যেনে মৌলিক এলজেব্ৰা, বিমূর্ত এলজেব্ৰা আৰু ৰৈখিক এলজেব্ৰাৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা হ'ব।