عناصر اصلی محاسبات کوانتومی

عناصر اصلی محاسبات کوانتومی

• یک بیت کلاسیک در یکی از دو حالت معین "1" یا "0" وجود دارد.

• حالت فیزیکی یک کیوبیت توسط دامنه های دارای ارزش مختلط توصیف می شود که برابر با ریشه دوم یافتن کیوبیت در یکی از دو حالت باینری "0" و "1" است.

• |Ψ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩ = a[10] + b[01] = [a b] (2.1)

• دامنه های a و b ضرایب مختلط هستند، به طوری که |a|²+|b|² = 1، و علامت |⟩، که به عنوان Dirac-Ket شناخته می شود، برای نشان دادن یک حالت کوانتومی خاص استفاده می شود.

• یک حالت اختیاری یک سیستم دو کیوبیتی (به صورت |ψ⟩ نشان داده می شود) توسط یک بردار چهار عنصری با ارزش مختلط توصیف می شود [c0, c1, c2, c3]

• |Ψ⟩ = c0|00⟩ + c1|01⟩ + c2|10⟩ + c3|11⟩ (2.2)

• از آنجایی که دامنه ها جذر احتمالات هستند، مجموع |c0|² + |c1|² + |c2|² + |c3|² باید برابر با یک باشد.

• |Ψ⟩ = ∑i=02n−1 ci|xi⟩, به‌طوری‌که ∑i=02n−1 |ci|² = 1 (2.3)

عملیات منطقی و مدارها

• دروازه های منطقی کوانتومی را می توان از نظر ریاضی به صورت ماتریس های 2n × 2n توصیف کرد.
• به عنوان مثال، ماتریس دوران که به صورت زیر نوشته می شود:
• U=[eia/200e−ia/2]×[cosθ/2−sinθ/2sinθ/2cosθ/2]×[eiβ/200e−iβ/2]
• مقادیر α، β و θ زوایای چرخش در امتداد درجات مختلف آزادی را نشان می دهند.
• در شکل 2.1(a) بیت خروجی نتیجه یک تابع بولی است که مدار کلاسیک را در این حالت به صورت زیر تعریف می کند
• f(c1, c2, c3) = (c1⊕ c2)∨(c1∧ c3) (2.6)
• با فرض مقدار بیت خروجی و عملیات انجام شده در یک مدار کلاسیک، هنوز ممکن است مقادیر بیت های ورودی را ندانید. برعکس، یک مدار کوانتومی، همانطور که در شکل 2.1(b) نشان داده شده است، دقیقاً به همان تعداد کیوبیت های ورودی که کیوبیت های خروجی دارد.
• اُپراتوری که گام زمانی اول را در مدار توصیف می کند، ضرب تانسوری دو ماتریس U1 و U2 است
• U1 ⊗ U2=[u1(11)u1(12)⋯u1(21)u1(22)⋯⋮⋮⋱]⊗U2 (2.7)
• که یک ماتریس 8 × 8 است که گام زمانی اول را توصیف می کند. به این ترتیب، حالت نهایی |ψ⟩ پس از تکمیل مدار به صورت زیر به دست می آید :|Ψ⟩ → U|Ψ⟩ = [(I ⊗ I ⊗ U4) × (U3 ⊗ I) × (U1 ⊗ U2)] |Ψ⟩ (2.8)
• که در آن ابتدا در (U1 2 U2) ضرب می شود، سپس در (U3 ⊗ I) و در نهایت در (I ⊗ I ⊗ U4).
• گیت Hadamard حالت |0⟩ را به حالت جدیدی که با |+⟩ مشخص شده است و حالت |1⟩ را به حالت جدیدی که با |−⟩ مشخص شده است، می برد. هر یک از این دو حالت، |+⟩ و |−⟩، به سادگی برهم نهی برابر از حالت های |0⟩ و |1⟩ هستند و به صورت زیر تعریف می شوند:

|+⟩ =H|0⟩ = √12 |0⟩ + √12|1⟩ = √12(|0⟩ + |1⟩) (2.11) |-⟩ = H|1⟩ = √12 |0⟩ − √12|1⟩ = √12(|0⟩ − |1⟩) (2.12)

• گیت فاز Φϕ، عنصر |0〉 را بدون تغییر باقی می‌گذارد، اما یک چرخش ϕ رادیان به حالت |1〉 با ضرب کردن آن در کمیت eiϕ اعمال می‌کند.

• Φϕ=[100eiϕ] (2.10)

• گیت کنترل شده-NOT (یعنی cnot)، دو عنصر آخر بردار حالت را برعکس می کند.

• Ucnot|Ψ⟩=[1000010000010010][c0c1c2c3]=[c0c1c3c2] (2.13)

• هر تبدیل یکانی n-qubit را می توان به ترکیبی از cnot، Hadamard و گیت های فاز Φϕ تفکیک کرد، در جایی که زاویه فاز فقط باید ϕ = π2 یا ϕ = π4 رادیان باشد:`

• S=[100eiπ4]= [100i], T=[100eiπ4] (2.14)

• یک مجموعه مهم از گیت های تک کوبیتی که به عنوان ماتریس های پائولی شناخته می شوند، چهار گیت زیر هستند که با حروف {I, X, Y, Z} نشان داده شده اند.

• من = [1001], X = [0110], Z= [100−1], Y = −iZX = [0−i −i0] (2.15)

• مثالی با دو گیت cnot و دو گیت Hadamard دارد

• نمایش مدار گیت cnot معمولاً با نماد ⊕ برای نشان دادن این واقعیت که تابع گیت انجام عملیات xor بین کیوبیت کنترلی و کیوبیت هدف در صورت تنظیم کیوبیت کنترلی است ترسیم می شود.

• فرض کنید حالت ورودی اولین کیوبیت، حالت کیوبیت اختیاری |q1 ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩ است و دو کیوبیت دیگر، |q2 و |q3 ⟩، هر دو با |۰⟩ شروع می شوند

• |q1q2q3⟩ =(a|0⟩+b|1⟩)|00⟩=a|000⟩+b|100⟩ (2.16)

• = 1/√2 (a|000⟩ + a|010⟩ + b|100⟩ + b|110⟩)

• = √12(a|000⟩ + a|011⟩ + b|110⟩ + b|101⟩)

• = √12 (a(|000⟩+|0ll⟩+|100⟩+|11l⟩) + b((|0l0⟩+|00l⟩−|110⟩−|10l⟩))

• = √12 (a(|000⟩+|011⟩+|110⟩+|101⟩) +b((|010⟩+|001⟩−|100⟩−|11l⟩))

• =|00⟩(a|0⟩+b|1⟩ + |01⟩b|0⟩+a|1⟩ +|10⟩(a|0⟩-b|1⟩)+|11⟩(a|1⟩-b|0⟩))

اندازه‌گیری کوانتومی

• خواندن حالت هر کیوبیت از یک رجیستر کوانتومی مستلزم اندازه گیری است که برهم نهی آن کیوبیت را از بین می برد.

• در صورت انجام یک اندازه گیری Z مقدار 1، آنگاه حالت کوبیت در حالت |0› فرومی ریزد و نتیجه با بیت کلاسیک "۰" نشان داده می‌شود.

• اگر نتیجه اندازه‌گیری ۱- باشد، آنگاه حالت در حالت 1 فرومی‌ریزد و نتیجه به عنوان بیت کلاسیک "۱" نشان داده می‌شود.

• برای حالت کلی کوبیت |ψ›= a|0›+b|1)، نتیجه اندازه‌گیری با احتمال |a|^2 "0" خواهد بود و با احتمال |b|^2 "1" خواهد بود.

• اندازه گیری در امتداد اساس ویژه بردارهای ویژه |+〉 و |−〉 اپراتور X داده شده : |+〉 = (1/√2)(|0〉 + |1))= (1/√2)([01]+[01]) = 1/√2 [11] (2.20) |-〉 = (1/√2)(|0〉 - |1)) = (1/√2)([01]-[01]) = 1/√2 [1-1] (2.21)

• حالت تک کیوبیتی کلی a|0〉+b|1〉 را می توان بر حسب حالت های |+〉 و |−〉 به صورت نوشت: (a+b/√2) |+〉 + (a-b/√2) |−〉 (2.22)

• هنگامی که حالت در حال اندازه گیری از قبل فروپاشی شود، حالت تولید شده می تواند در یکی از دو حالت |+〉 یا |-〉 با احتمالات (a+b/√2)^2 و (a-b/√2)^2 فروپاشی شود.

• ماهیت مخرب اندازه گیری یکی از دلایلی است که حالت های کوانتومی نمی توانند کپی شوند، همانطور که در قضیه عدم کلونینگ کوانتومی نشان داده شده است.

• قضیه عدم کلونینگ به این معنی است که FANOUT در محاسبات کوانتومی غیرممکن است.

• این بدان معناست که ما نمی توانیم برای مثال اطلاعات کوانتومی را به سادگی در یک سیم به یک مقصد دیگر منتقل کنیم و در عین حال منبع را تغییر نیافته باقی بگذاریم.

مثال: گیت کوانتومی Toffoli 3-کیوبیتی

• به عنوان گیت کنترل شده-کنترل شده-NOT تعریف می شود که حالت بیت هدف را در صورت تنظیم حالت های هر دو بیت کنترلی برمی گرداند: (a, b, c) → (a, b, c ⊕ ab)؛

• از نظر مکانیکی کوانتومی، گیت Toffoli حالت |abc⟩ را به شکل زیر به حالت |ab〉 (c ⊕ ab)) منتقل می کند:

• مداری که Toffoli را پیاده سازی می کند که از فقط گیت های Hadamard، T، S و cnot تشکیل شده است.

• T† مزدوج مختلط ماتریسی است که گیت T را پیاده سازی می کند.

• گیت Toffoli در پیاده سازی بسیاری از الگوریتم های کوانتومی بسیار مهم است و به عنوان مثال در پیاده سازی افزودنی های کوانتومی مرکزی است.

مثال: الگوریتم شور

• الگوریتم شور برای فاکتورسازی کارآمد اعداد بزرگ طراحی شده است که یک مشکل مهم در رمزنگاری به ویژه برای رمزگذاری RSA است.
• برای دستیابی به افزایش سرعت نمایی نسبت به بهترین الگوریتم های کلاسیک شناخته شده،کاهش پیچیدگی زمان از زیرنمایی به چند جمله ای استفاده از محاسبات کوانتومی
• هسته اصلی الگوریتم شور شامل یافتن دوره یک تابع مربوط به عدد فاکتور شده است.
• در الگوریتم شور، ما با یک حدس تصادفی شروع می کنیم که ممکن است مضرب N نباشد، و الگوریتم آن را به یک حدس بهتر اصلاح می کند.
• ما فقط باید اعدادی را حدس بزنیم که دارای مضرب مشترک با N هستند; اگر الگوریتم اقلیدسی یکی را پیدا کند، می توانیم N را بر آن تقسیم کنیم تا عامل دوم را بدست آوریم و داده ها را رمزگشایی کنیم.
• برای هر جفت عدد صحیح که دارای مضرب مشترک نیستند (به عنوان مثال، N و g)، ضرب یکی از آنها (g) به اندازه کافی در نهایت عددی را به دست می دهد که یک واحد بیشتر از مضرب دیگری (m.N) است.
• gp = m × N + 1
• برای مثال: 7^2 = 3 x 15 + 4 7^3= 22 × 15 + 13 7^4 = 160 × 15 + 1
• با تنظیم مجدد در تساوی gp= mN + 1، می توان آن را به صورت زیر نوشت:' gp-1 = mN (gp/2 + ۱) × (gp/2 - 1) = 1/m × N
• بنابراین، ما یک معادله با فرم داریم: (چیزی) برابر است با ضرب (چیز دیگر ، چیزی دیگر) در N، که نشان دهی دهنده دو عامل N مورد نظر ما است'''

مثال: تبدیل فوریه کوانتومی (Qft)

• QFT N-qubit یک حالت کوانتومی | ψ 〉 را به صورت برهم نهی از تمام حالت ها | xi 〉 که در آن هر xi یک عدد صحیح کمتر از N است، در اساس فوریه قرار می دهد. اساس فوریه برهم نهی از حالت های کوانتومی | Xa 〉 است که با | Xα 〉 =1/√n ∑j=0n−1 e^(2πia j/N) |j〉 (2.23)
• مدار برای تبدیل فوریه کوانتومی 4 کیوبیتی به تصویر کشیده شده است.

مثال: انتقال کوانتومی

• انتقال کوانتومی به ما این امکان را می دهد که حالت یک کیوبیت در مکان A را به کیوبیت دیگری در مکان B بدون نیاز به تعامل مستقیم بین دو کیوبیت منتقل کنیم.
• مطابق شکل 2.7، پس از اندازه گیری | q1 و | q2 ، یکی از چهار رشته "00"، "01"، "10" یا "11" را به دست خواهیم آورد. اگر نتیجه "00" باشد، حالت کوبیت q3 〉 بعد از اندازه گیری a|0 〉 + b|1 〉خواهد بود، که حالت اصلی کیوبیت | q1 است.
• به این ترتیب، با مشاهده رشته (قطار یا تسلسل) "00"، مقدار اولیه کیوبیت | q1 〉 به کوبیت q3 〉 بدون نیاز به تعامل با کوبیت های | q1 و | q3 〉منتقل شده است.
• خطای انتقال را می توان با اعمال ترکیبی از یک گیت X بیت فلیپ و یک گیت فاز فلیپ Z بسته به نتیجه اندازه در تصحیص می شود.

مثال: الگوریتم کوانتومی دوچ

• فرض کنید ما با دو کیوبیت در حالت اولیه | ψ 〉 = |۰۰) شروع می کنیم و پس از اعمال گیت هادامارد روی اولین کیوبیت، این حالت را به دست می آوریم: | ψ 〉 → H1 | ψ 〉 = 1/√۲(|۰۰ 〉+|۱۰۰۰) (2.24) تبدل Uf که حالت {| ab} را به |a, b ⊕ f(a) |>

• برای حالت دو کیوبیتی 01 |〉 و اعمال گیت آدامارد به هر دو کیوبیت: | ψ) → H1 H2| ψ) = √1/2 (|0〉 + |1 〉)⊗ √1/2 (|0〉 - |1 〉) (2.26)

• پس از تبدل UF دو کیوبیتی ما در نهایت به حالت زیر می رسیم. : |ψ) final = ±|f(0 ⊕ f(1) √1/2 |0 − |1

در ھم تنیدگی کوانتومی و جفتھای EPR

• در ھم تنیدگی کوانتومی موتور محرکه پشت تمام پیاده سازیھای الگوریتم کوانتوم است .
• وقتی کوبی ﺖھای متعددی در ھم تنیده می شوند ، ھر عملی (مانند یک دروازه یا یک سنجش ) در یک کوبیﺖ منفرد روی حالت ھای تمام کوبیﺖ ھای در ھم تنیده با آن تأثیر خواهد گذاشت .
• واگرا یی نیز نتیجه ای از در ھم تنیدگی ایست ، یا به عبارت دیگر ، در ھم تنیدگی سیستم کوانتومی با محیط اطراف و اتلاف حاصل از حالت بر ھم نھی مطلوب سیستم .
• کیوبیت های اولیه (00) را در نظر گرفته می شود و پس از اعمال هادامارد و گیت CNOT نتیجه |Φ+〉 =(|⁰⁰〉 +|¹¹〉)/√۲ یک حالت کاملاً درهم تنیده است که به عنوان یک جفت EPR شناخته می شود.
• این جفت به نام کاشفانش در سال 1935، اینشتین، پودولسکی و روزن نامگذاری شد. جفت EPRباا به عنوان دو وضعیت گربه کوبیتی نامیده می شود . Nوضعیت گربه کوبیتی را می توان با |Ψ = |00 = |+ = تعمیم داد.