الجبر الخطي: المحددات

• تم نشر معلومات هامة من قبل İlayda ŞEN في 10 مارس في الساعة 17:54.
• تنص الرسالة على أن الملفات من 54 إلى 61 في القسم 5 غير مطلوبة للامتحان.
• قانون جراهام للانتشار ليس مسؤولًا عن الامتحان.
• الغازات الحقيقية متضمنة.
• معادلة فان دير فالس غير مشمولة.
• الضغط العالي مشمول في الامتحان.
• الأسئلة المتعلقة بقانون جراهام للانتشار غير مطلوبة للامتحان.

الجبر الخطي

1. المحددات

• بالنسبة لـ $A \in M_n(\mathbb{K})$، يُعرف المحدد $\det(A)$ على أنه العدد القياسي $\det(A) = \sum_{\sigma \in \Theta_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$.
• $\Theta_n$ هي مجموعة تباديل ${1, \ldots, n}$، و $\epsilon(\sigma)$ هي توقيع التبديل $\sigma$.

أمثلة

• إذا كان $A = (a) \in M_1(\mathbb{K})$، فإن $\det(A) = a$.
• إذا كان $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{K})$، فإن $\det(A) = ad - bc$.

الخصائص

• المحدد هو شكل $n$-خطي متبادل.
• $\det(A) = 0$ إذا وفقط إذا كانت $A$ غير قابلة للعكس.
• $\det(A^T) = \det(A)$.
• $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.

2. الأنظمة الخطية

• لـ $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ و $b \in \mathbb{K}^n$، يتم النظر في النظام الخطي $Ax = b$، حيث $x \in \mathbb{K}^p$.
• إذا كان $p = n$ و $\det(A) \neq 0$، فإن النظام يقبل حلًا فريدًا يُعطى بـ $x = A^{-1}b$ (قاعدة كرامر).
• إذا كان $b = 0$، فإن مجموعة الحلول تشكل فضاءً فرعيًا متجهيًا لـ $$\mathbb{K}^p$ ببعد $p - \text{rang}(A)$.

3. القطرنة

• $A \in M_n(\mathbb{K})$ يُقال أنها قابلة للقطرنة إذا كانت هناك مصفوفة قابلة للعكس $P \in M_n(\mathbb{K})$ ومصفوفة قطرية $D \in M_n(\mathbb{K})$ بحيث $A = PDP^{-1}$.
• العناصر القطرية لـ $D$ هي القيم الذاتية لـ $A$.
• متجهات الأعمدة لـ $P$ هي متجهات ذاتية لـ $A$.
• $A$ قابلة للقطرنة إذا وفقط إذا كان مجموع أبعاد الفضاءات الفرعية الذاتية لـ $A$ يساوي $n$.

4. الفضاءات المتجهة

• الفضاء المتجهي هو مجموعة $E$ مزودة بعمليات: إضافة $+ : E \times E \rightarrow E$ وضرب بواسطة عدد قياسي $\cdot : \mathbb{K} \times E \rightarrow E$.
• يجب أن تحقق هذه العمليات خصائص (التجميعية، التبديلية، وجود عنصر محايد، وجود معكوس).

أمثلة

• $\mathbb{K}^n$ هو فضاء متجهي على $\mathbb{K}$.
• مجموعة الدوال المستمرة من $\mathbb{R}$ إلى $\mathbb{R}$ هي فضاء متجهي على $\mathbb{R}$.
• مجموعة متعددات الحدود بمعاملات في $\mathbb{K}$ هي فضاء متجهي على $\mathbb{K}$.

5. التطبيقات الخطية

• إذا كان $E$ و $F$ فضاءين متجهيين على $\mathbb{K}$، فإن التطبيق $f : E \rightarrow F$ يكون خطيًا إذا: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ لكل $x, y \in E$ و $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ لكل $\lambda \in \mathbb{K}$ ولكل $x \in E$.

أمثلة

• التطبيق الذي يربط متجهًا في $$\mathbb{R}^2$ بإسقاطه على محور السينات يكون خطيًا.
• التطبيق الذي يربط دالة قابلة للاشتقاق بمشتقها يكون خطيًا.

نظرية الرتبة:

• إذا كان $f : E \rightarrow F$ تطبيقًا خطيًا و $E$ ذو بعد محدود، فإن $\text{dim}(E) = \text{dim}(\text{Ker}(f)) + \text{dim}(\text{Im}(f))$.
• $\text{Ker}(f) = {x \in E \mid f(x) = 0}$ هي نواة $f$.
• $\text{Im}(f) = {f(x) \mid x \in E}$ هي صورة $f$.