الجبري الفصل الأساسي

Algebra

• Definition: Branch of mathematics dealing with symbols and rules for manipulating those symbols.
• Key Concepts:
  • Variables: Symbols (usually letters) representing numbers.
  • Expressions: Combinations of variables, numbers, and operations (e.g., (3x + 4)).
  • Equations: Statements that two expressions are equal (e.g., (2x + 3 = 7)).
  • Inequalities: Expressions showing the relationship of one quantity being larger/smaller (e.g., (x > 5)).
• Operations:
  • Addition, subtraction, multiplication, and division of algebraic expressions.
• Polynomials:
  • Expressions that involve variables raised to whole number powers (e.g., (x^2 - 4x + 7)).
  • Can be classified as linear, quadratic, cubic, etc.
• Factoring: Breaking down polynomials into simpler components (e.g., (x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3))).
• Functions:
  • A relation that assigns exactly one output for each input (e.g., (f(x) = 2x + 3)).
  • Can be linear, quadratic, exponential, etc.
• Systems of Equations:
  • Sets of equations with the same variables (can be solved using substitution or elimination methods).

Calculus

• Definition: Branch of mathematics focused on change and motion; mainly involves derivatives and integrals.
• Key Concepts:
  • Limits: The value that a function approaches as the input approaches some value.
  • Derivatives:
    • Measures the rate of change of a function with respect to a variable.
    • Fundamental for understanding slopes and tangents to curves.
    • Notation: (f'(x)) or (\frac{dy}{dx}).
  • Integrals:
    • Represents the accumulation of quantities, such as areas under curves.
    • Two main types: definite (with limits) and indefinite (antiderivatives).
    • Notation: (\int f(x) ,dx) for indefinite and (\int_a^b f(x) ,dx) for definite integrals.
• Fundamental Theorem of Calculus:
  • Links differentiation and integration, stating that differentiation and integration are inverse processes.
• Applications:
  • Used in physics, engineering, economics, and biology to model dynamic systems.
• Techniques:
  • Chain Rule: For differentiating composite functions.
  • Product Rule: For differentiating products of functions.
  • Quotient Rule: For differentiating quotients of functions.

الجبر

• التعريف: فرع من الرياضيات يتعامل مع الرموز والقواعد الخاصة بالتلاعب بتلك الرموز.
• المفاهيم الأساسية:
  • المتغيرات: رموز (عادةً حروف) تمثل الأعداد.
  • العبارات: توليفات من المتغيرات والأعداد والعمليات (مثل (3x + 4)).
  • المعادلات: بيانات تُظهر أن عبارتين متساويتين (مثل (2x + 3 = 7)).
  • عدم المساواة: تعبر عن علاقة ما بين كميتين، مثل (x > 5).
• العمليات: تشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة للعبارات الجبرية.
• الحدود المتعددة: تعبيرات تتضمن متغيرات مرفوعة إلى قوى عددية صحيحة (مثل (x^2 - 4x + 7))، ويمكن تصنيفها إلى خطية، تربيعية، مكعبة، وغيرها.
• التبسيط: تحليل الحدود المتعددة إلى مكونات أبسط (مثل (x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3))).
• الدوال: علاقة تعطي ناتجًا واحدًا لكل مدخل (مثل (f(x) = 2x + 3))، يمكن أن تكون خطية أو تربيعية أو أسية.
• أنظمة المعادلات: مجموعات من المعادلات تحتوي على نفس المتغيرات، ويمكن حلها باستخدام طرق الاستبدال أو الإلغاء.

حساب التفاضل والتكامل

• التعريف: فرع من الرياضيات يركز على التغيير والحركة، ويتضمن أساسًا المشتقات والتكاملات.
• المفاهيم الأساسية:
  • الحدود: القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب المدخل من قيمة معينة.
  • المشتقات: تقيس معدل تغيير دالة معينة بالنسبة لمتغير، أساسي لفهم الميول والأنسجة المنحنية.
  • التدوين: يُشار إليها بـ (f'(x)) أو (\frac{dy}{dx}).
  • التكاملات: تمثل تراكم الكميات، مثل المساحات تحت المنحنيات، وهنالك نوعين رئيسيين: المحدد (مع الحدود) وغير المحدد (المشتق العكسي).
  • التدوين: (\int f(x) ,dx) للتكامل غير المحدد و(\int_a^b f(x) ,dx) للتكامل المحدد.
• نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية: تربط بين التفريق والتكامل، حيث تؤكد أن المشتقة والتكامل هما عمليتان معكوستان.
• التطبيقات: تُستخدم في الفيزياء والهندسة والاقتصاد وعلم الأحياء لنمذجة الأنظمة الديناميكية.
• التقنيات:
  • قاعدة السلسلة: لتفريق الدوال المركبة.
  • قاعدة المنتج: لتفريق نواتج الدوال.
  • قاعدة القسمة: لتفريق نواتج القسمة بين الدوال.