向量場圖與散度

向量場圖

• 平面上的向量場是將每個點((x, y))分配一個向量 (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle) 的函數。
• 空間中的向量場是將每個點((x, y, z))分配一個向量 (\overrightarrow{F}(x, y, z) = \langle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) \rangle) 的函數。
• 向量場可通過在代表點 ((x, y)) 繪製具有適當方向和大小的箭頭來視覺化。
• 例子：
  • (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle y, x \rangle) 的向量方向隨位置變化。
  • (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle -y, x \rangle) 的向量從原點旋轉。
  • (\overrightarrow{F}(x, y) = \frac{\langle x, y \rangle}{\sqrt{x^2 + y^2}}) 的向量從原點向外指出，大小隨距離減小。
  • (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle \cos(x + y), \sin(x - y) \rangle) 向量場更複雜，方向和大小都在變化。

散度

• 散度（(\nabla \cdot \overrightarrow{F})）測量向量場在某一點的“向外流量”。

定義

• 對於 2D 向量場 (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle)：
  • (\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y})
• 對於 3D 向量場 (\overrightarrow{F}(x, y, z) = \langle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) \rangle)：
  • (\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})

解讀

• 如果在某一點 (\nabla \cdot \overrightarrow{F} > 0)，則存在向外流量（源）。
• 如果在某一點 (\nabla \cdot \overrightarrow{F} < 0)，則存在向內流量（匯）。
• 如果在某一點 (\nabla \cdot \overrightarrow{F} = 0)，則流量是不可壓縮的。

例子

• (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle x^2, y^2 \rangle)
  • (\nabla \cdot \overrightarrow{F} = 2x + 2y)
  • 散度隨 (x) 和 (y) 線性變化。
• (\overrightarrow{F}(x, y, z) = \langle xz, xy, -yz \rangle)
  • (\nabla \cdot \overrightarrow{F} = z + x - y)
  • 散度是 (x)、(y) 和 (z) 的線性函數。

旋度

• 旋度（(\nabla \times \overrightarrow{F})）測量向量場在某一點的“旋轉”。

定義

• 對於 2D 向量場 (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle)：
  • (\nabla \times \overrightarrow{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})
• 對於 3D 向量場 (\overrightarrow{F}(x, y, z) = \langle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) \rangle)：
  • (\nabla \times \overrightarrow{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle)

解讀

• 旋度向量的方向是旋轉軸（右手規則）。
• 旋度向量的大小表示旋轉強度。
• 如果 (\nabla \times \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0})，則場是無旋轉的。

例子

• (\overrightarrow{F}(x, y) = \langle -y, x \rangle)
  • (\nabla \times \overrightarrow{F} = 2)
  • 旋度是常數且為正，表示均勻旋轉。
• (\overrightarrow{F}(x, y, z) = \langle -y, x, z^2 \rangle)
  • (\nabla \times \overrightarrow{F} = \langle 0, 0, 2 \rangle)
  • 旋度是指向 z 方向的向量，表示 xy 平面中的旋轉。

Einführung

• Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Zahlenarray mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten.
• $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$
• $a_{ij}$ ist das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte.
• Gängige Beispiele sind $2 \times 2$ Matrizen wie $A$, $2 \times 3$ Matrizen wie $B$, Spaltenvektoren wie $C$ und Zeilenvektoren wie $D$.

Matrixoperationen

• Für die Addition müssen $A$ und $B$ beide $m \times n$ Matrizen sein, dann ist ihre Summe $A + B$ auch eine $m \times n$ Matrix.
• $(A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}$
• Bei Matrizen ist $(cA){ij} = ca{ij}$, wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $c$ ein Skalar ist.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist ihr Produkt $AB$ eine $m \times p$ Matrix.
• $(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$

Spezielle Matrizen

• Nullmatrix: Eine Matrix, bei der alle Elemente gleich Null sind.
• Einheitsmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonalen gleich 1 sind und alle anderen Elemente gleich 0 sind
• Die Transponierte einer $m \times n$ Matrix $A$ ist eine $n \times m$ Matrix $A^T$, wobei die Zeilen und Spalten von $A$ vertauscht sind
• $(A^T){ij} = a{ji}$

¿Qué es Ralstonia solanacearum raza 3 biovar 2?

• Bacteria que causa la marchitez bacteriana en papa y otros cultivos.
• Plaga cuarentenaria por su alto potencial de daño económico, puede restringir la exportación de papa de Colombia.

Síntomas

• Marchitez: Hojas apicales se tornan flácidas, marchitez rápida de la planta sin amarillamiento previo.
• Vascularización: Anillo marrón oscuro en vasos vasculares, clave para diferenciarla.
• Exudado bacteriano: Exudado blanco o amarillento en ojos de los tubérculos y cortes de tallo.
• Olor: Olor fétido en tubérculos afectados en estados avanzados.

¿Cómo se disemina?

• Semilla infectada, agua de riego, suelo, maquinaria y herramientas, malezas y otros cultivos.

Medidas de prevención

• Utilizar semilla certificada, monitoreo constante, análisis de laboratorio, desinfección de equipos, rotación de cultivos.
• Manejo del agua, control de malezas, buenas prácticas agrícolas.

Medidas de control

• Erradicación de plantas infectadas, aislamiento del área afectada, desinfección del suelo.
• Barbecho, control biológico, restricción de movimiento de equipos y personal.

¿Dónde acudir?

• ICA, Secretarías de Agricultura, universidades y centros de investigación, asistencia técnica de agrónomos.

¡Trabajemos juntos para proteger nuestros cultivos de papa!

• La detección temprana y las medidas de prevención y control son cruciales.
• Consultar a expertos y seguir recomendaciones técnicas.

Contacto

• www.ica.gov.co
• 018000915210

Algorithmic Trading

• Algorithmic Trading, also known as "algo-trading" or "black-box trading."
• Uses computer programs to follow a defined set of instructions (an algorithm) for placing a trade.
• The algorithm is based on timing, price, quantity, or mathematical model.
• Only 10% of trading is discretionary.

Advantages

• Minimizes human emotions, trades are executed at the best possible prices, reduced transaction costs, simultaneous automated checks and reduced possibility of manual errors.

Disadvantages

• Requires constant monitoring, system failure, technology expertise, unexpected outcomes and over-optimization.

Conclusion

• A great tool for traders to execute large orders at the best possible prices.

Matrizen

• Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Schema von Zahlen (oder Elementen) $a_{ij}$.
• $a_{ij}$ bezeichnet das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte.
• Eine $m \times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.
• Vektoren wie Zeilen oder Spalten sind spezielle Matrizen
• Zwei Matrizen $A$ und $B$ können addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben (d. h. die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten).
• Die Summe $A + B$ wird elementweise berechnet, $(A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}$
• Eine Matrix $A$ kann mit einem Skalar $c$ multipliziert werden, indem jedes Element der Matrix mit $c$ multipliziert wird: $(cA){ij} = c \cdot a{ij}$
• Das Produkt zweier Matrizen $A$ ($m \times n$) und $B$ ($n \times p$) ist eine Matrix $C$ ($m \times p$), wobei jedes Element $c_{ij}$ wie folgt berechnet wird: $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$
• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird erhalten, indem Zeilen und Spalten von $A$ vertauscht werden: $(A^T){ij} = a{ji}$
• Spezielle Matrizen sind quadratische Matrizen, Diagonalmatrizen, Einheitsmatrizen, Symmetrische Matrizen und Inverse Matrizen

Dijkstra's Algorithm

• Applies the Priority Queue ADT (Abstract Data Type)
• Graph G = (V,E)
• Non-negative edge weights
• Goal: Single source shortest path

1. Maintain $d[v]$ for each vertex $v \in V$ which is current shortest path length from $s$ to $v$.
2. Maintain a set $R$ of vertices whose shortest path from $s$ are known.
3. Initialize:
   • $d[s] = 0$
   • $d[v] = \infty$ for all $v \neq s$
   • $R = \emptyset$
4. While ($R \neq V$)
   • Find $u \notin R$ with smallest $d[u]$
   • $R = R \cup {u}$
   • For each $v \in Adj[u]$, If $d[v] > d[u] + w(u,v)$ then $d[v] = d[u] + w(u,v)$

• Implementation with Priority Queue: Each vertex $v \in V-R$ is stored in a priority queue, the Key of vertex $v$ is $d[v]$, In "for each $v \in Adj[u]$" loop, we need to decrease the key of $v$ in the priority queue.
• Priority Queue ADT: DecreaseKey $(Q,v,k)$: decreases the key of vertex $v$ in queue $Q$ to value $k$.

Running time

Algoritmos de optimización

• La optimización encuentra los mejores elementos de un rango de alternativas.
• Una tarea de optimización incluye:
• Una función objetivo que debe ser minimizada o maximizada.
• Un conjunto de variables de diseño que afectan el valor de la función objetivo.
• La optimización se puede utilizar en una amplia variedad de campos como ingeniería, economía o informática.

Algoritmos de optimización

• Un algoritmo de optimización es un procedimiento que se ejecuta iterativamente comparando varias soluciones hasta que ya no se puede encontrar una mejor.
• Los algoritmos de optimización se utilizan para resolver problemas de optimización difíciles en diversas disciplinas.

Desafíos

• Encontrar el algoritmo apropiado para un problema específico.
• Equilibrio entre el tiempo de cálculo y la calidad de la solución.
• Evitar quedar atrapado en óptimos locales.

Tipos de algoritmos

Algoritmos basados en gradiente

• Utiliza el gradiente de la función objetivo para encontrar el óptimo.
• Eficiente para funciones convexas.
• Puede quedar atrapado en óptimos locales.

Algoritmos evolutivos

• Inspirado en la evolución biológica.
• Utiliza operadores como cruce y mutación para explorar el espacio de búsqueda.
• Puede escapar de los óptimos locales.
• Computacionalmente caro.

Algoritmos de inspiración natural

• Inspirado en fenómenos naturales.
• Ejemplos: optimización de colonias de hormigas, optimización de enjambres de partículas.
• Puede ser eficaz para problemas complejos.

Ejemplo: Descenso de gradiente.

Ejemplo: Algoritmo genético.

• Hay una variedad de herramientas disponibles para la optimización algorítmica. SciPy, TensorFlow, PyTorch

Pensamientos finales

14.1 The Zeroth Law of Thermodynamics

• Objects A and B are separately in thermal equilibrium with a third object C, then A and B are in thermal equilibrium with each other.
• Facilitates a definition of temperature that is not based off the properties of a particular substance.

14.2 The First Law of Thermodynamics

Heat and Internal Energy

• Internal Energy ($E_{\text{int}}$): All the energy of a system associated with microscopic components, kinetic energy of random motion and potential energy of molecular vibration
• Heat (Q): The transfer of energy across the boundary of a system due to a temperature difference between the system and its surroundings.
• System energy change is transferred into (Q is positive) or out (Q is negative) as heat.
• Units: Calorie (cal) and $1 \text{ cal} = 4.186 \text{ J}$

Work and Internal Energy

• Internal energy of a system can be changed by doing work on the system, energy transferredinto (W is positive)or out (W is negative)of the system by work
• The change in internal energy of a system: $\Delta E_{\text{int}} = Q + W$ -Q is positive when energy enters the system by heat and negative when energy leaves the system by heat -W is positive when work is done on the system and negative when work is done by the system -The internal energy of an isolated system remains constant

Thermodynamic Processes

• Adiabatic Process: is where no energy enters or leaves the system by heat
• Isobaric Process: Constant pressure where $W = -P\Delta V$
• Isovolumetric Process: Constant volume with $\Delta E_{\text{Int}} = Q$
• Isothermal Process: Constant temperature where $Q = -W$

Mechanisms of Energy Transfer

• Thermal Conduction where $P = \frac{Q}{\Delta t} = kA \frac{T_H - T_C}{L}$

  -   P is the rate of energy transfer
  -   A is the cross-sectional area of the material
  -   L is the thickness of the material
  -   $T_H$ and $T_C$ are the hot and cold temperatures
  -   k is the thermal conductivity of the material
  

• Convection is the transfer of energy by the movement of a substance

• Radiation has a rate at a object radiates energy $P = \sigma A e T^4$ where $\sigma = 5.6696 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}^4$

14.3 The Second Law of Thermodynamics

Heat Engines

• The work done by the engine equals the net energy transferred to it in one cycle: $W_{\text{eng}} = |Q_h| - |Q_c|$
• The thermal efficiency, e, of a heat engine is defined as:$e = \frac{W_{\text{eng}}}{|Q_h|} = 1 - \frac{|Q_c|}{|Q_h|}$

Heat Pumps and Refrigerators

• Energy is transferred by heat from a cold reservoir to a hot reservoir, which requires some input of work.
• The coefficient of performance (COP) is defined as:

$\text{COP} = \frac{|Q_c|}{W}$ (refrigerator) $\text{COP} = \frac{|Q_h|}{W}$ (heat pump)

Entropy

• Entropy is a measure of the disorder of a system: $\Delta S = \frac{Q}{T}$
• The second law of thermodynamics states that the entropy of the Universe increases in all natural processes: $\Delta S_{\text{universe}} > 0$

Entropy Changes in Irreversible Processes

• To calculate the change in entropy in an irreversible process, you must devise a reversible process between the same initial and final states
• The change in entropy for an ideal gas undergoing a free expansion is: $\Delta S = nR \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)$

Entropy on a Microscopic Scale

• The number of ways that the molecules of a system can be arranged is the multiplicity, W and the entropy of a system is proportional to the logarithm of multiplicity $S = k_B \ln W$

UNIDAD 1: VECTORES

• Los escalares se definen completamente con un número y sus unidades, como masa o temperatura.
• Las magnitudes vectoriales requieren módulo, dirección y sentido, como velocidad o fuerza.
• Un vector es un segmento orientado caracterizado por su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.
• Elementos de un Vector, se representan gráficamente mediante una flecha y se denotan con letras y flechas o en negrita.
• Hay varios tipos de vectores: colineales, concurrentes, coplanares, iguales, opuestos, nulos y unitarios.

OPERACIONES CON VECTORES

• Suma de Vectores: Se suman por métodos gráficos (paralelogramo, triángulo, polígono) o analíticos (componentes cartesianas).
• Resta de Vectores: Se suma el vector opuesto.
• Producto de un Escalar por un Vector: Resulta en otro vector con la misma dirección y sentido (o contrario si el escalar es negativo).

Productos de Vectores

• • Producto Escalar*: Es un escalar que depende de los módulos y el coseno del ángulo, o se calcula con las componentes cartesianas.
• • Producto Vectorial*: Es un vector perpendicular al plano de los vectores originales, y su sentido se determina por la regla de la mano derecha.

Chapter 9: Momentum and Collisions

• Linear Momentum: a mass with vector velocity
• The linear momentum is the product of the mass and velocity:$\overrightarrow{\mathbf{p}} \equiv m \overrightarrow{\mathbf{v}}$
• Linear momentum is a vector quantity, the direction of $\overrightarrow{\mathbf{p}}$ is the same as the direction of $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.
• The linear momentum of a system of particles is the vector sum of the momenta of the individual particles: $\overrightarrow{\mathbf{p}}_{tot} = \overrightarrow{\mathbf{p}}_1 + \overrightarrow{\mathbf{p}}_2 +... + \overrightarrow{\mathbf{p}}_n = m_1\overrightarrow{\mathbf{v}}_1 + m_2\overrightarrow{\mathbf{v}}_2 +... + m_n\overrightarrow{\mathbf{v}}_n$