الجبر والمتجهات في الرياضيات

مقدمة

• المتجهات في المستوى هي كائنات رياضية تُمثل مقدارًا واتجاهًا.
• تُستخدم المتجهات لتمثيل الكميات المتجهة، مثل القوى والسرعات والازاحات.
• تُمثل المتجهات في المستوى بأسهم ذات اتجاه محدد.

تمثيل المتجهات

• يُمثل المتجه في المستوى بـ:
  • نقطة البداية (رأس السهم).
  • نقطة النهاية (طرف السهم).
  • طول المتجه (المقدار).
  • اتجاه المتجه (الزاوية بالنسبة لمحور معين).
• يُمكن التعبير عن المتجه بزوج مرتب من الأرقام (x, y) تُمثل مكونات المتجه على محورَي الإحداثيات السيني (x) والصادي (y)، على التوالي.
• يمكن ايضاً التعبير عن المتجه من خلال طول المتجه وزاوية ميله عن المحور الافقي.

جبر المتجهات

• الجمع: يتم جمع المتجهات عن طريق جمع مكوناتها على المحاور. مثلاً: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2).
• الطرح: يتم طرح المتجهات عن طريق طرح مكوناتها على المحاور. مثلاً: (x1, y1) - (x2, y2) = (x1-x2, y1-y2).
• الضرب في ثابت: يتم ضرب المتجه في ثابت عن طريق ضرب كل مكوناته في ذلك الثابت. مثلاً: k * (x , y) = (kx , ky).

الطول (المقدار) للمتجه

• يُحسب طول المتجه (||v|| او |v|) باستخدام نظرية فيثاغورس.
• طول المتجه (v) هو الجذر التربيعي لمجموع مربعي مكوناته على المحاور. مثلاً: ||v|| = √(x^2 + y^2).

زاوية ميل المتجه

• تُحسب زاوية ميل المتجه عن طريق استخدام الدوال المثلثية (مثل جيب التمام وجيب الزاوية).
• زاوية ميل المتجه (θ) تُعطى بالعلاقة: tan(θ) = y/x.

المتجهات المتعامدة

• المتجهات المتعامدة هي متجهات تشكل زاوية قائمة (90 درجة) فيما بينها.
• يُمكن تحويل متجه إلى متجه عمودي له عن طريق تبديل إحداثياته وتغيير إشارة أحد الإحداثيات.

المتجهات والمتجهات الوحدوية

• المتجه الوحدوي هو متجه طوله 1 ويمثل نفس اتجاه المتجه الأصلي.
• تُحسب المتجهات الوحدوية عن طريق قسمة كل مكون للمتجه على طول المتجه.

التطبيقات

• تُستخدم المتجهات في العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة والرياضيات، مثل:
  • حساب القوى والسرعات.
  • دراسة الحركة في الفراغ.
  • دراسة المجالات الفيزيائية.
  • تصميم الهياكل الهندسية.
  • تمثيل الأشكال الهندسية.