الدوال المثلثية العكسية

الدوال المثلثية العكسية

التعاريف

• تعرف دالة الجيب العكسي (arcsin) كالتالي:
• (y = \arcsin(x) \iff \sin(y) = x) حيث (-1 \leq x \leq 1) و (-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2})
• تعرف دالة جيب التمام العكسي (arccos) كالتالي:
• (y = \arccos(x) \iff \cos(y) = x) حيث (-1 \leq x \leq 1) و (0 \leq y \leq \pi)
• تعرف دالة الظل العكسي (arctan) كالتالي:
• (y = \arctan(x) \iff \tan(y) = x) حيث (-\infty < x < \infty) و (-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2})

الرسوم البيانية

• الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية هي كالتالي:
• arcsin(x): منحنى يمتد من ((-1), (-\pi/2)) إلى ((1), (\pi/2))، ويمر بالنقطة ((0,0)).
• arccos(x): منحنى يمتد من ((-1), (\pi)) إلى ((1), (0))، ويمر بالنقطة ((0), (\pi/2)).
• arctan(x): منحنى يمتد من (-\infty) إلى (\infty) على محور السينات، ويقترب من (-\pi/2) و (\pi/2) في الأطراف.

النطاقات والمديات

الخصائص

• (\arcsin(-x) = -\arcsin(x))
• (\arccos(-x) = \pi - \arccos(x))
• (\arctan(-x) = -\arctan(x))
• (\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2})

المشتقات

• (\frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}})
• (\frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}})
• (\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2})

التكاملات

• (\int \arcsin(x) , dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C)
• (\int \arccos(x) , dx = x \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C)
• (\int \arctan(x) , dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C)

المتطابقات

• (\sin(\arcsin(x)) = x) لـ (-1 \leq x \leq 1)
• (\cos(\arccos(x)) = x) لـ (-1 \leq x \leq 1)
• (\tan(\arctan(x)) = x) لكل قيم (x)

أمثلة

• (\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6})
• (\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4})
• (\arctan(1) = \frac{\pi}{4})

نظرية الألعاب الخوارزمية

ما هي نظرية الألعاب الخوارزمية؟

• نظرية الألعاب: دراسة رياضية للتفاعل الاستراتيجي بين عناصر عقلانية وذات مصلحة ذاتية.
• تصميم الخوارزميات: كيفية تصميم خوارزميات فعالة لحل المشكلات الحسابية.
• AGT: تدمج الحوافز في تصميم الخوارزميات، وتتعامل مع السلوك الاستراتيجي في بيئة حسابية.

مثال 1: التوجيه الأناني

• يريد المستخدمون السفر من النقطة A إلى B بأسرع وقت ممكن، ويختارون طريقهم بشكل أناني.
• أفضل نظام: تقليل متوسط وقت السفر.
• السؤال: ما مدى سوء النتيجة "الأنانية" مقارنة بأفضل نظام؟
• هذا يحدد ثَمَن الفوضى أو خسارة الكفاءة بسبب السلوك الأناني.

مثال 2: المزادات

• يريد البائع بيع سلعة لأحد المزايدين.
• تصميم الآلية: كيفية تصميم قواعد المزاد لزيادة إيرادات البائع.
• التحدي: قد يكذب المزايدون بشأن قيمتهم الحقيقية للسلعة.

التوجيه الأناني: ثمن الفوضى

مفارقة برايِس (Braess's Paradox)

• إضافة طريق يمكن أن تزيد في بعض الأحيان متوسط وقت السفر لجميع المستخدمين.

مثال

• الشبكة الأولية
• 4 مستخدمين يريدون السفر من A إلى B.
• وقت السفر على كل مسار هو دالة لحركة المرور ( x ) على هذا المسار.

• توازن ناش (Nash Equilibrium)
• تنقسم حركة المرور بالتساوي: 2 مستخدمين يسلكون الطريق A-C-B، و2 يسلكون الطريق A-D-B.
• وقت السفر لكل مستخدم هو ( 2+1=3 ).
• أفضل نظام
• يتحقق عند توازن ناش في هذا المثال.
• الشبكة المعدلة
• إضافة مسار مجاني (وقت السفر 0) من C إلى D.
• توازن ناش الجديد
• جميع المستخدمين يسلكون الطريق A-C-D-B.
• وقت السفر لكل مستخدم هو ( 4 ).
• ثمن الفوضى
• ثمن الفوضى ( = \frac{4}{3} )

تعريف ثمن الفوضى (PoA)

• ثمن الفوضى هو النسبة بين أسوأ حالة لتوازن ناش وأفضل حالة اجتماعية.
• (PoA = \frac{\text{تكلفة أسوأ حالة لتوازن ناش}}{\text{تكلفة أفضل حالة اجتماعية}})

ملاحظات

• ثمن الفوضى دائمًا ( \geq 1 ).
• ثمن الفوضى المنخفض يشير إلى أن السلوك الأناني لا يقلل الأداء العام بشكل كبير.

المزادات: تصميم الآلية

المفاهيم الأساسية

• الآلية: مجموعة من القواعد التي تحكم التفاعل.
• الاستراتيجية: خطة عمل للاعب في الآلية.
• النتيجة: نتيجة استراتيجيات اللاعبين.
• دالة الاختيار الاجتماعي: كيفية تحويل التفضيلات المعلنة إلى نتيجة.
• تصميم الآلية: كيفية تصميم قواعد اللعبة بشكل استراتيجي لتنفيذ دالة اختيار اجتماعي مرغوبة، حتى عندما يتصرف العناصر بشكل استراتيجي.

مثال: بيع سلعة واحدة

• اللاعبون: بائع واحد و ( n ) مزايدين.
• الهدف: يريد البائع زيادة الإيرادات.
• التحدي: قد يكذب المزايدون بشأن قيمتهم الحقيقية للسلعة.

مزاد العطاءات المغلقة بالسعر الأول

• يقدم كل مزايد عرضًا مغلقًا.
• يفوز المزايد الأعلى بالسلعة ويدفع عرضه.

مزاد العطاءات المغلقة بالسعر الثاني (المعروف أيضًا باسم مزاد ڤيكري)

• يقدم كل مزايد عرضًا مغلقًا.
• يفوز المزايد الأعلى بالسلعة ويدفع ثاني أعلى عرض.

الصدق

• في مزاد السعر الثاني، تعتبر المزايدة بقيمة المزايد الحقيقية استراتيجية مهيمنة بشكل ضعيف لكل مزايد.
• تسمى هذه الآليات صادقة.

تكافؤ الإيرادات

• في ظل شروط معينة، يكون الإيراد المتوقع للعديد من أشكال المزادات المختلفة هو نفسه.
• على سبيل المثال، فإن مزادات العطاءات المغلقة بالسعر الأول والثاني لها نفس الإيراد المتوقع عندما تكون قيم المزايدين موزعة بشكل مستقل ومتطابق.

نتائج استحالة

نظرية جيبارد-ساترثويت

• أي دالة اختيار اجتماعي "شاملة" إما ديكتاتورية أو قابلة للتلاعب.
• "شاملة" تعني أن كل نتيجة ممكنة.
• "قابلة للتلاعب" تعني أن اللاعب يمكنه الاستفادة من خلال الإبلاغ عن تفضيلاته بشكل خاطئ.
• النتيجة: لا توجد قاعدة تصويت مثالية غير ديكتاتورية ومقاومة للاستراتيجيات.

زيادة الإيرادات

• توفر معادلة مايرسون توصيفًا لمزادات الإيرادات الأمثل.
• تربط القيم الافتراضية بتصميم المزاد الأمثل.

مجالات البحث الحالية في AGT

• تصميم الآلية عبر الإنترنت: تصميم آليات تعمل في بيئات ديناميكية.
• التعلم في الألعاب: كيف يتعلم العناصر اللعب بشكل مثالي في الألعاب المتكررة.
• القسمة العادلة: كيفية تخصيص الموارد بشكل عادل بين عدة عناصر.
• سلسلة الكتل والعملات المشفرة: تطبيق مفاهيم نظرية الألعاب على تصميم الأنظمة اللامركزية.
• الشبكات الاجتماعية: تحليل التفاعلات الاستراتيجية في الشبكات الاجتماعية.
• الذكاء الاصطناعي وأنظمة العناصر المتعددة: الجمع بين تقنيات الذكاء الاصطناعي ونظرية الألعاب لإنشاء عناصر ذكية يمكنها التفاعل بشكل استراتيجي.