ตรีโกณมิติ: ฟังก์ชัน, วงกลมหนึ่งหน่วย, เอกลักษณ์

• ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานมี 6 ฟังก์ชัน ได้แก่ sin, cos, tan, csc, sec, และ cot
• ฟังก์ชันเหล่านี้กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกับอัตราส่วนของด้านสองด้าน
• sin(θ) = ด้านตรงข้ามมุม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• cos(θ) = ด้านประชิดมุม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• tan(θ) = ด้านตรงข้ามมุม / ด้านประชิดมุม
• csc(θ) = 1 / sin(θ) = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ด้านตรงข้ามมุม
• sec(θ) = 1 / cos(θ) = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ด้านประชิดมุม
• cot(θ) = 1 / tan(θ) = ด้านประชิดมุม / ด้านตรงข้ามมุม

วงกลมหนึ่งหน่วย

• วงกลมหนึ่งหน่วยเป็นวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0) บนระนาบพิกัด
• วงกลมหนึ่งหน่วยใช้ในการกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมใดๆ
• เมื่อจุด (x, y) อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย และเส้นตรงที่เชื่อมจุดนั้นกับจุดกำเนิดทำมุม θ กับแกน x ทางบวก จะได้ว่า x = cos(θ) และ y = sin(θ)

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

• เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุกค่าของมุม
• เอกลักษณ์พื้นฐาน:
• sin²(θ) + cos²(θ) = 1
• tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
• cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)
• csc(θ) = 1 / sin(θ)
• sec(θ) = 1 / cos(θ)
• cot(θ) = 1 / tan(θ)
• เอกลักษณ์ผลบวกและผลต่างของมุม:
• sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
• sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
• cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
• cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
• tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))
• tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))
• เอกลักษณ์มุมสองเท่า:
• sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
• cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
• tan(2θ) = (2tan(θ)) / (1 - tan²(θ))
• เอกลักษณ์มุมครึ่งเท่า:
• sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / 2)
• cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ)) / 2)
• tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))) = sin(θ) / (1 + cos(θ)) = (1 - cos(θ)) / sin(θ)

กฎของไซน์และโคไซน์

• กฎของไซน์: ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ อัตราส่วนของความยาวด้านต่อไซน์ของมุมตรงข้ามจะเป็นค่าคงที่
• a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
• กฎของโคไซน์: ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและโคไซน์ของมุม
• a² = b² + c² - 2bc cos(A)
• b² = a² + c² - 2ac cos(B)
• c² = a² + b² - 2ab cos(C)

การประยุกต์ใช้ตรีโกณมิติ

• การหาระยะทางและความสูง: ใช้ตรีโกณมิติในการคำนวณระยะทางและความสูงของวัตถุต่างๆ เช่น ภูเขา ตึก หรือแม่น้ำ โดยใช้มุมเงย มุมก้ม และระยะทางที่ทราบ
• การนำทาง: ใช้ในการนำทางทางทะเล ทางอากาศ และทางบก โดยใช้มุมและระยะทางเพื่อกำหนดตำแหน่งและทิศทาง
• ฟิสิกส์: ใช้ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย คลื่น และปรากฏการณ์ทางแสง
• วิศวกรรม: ใช้ในการออกแบบโครงสร้าง คำนวณแรง และวิเคราะห์เสถียรภาพของโครงสร้าง
• ดาราศาสตร์: ใช้ในการวัดระยะทางและตำแหน่งของดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ และวัตถุทางดาราศาสตร์อื่นๆ
• กราฟิกคอมพิวเตอร์และเกม: ใช้ในการสร้างภาพสามมิติ การหมุนวัตถุ และการคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุในเกม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คือ ฟังก์ชันที่ให้ค่ามุมที่ทำให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีค่าตามที่กำหนด
• arcsin(x) หรือ sin⁻¹(x): ให้ค่ามุม θ ที่ sin(θ) = x โดยที่ -π/2 ≤ θ ≤ π/2
• arccos(x) หรือ cos⁻¹(x): ให้ค่ามุม θ ที่ cos(θ) = x โดยที่ 0 ≤ θ ≤ π
• arctan(x) หรือ tan⁻¹(x): ให้ค่ามุม θ ที่ tan(θ) = x โดยที่ -π/2 < θ < π/2

สมการตรีโกณมิติ

• สมการตรีโกณมิติ คือ สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวแปร
• การแก้สมการตรีโกณมิติ คือ การหาค่าของมุมที่ทำให้สมการเป็นจริง
• โดยทั่วไป สมการตรีโกณมิติจะมีคำตอบหลายค่า เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติมีลักษณะเป็นคาบ
• เช่น sin(x) = 1/2 จะมีคำตอบเป็น x = π/6 + 2πk และ x = 5π/6 + 2πk เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

• กราฟของฟังก์ชัน sine (y = sin(x)): เป็นคลื่นที่มีคาบเท่ากับ 2π แอมพลิจูดเท่ากับ 1 และมีค่าสูงสุดที่ π/2 และค่าต่ำสุดที่ 3π/2
• กราฟของฟังก์ชัน cosine (y = cos(x)): เป็นคลื่นที่มีคาบเท่ากับ 2π แอมพลิจูดเท่ากับ 1 และเหมือนกับกราฟ sine แต่เลื่อนไปทางซ้าย π/2
• กราฟของฟังก์ชัน tangent (y = tan(x)): มีคาบเท่ากับ π มีเส้นกำกับที่ x = π/2 + πk เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ