الفضاءات الطوبولوجية: تعريف

الفضاءات الطوبولوجية

• لكل مجموعة E غير خالية، P(E) هي مجموعة الأجزاء في E، حيث X جزء من E إذا وفقط إذا كان X ينتمي إلى P(E).

تعريف الطوبولوجيا

• نقول عن مجموعة θ أنها تشكل طوبولوجيا على E إذا تحققت الشروط التالية:
  • المجموعة الخالية والمجموعة الكلية (E) هما عنصران من θ.
  • تقاطع عدد منتهي من عناصر θ هو عنصر من θ (أي أنها مستقرة بالنسبة للتقاطع المنتهي).
  • اتحاد عدد كيفي من عناصر θ هو عنصر من θ (أي أنها مستقرة بالنسبة للاتحاد الكيفي).
• عناصر E تسمى نقاطًا وعناصر θ تسمى مفتوحات، والزوج (E, θ) يسمى الفضاء الطوبولوجي.
• متممات الأجزاء المفتوحة تسمى بالأجزاء المغلقة.

أمثلة على الطوبولوجيا

• {E, ∅} = θ: طوبولوجيا ضعيفة أو خشنة في E، الأجزاء المفتوحة والمغلقة الوحيدة هي E و ∅. هذه الطوبولوجيا تحتوي على أقل عدد من الأجزاء المفتوحة.
• P(E) = θ: طوبولوجيا قوية أو نقطية في E، كل أجزاء E هي مفتوحة ومغلقة. هذه الطوبولوجيا تحتوي على أكبر عدد من الأجزاء المفتوحة.
• E = {a,b,c} و θ = {E, ∅, {a}, {b}, {a,b}}: طوبولوجيا في E، مجموعة الأجزاء المغلقة في E هي F = {∅, E, {b,c}, {a,c}}.
• E = {a,b,c,d} و θ = {E, ∅, {a}, {b}, {a,b}, {a,c,d}}: طوبولوجيا في E. نلاحظ أن الجزء {b} مفتوح ومغلق في آن واحد ومجموعة الأجزاء المغلقة في E هي F = {∅, E, {b, c, d}, {a, c, d}, {c,d}, {b}}.
• θ = {∅} ∪ {X ⊂ E: Card(E – X) > ∞}: طوبولوجيا المتحدة الأنتهاء على E، حيث E مجموعة غير منتهية.
• E = ℝ و θ = {اتحاد المجالات المفتوحة في ℝ}: تسمى هذه الطوبولوجيا بالطوبولوجيا الاعتيادية ونرمز لها بـ (ℝ, ||).

خواص الأجزاء المغلقة

• E و ∅ أجزاء مغلقة.
• تقاطع عدد كيفي من الأجزاء المغلقة هو جزء مغلق.
• اتحاد عدد منته من الأجزاء المغلقة هو جزء مغلق.

ملاحظات على الأجزاء المغلقة والمفتوحة

• E و ∅ أجزاء مغلقة ومفتوحة في آن واحد.
• جزء يمكن أن يكون مفتوحًا فقط، أو مغلقًا فقط، أو مفتوحًا ومغلقًا في آن واحد، أو غير مفتوح وغير مغلق (أي كل الحالات ممكنة).

أمثلة على الأجزاء المغلقة

• إذا كان E = ℝ مصحوبًا بالطبولوجيا الاعتيادية، فإن كل من ℕ و ℤ أجزاء مغلقة.
• الجزء {1} مغلق لأن C{1} = ]−∞, 1[ ∪ ]1, ∞[ جزء مفتوح.

ملاحظات

• من الممكن تعريف أكثر من توبولوجيا في مجموعة واحدة.
• تقاطع عدد منته من التوبولوجيات في E هو توبولوجيا في E.
• اتحاد توبولوجيات في E ليس بالضرورة توبولوجيا في E.

تعريف أدق توبولوجيا

• إذا كان θ₁ و θ₂ توبولوجيتين معرفتين على E، نقول عن θ₁ أنها أدق من θ₂ إذا كان θ₂ ⊂ θ₁.

الجوارات

• ليكن x ∈ E و V ⊂ P(E).
• نقول عن V أنه جوار لـ x إذا وجدت مجموعة مفتوحة Ω بحيث x ∈ Ω ⊂ V، ونرمز لمجموعة جوارات x بـ Vx.

أمثلة على الجوارات

• إذا كانت θ هي الطوبولوجيا الخشنة على E، فإن Vx = {E} لكل x ∈ E
• إذا كانت θ هي الطوبولوجيا النقطية على E، فإن Vx = {X ⊂ E: {x} ⊂ X}.
• إذا كانت E = {a,b} فإن P(E) = {{a},{b}}. وعليه Va = {{a}, E}, Vb = {{b}, E}
• E = {a, b, c, d} و θ = {∅, E, {a}, {d}, {a,d}}. واضح أن (E,θ) فضاء طوبولوجي.

خواص الجوارات

• كل جوار لـ x يحوي x.
• تقاطع جوارين لـ x هو جوار لـ x.
• كل مجموعة تحوي جوار لـ x هي جوار لـ x.
• إذا كان V ∈ Vx فإنه يوجد W ∈ Vx بحيث W ⊂ V و W ∈ Vy من أجل كل y ∈ W.

تعريف الفضاء المنفصل

• نقول عن الفضاء الطوبولوجي (E, θ) أنه منفصل إذا تحقق ∀ x, y ∈ E, x ≠ y, ∃V ∈ Vx, ∃V ∈ Vy: V ∩ W = ∅

أمثلة أخرى

• الطوبولوجيا الخشنة ليست منفصلة.
• الطوبولوجيا النقطية منفصله.
• الفضاء (ℝ,||) مصحوب بالطوبولوجيا الإعتيادية منفصل.

تعريف داخلية مجموعة

• نقول عن x ∈ A أنها نقطة داخلية لـ A إذا كانت A ∈ Vx. نرمز لمجموعة النقاط الداخلية لـ A بـ A° أو int(A).
• x ∈ A° ⇔ ∃Ω ∈ θ: x ∈ Ω ⊂ A

أمثلة

• في الفضاء الطوبولوجي (ℝ, ||)، إذا كان A = [0,1]، فإن 1/2 ينتمي إلى A° لأنه يوجد مجال مفتوح 1/4,3/4 بحيث 1/2 ∈ (1/4, 3/4) ⊂ A، وعليه فإن A جوار لـ 1/2 ولدينا A° = ]0,1[.
• في الفضاء الطوبولوجي (ℝ, ||)، فإن ℤ° = ℕ° = ℚ° = ∅. في الفضاء الطوبولوجي (ℝ, ||)، فإن [a,b]° = ]a,b[.
• لنعتبر المجموعة E بحيث Card(E) = 2 ومصحوبة بالطوبولوجيا النقطية. إذا كان A = {a,b} جزء من E، فإن كل من a و b ينتميان إلى داخلية A لأن {a} ⊂ A و {b} ⊂ A.

القضية

• A جزء مفتوح إذا وفقط إذا كان جوار لكل نقطة من نقاطه.

تعريف النقطة الخارجية

• نقول عن نقطة x من الفضاء الطوبولوجي E أنها خارجية لـ A إذا كان x ∈ E\A، ونرمز لمجموعة النقاط الخارجية لـ A بـ ext(A).
  • x ∈ ext(A) ⇔ x ∉ A

خواص مجموعة النقاط الخارجية

• ext(A) ⊆ E \ A
• ext[ext(A)] = ext(A)
• ext(A ∪ B) = ext(A) ∩ ext(B)

تعريف النقطة الجبهوية

• نقول عن x أنها جبهية أو حافوية لـ A إذا كان x ينتمي إلى لصاقة المجموعة *A وفي نفس الوقت x لا ينتمي إلى داخلية A. يرمز لمجموعة النقاط الجبهوية لـ A بـ ℱA
  • ℱA = A*∩A = A ∩ (E\ A°)

تعريف النقطة المعزولة

• نقول عن نقطة x من الفضاء الطوبولوجي E أنها نقطة معزولة لـ A إذا وجد جوار V لـ x بحيث 𝑉 ∩ 𝐴 = {𝑥}

مثال

• في ℝ مرفق بالطبولوجيا اعتيادية كل نقاط مجموعة الأعداد الصحيحة ℤ هي نقاط معزولة.

مجموعة الاعداد الكسرية

• في الفضاء الطوبولوجي ℝ مرفق بالطبولوجيا الاعتيادية. كل عناصر مجموعة الأعداد الكسرية ℚ هي نقاط غير معزولة

النقطة المعزولة

• في ℝ مرفق بالطوبولوجيا الإعتيادية نعتبر A = ]1,2[ ∪ {0}. إن 0 = x نقطة معزولة لـ A لانه V =] 2/,2/1[ بحيث {0} = AV تحريف :- "نقطة لصيقة مجموعة " لتكن E "فضاء طبولوجي" ليكن EAE جزء منه غير خال -نقول عن aEE انها نقطة مالمتة ل "A" اداكان مانكل جوار "V" ل " 4'' نان *يتقاطع مع "'A" ب "A" ونمز لممجمو-مة النقاط المتيقة ل "A" ب A تسميتس" ملا.ة "A

تعريف المجموعة المشتقة

• نقول عن نقطة a تنتمي إلى الفضاء E ، تنتمي إلى A إذا كان لكل جوار V لـ a فإن 𝑉 − {𝑎} ∩ 𝐴 ≠ Ø نرمز لمجموعة النقاط المشتقة ل A ب 𝐴' ونسميها المجموعة المشتقة لـ A

ملاحظات

• المجموعة A محتواة دائما في لصاقة A
• كل نقطة تلاصق ليست بالضرورة نقطة تراكم

قضية

• اذا كان X ينتمي الى A اتحاد ̅A أي "الاصل". -A هي اصغر مجموعة تحوي A مغلقة . A مجموعة مغلقة ادا وفقط ادا كان AA ="الاصل" B تعريف قطر الفضاء الطبولوجي.

الجوارات

- نقطة في اي من المجالات M و  N هما عددين متجاورين 

• ادا حقق : لكل U من حيث [ V من

• المجموعة A متصلة من القمة ادا فقط ادا كانت تتقاطع مع جميع مفتوحات E الغير خالية

• ملاحظات هامة:

• لايوجد تقاطع بين عناصرها .