Podcast
Questions and Answers
3x + 5y = 17 ಮತ್ತು 2x + 3y = 10 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಆದೇಶಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
3x + 5y = 17 ಮತ್ತು 2x + 3y = 10 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಆದೇಶಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿ. ನಂತರ, ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ. ನಂತರ, ಇತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಮೊದಲ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೊದಲಿಗೆ ನೀವು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ.
f(x) = 3x^2 - 2x + 1 ಆದಾಗ, f(2) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
f(x) = 3x^2 - 2x + 1 ಆದಾಗ, f(2) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 3(4) - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9
2(x + 3) - 5 = 3(x - 1) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
2(x + 3) - 5 = 3(x - 1) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
- ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ:
2x + 6 - 5 = 3x - 3. 2. ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು:2x + 1 = 3x - 3. 3. ಎರಡೂ ಕಡೆಯಿಂದ2xಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ:1 = x - 3. 4. ಎರಡೂ ಕಡೆಗೆ 3 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ:x = 4
4x^2 - 9 ಅನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್ ಮಾಡಿ.
4x^2 - 9 ಅನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್ ಮಾಡಿ.
x + y = 5 ಮತ್ತು x - y = 1 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
x + y = 5 ಮತ್ತು x - y = 1 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
y = 2x + 3 ರೇಖೆಯನ್ನು (1, 5) ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
y = 2x + 3 ರೇಖೆಯನ್ನು (1, 5) ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಘಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: $(x^2y^3)^4 \cdot x^{-2}y$.
ಘಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: $(x^2y^3)^4 \cdot x^{-2}y$.
ನೀವು ಹೇಗೆ ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು?
ನೀವು ಹೇಗೆ ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು?
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $\frac{x+1}{2} + \frac{x-3}{3} = 4$.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $\frac{x+1}{2} + \frac{x-3}{3} = 4$.
ನೀವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
ನೀವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
Flashcards
ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಎಂದರೇನು?
ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಎಂದರೇನು?
ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಕ್ಷರಗಳು.
ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಂದರೇನು?
ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಂದರೇನು?
ಬದಲಾಗದ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವಿಕೆ(expression) ಎಂದರೇನು?
ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವಿಕೆ(expression) ಎಂದರೇನು?
ಚರಾಕ್ಷರಗಳು, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ.
ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?
ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?
Signup and view all the flashcards
ಪದಗಳು ಎಂದರೇನು?
ಪದಗಳು ಎಂದರೇನು?
Signup and view all the flashcards
ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದರೇನು?
ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದರೇನು?
Signup and view all the flashcards
ಕಾರಕಗಳು ಎಂದರೇನು?
ಕಾರಕಗಳು ಎಂದರೇನು?
Signup and view all the flashcards
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕ್ರಮ ಎಂದರೇನು?
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕ್ರಮ ಎಂದರೇನು?
Signup and view all the flashcards
ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
Signup and view all the flashcards
ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದೆಂದರೇನು?
ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದೆಂದರೇನು?
Signup and view all the flashcards
Study Notes
Ok, I have updated the study notes with the new information. Since the new information is identical to the old information, there are no changes.
Here are the study notes in Kannada:
ಬೀಜಗಣಿತ (Algebra)
- ಬೀಜಗಣಿತವು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.
- ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
- ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (Variables)
- ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರಗಳು, ಅದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.
- ಅವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3x + 5ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ,xಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು (Constants)
- ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಬದಲಾಗದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
- ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3x + 5ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ,3ಮತ್ತು5ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು (Expressions)
- ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ.
- ಅವು ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3x + 5,a - b, ಮತ್ತುx^2 + 2x - 1ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳು (Equations)
- ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ.
- ಅವು ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು (=) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3x + 5 = 14,a - b = 7, ಮತ್ತುx^2 + 2x - 1 = 0ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.
ಪದಗಳು (Terms)
- ಪದಗಳು ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3x + 5ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ,3xಮತ್ತು5ಪದಗಳಾಗಿವೆ.
ಗುಣಾಂಕಗಳು (Coefficients)
- ಗುಣಾಂಕಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3xಎಂಬ ಪದದಲ್ಲಿ,3ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.
ಕಾರಕಗಳು (Operators)
- ಕಾರಕಗಳು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ.
- ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರಕಗಳು:
- ಸಂಕಲನ: +
- ವ್ಯವಕಲನ: -
- ಗುಣಾಕಾರ: * ಅಥವಾ ×
- ಭಾಗಾಕಾರ: / ಅಥವಾ ÷
- ಘಾತೀಕರಣ: ^
ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು (Basic Operations)
- ಸಂಕಲನ: ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3x + 2x = 5x
- ಉದಾಹರಣೆ:
- ವ್ಯವಕಲನ: ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ:
5x - 2x = 3x
- ಉದಾಹರಣೆ:
- ಗುಣಾಕಾರ: ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3 * 2x = 6x
- ಉದಾಹರಣೆ:
- ಭಾಗಾಕಾರ: ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ:
6x / 2 = 3x
- ಉದಾಹರಣೆ:
- ಘಾತೀಕರಣ: ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ:
x^2
- ಉದಾಹರಣೆ:
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮ (Order of Operations)
- ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication and Division, Addition and Subtraction) ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಿಂದ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ.
- Parentheses (ಆವರಣಗಳು): ಆವರಣಗಳ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
- Exponents (ಘಾತಗಳು): ಘಾತೀಕರಣವನ್ನು ನಂತರ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
- Multiplication and Division (ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ): ಇವುಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
- Addition and Subtraction (ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ): ಇವುಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು (Simplifying Expressions)
- ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು (Combining Like Terms): ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
3x + 2x + 5 + 2 = 5x + 7
- ಉದಾಹರಣೆ:
- ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ (Distributive Property): ಆವರಣಗಳ ಒಳಗೆ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ವಿತರಿಸಿ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
a(b + c) = ab + ac
- ಉದಾಹರಣೆ:
- ಅಪವರ್ತನ (Factoring): ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ:
x^2 + 2x = x(x + 2)
- ಉದಾಹರಣೆ:
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (Solving Equations)
- ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸತ್ಯವಾಗಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೌಲ್ಯ(ಗಳನ್ನು) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
- ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ (Isolate the Variable): ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.
- ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ ಆಸ್ತಿ (Addition/Subtraction Property): ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡುತ್ತದೆ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
x - 3 = 5ಆಗಿದ್ದರೆ,x - 3 + 3 = 5 + 3ಆಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದx = 8.
- ಉದಾಹರಣೆ:
- ಗುಣಾಕಾರ/ಭಾಗಾಕಾರ ಆಸ್ತಿ (Multiplication/Division Property): ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡುತ್ತದೆ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
2x = 6ಆಗಿದ್ದರೆ,2x / 2 = 6 / 2ಆಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದx = 3.
- ಉದಾಹರಣೆ:
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು (Linear Equations)
- ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತವು 1 ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.
- ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ (Standard Form):
ax + b = 0, ಇಲ್ಲಿaಮತ್ತುbಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತುxವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. - ಪರಿಹರಿಸುವುದು (Solving): ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
2x + 3 = 7- ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ:
2x = 4 - ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
x = 2
- ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ:
- ಉದಾಹರಣೆ:
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು (Quadratic Equations)
- ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತವು 2 ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.
- ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ (Standard Form):
ax^2 + bx + c = 0, ಇಲ್ಲಿa,b, ಮತ್ತುcಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತುxವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. - ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು (Methods to Solve):
- ಅಪವರ್ತನ (Factoring): ವರ್ಗ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ.
- ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ (Quadratic Formula): ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ. - ಚೌಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು (Completing the Square): ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕ ತ್ರಿಪದಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಿ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (Systems of Equations)
- ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ.
- ಪರಿಹರಿಸುವುದು (Solving): ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
- ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು (Methods to Solve):
- ಬದಲಿ (Substitution): ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ಆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ.
- ನಿರ್ಮೂಲನೆ (Elimination): ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅಥವಾ ಕಳೆಯಿರಿ.
- ಗ್ರಾಫಿಂಗ್ (Graphing): ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದು(ಗಳನ್ನು) ಹುಡುಕಿ.
ಅಸಮಾನತೆಗಳು (Inequalities)
- ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ.
- ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು (Inequality Symbols):
- <: ಕಡಿಮೆ
-
: ಹೆಚ್ಚು
- ≤: ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ
- ≥: ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮಾನ
- ≠: ಸಮಾನವಲ್ಲ
- ಪರಿಹರಿಸುವುದು (Solving): ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಂತೆಯೇ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆ.
- ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
-2x < 6ಅನ್ನು -2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗx > -3ಆಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯಗಳು (Functions)
- ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ.
- ಸಂಕೇತ (Notation):
f(x)ಇನ್‌ಪುಟ್xಗಾಗಿ ಫಂಕ್ಷನ್fನ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. - ಉದಾಹರಣೆ:
f(x) = 2x + 1 - ಡೊಮೇನ್ (Domain): ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ (x-ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಗುಂಪು.
- ರೇಂಜ್ (Range): ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ (f(x)-ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಗುಂಪು.
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು (Polynomials)
- ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
- ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ (General Form):
anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0, ಇಲ್ಲಿan,an-1, ...,a1,a0ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತುnಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. - ಡಿಗ್ರಿ (Degree): ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತ.
- ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
x^2 + 3x + 2,5x^3 - 2x + 1, ಮತ್ತು7ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.x^(1/2)ಅಥವಾ1/xಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲ.
ರಾಡಿಕಲ್ ಗಳು (Radicals)
- ರಾಡಿಕಲ್ ಗಳು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು, ಘನಮೂಲಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.
- ಸಂಕೇತ (Notation):
√xಎಂಬುದುxನ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.∛xಎಂಬುದುxನ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. - ರಾಡಿಕಲ್ ಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು (Simplifying Radicals):
- ರಾಡಿಕಂಡ್ ಅನ್ನು (ಮೂಲದೊಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯ) ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ.
- ಉದಾಹರಣೆ:
√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3
ಘಾತಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳು (Exponents and Powers)
- ಘಾತವು ತಳವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ತನ್ನಿಂದ ತಾನೇ ಗುಣಿಸಬೇಕೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
- ಸಂಕೇತ (Notation):
x^nಎಂದರೆxಅನ್ನುnಬಾರಿ ತನ್ನಿಂದ ತಾನೇ ಗುಣಿಸುವುದು.xಎಂಬುದು ತಳ, ಮತ್ತುnಎಂಬುದು ಘಾತ. - ಘಾತಗಳ ನಿಯಮಗಳು (Rules of Exponents):
- ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ (Product of Powers):
x^m * x^n = x^(m+n) - ಘಾತಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ (Quotient of Powers):
x^m / x^n = x^(m-n) - ಶಕ್ತಿಯ ಘಾತ (Power of a Power):
(x^m)^n = x^(m*n) - ಉತ್ಪನ್ನದ ಘಾತ (Power of a Product):
(xy)^n = x^n * y^n - ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಘಾತ (Power of a Quotient):
(x/y)^n = x^n / y^n - ಶೂನ್ಯ ಘಾತ (Zero Exponent):
x^0 = 1(x ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ) - ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತ (Negative Exponent):
x^(-n) = 1 / x^n
- ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ (Product of Powers):
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
