احتمال و آمار: مفاهیم پایه

• احتمال و آمار شاخه‌هایی از ریاضیات هستند که به ترتیب به بررسی شانس وقوع رویدادها و جمع‌آوری، تجزیه و تحلیل، تفسیر و نمایش داده‌ها می‌پردازند.

احتمال

• احتمال، معیاری برای سنجش میزان امکان وقوع یک رویداد است.
• احتمال با عددی بین 0 و 1 (شامل 0 و 1) نشان داده می‌شود.
• احتمال 0 به معنی غیرممکن بودن وقوع رویداد است.
• احتمال 1 به معنی قطعی بودن وقوع رویداد است.
• هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، شانس وقوع آن بیشتر است.

فضای نمونه

• فضای نمونه (Sample Space) مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی است.
• به هر کدام از نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی، یک عضو از فضای نمونه گفته می‌شود.
• فضای نمونه را معمولاً با نماد S نشان می‌دهند.
• مثال: در پرتاب یک سکه، فضای نمونه شامل دو عضو «رو» و «پشت» است: S = {رو، پشت}
• مثال: در پرتاب یک تاس، فضای نمونه شامل شش عضو 1 تا 6 است: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

پیشامد

• پیشامد (Event) زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است.
• پیشامد، مجموعه‌ای از نتایج مطلوب در یک آزمایش تصادفی است.
• مثال: در پرتاب یک تاس، پیشامد «آمدن عدد زوج» شامل اعضای {2, 4, 6} است.
• پیشامد تهی (Ø): پیشامدی که هیچ عضوی ندارد و وقوع آن غیرممکن است.
• پیشامد حتمی: پیشامدی که شامل تمام اعضای فضای نمونه است و وقوع آن قطعی است.

محاسبه احتمال

• احتمال یک پیشامد (P) برابر است با تعداد نتایج مطلوب (تعداد اعضای پیشامد) تقسیم بر تعداد کل نتایج ممکن (تعداد اعضای فضای نمونه).
• P(A) = n(A) / n(S) که در آن:
  • P(A): احتمال وقوع پیشامد A
  • n(A): تعداد اعضای پیشامد A
  • n(S): تعداد اعضای فضای نمونه S
• مثال: احتمال آمدن عدد 3 در پرتاب یک تاس برابر است با 1/6، زیرا فقط یک نتیجه مطلوب (عدد 3) وجود دارد و 6 نتیجه ممکن (اعداد 1 تا 6) وجود دارد.
• مثال: احتمال آمدن عدد زوج در پرتاب یک تاس برابر است با 3/6 یا 1/2، زیرا سه نتیجه مطلوب (اعداد 2، 4 و 6) وجود دارد و 6 نتیجه ممکن (اعداد 1 تا 6) وجود دارد.

آمار

• آمار، علم جمع‌آوری، سازماندهی، خلاصه کردن، تجزیه و تحلیل و تفسیر داده‌ها است.
• آمار به ما کمک می‌کند تا از داده‌ها اطلاعات کسب کنیم و تصمیمات بهتری بگیریم.

جمع‌آوری داده‌ها

• روش‌های مختلفی برای جمع‌آوری داده‌ها وجود دارد، از جمله:
  • نظرسنجی: پرسیدن سوال از افراد
  • آزمایش: مشاهده و ثبت نتایج یک آزمایش
  • مشاهده: ثبت رفتارهای افراد یا پدیده‌ها
  • استفاده از منابع موجود: استفاده از داده‌هایی که قبلاً جمع‌آوری شده‌اند

سازماندهی داده‌ها

• پس از جمع‌آوری داده‌ها، باید آنها را سازماندهی کرد.
• روش‌های مختلفی برای سازماندهی داده‌ها وجود دارد، از جمله:
  • جدول: نمایش داده‌ها در سطرها و ستون‌ها
  • نمودار: نمایش داده‌ها به صورت تصویری (مانند نمودار میله‌ای، نمودار دایره‌ای، نمودار خطی)

خلاصه‌سازی داده‌ها

• برای خلاصه‌سازی داده‌ها، می‌توان از شاخص‌های آماری مختلفی استفاده کرد، از جمله:
  • میانگین: مجموع داده‌ها تقسیم بر تعداد آنها
  • میانه: داده‌ای که در وسط داده‌ها قرار دارد (بعد از مرتب‌سازی)
  • مد: داده‌ای که بیشترین تکرار را دارد
  • دامنه: تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین داده

تجزیه و تحلیل داده‌ها

• پس از خلاصه‌سازی داده‌ها، می‌توان آنها را تجزیه و تحلیل کرد.
• تجزیه و تحلیل داده‌ها به ما کمک می‌کند تا الگوها و روابط بین داده‌ها را شناسایی کنیم.

تفسیر داده‌ها

• پس از تجزیه و تحلیل داده‌ها، باید آنها را تفسیر کرد.
• تفسیر داده‌ها به ما کمک می‌کند تا از داده‌ها نتیجه‌گیری کنیم و تصمیمات بهتری بگیریم.

نمودارها

• نمودارها ابزاری بصری برای نمایش داده‌ها هستند.
• انواع مختلفی از نمودارها وجود دارد، از جمله:
  • نمودار میله‌ای: برای مقایسه داده‌ها در دسته‌های مختلف استفاده می‌شود.
  • نمودار دایره‌ای: برای نمایش نسبت هر دسته از داده‌ها به کل داده‌ها استفاده می‌شود.
  • نمودار خطی: برای نمایش تغییرات داده‌ها در طول زمان استفاده می‌شود.

میانگین

• میانگین (Average) یک مجموعه از اعداد، مجموع آن اعداد تقسیم بر تعدادشان است.
• برای مثال، میانگین اعداد 2، 4 و 6 برابر است با (2 + 4 + 6) / 3 = 4

میانه

• میانه (Median) یک مجموعه از اعداد، عددی است که در وسط مجموعه قرار دارد، به شرطی که اعداد مرتب شده باشند.
• اگر تعداد اعداد فرد باشد، میانه همان عدد وسط است.
• اگر تعداد اعداد زوج باشد، میانه میانگین دو عدد وسط است.
• برای مثال، میانه اعداد 2، 4، 6، 8 و 10 برابر است با 6.
• برای مثال، میانه اعداد 2، 4، 6 و 8 برابر است با (4 + 6) / 2 = 5.

مد

• مد (Mode) یک مجموعه از اعداد، عددی است که بیشترین تکرار را در آن مجموعه دارد.
• ممکن است یک مجموعه هیچ مدی نداشته باشد، یک مد داشته باشد یا چند مد داشته باشد.
• برای مثال، مد اعداد 2، 4، 4، 6 و 6 و 6 برابر است با 6.

دامنه

• دامنه (Range) یک مجموعه از اعداد، تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین عدد در آن مجموعه است.
• برای مثال، دامنه اعداد 2، 4، 6، 8 و 10 برابر است با 10 - 2 = 8.