મેટ્રિક્સ પરિચય

પરિચય

• ગણિતના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં મેટ્રિક્સનું જ્ઞાન જરૂરી છે.
• મેટ્રિસીસ ગણિતના સૌથી શક્તિશાળી સાધનોમાંનું એક છે.
• આ ગાણિતિક સાધન સીધી પદ્ધતિઓની સરખામણીમાં આપણા કાર્યને સરળ બનાવે છે.
• મેટ્રિક્સની વિભાવનાનો વિકાસ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે સંકુચિત અને સરળ પદ્ધતિઓ મેળવવાના પ્રયાસનું પરિણામ છે.
• મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ માત્ર રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ગુણાંકના પ્રતિનિધિત્વ તરીકે જ થતો નથી, પરંતુ મેટ્રિક્સની ઉપયોગિતા તેનાથી પણ વધારે છે.
• મેટ્રિક્સ નોટેશન અને કામગીરીનો ઉપયોગ પર્સનલ કોમ્પ્યુટર માટે ઇલેક્ટ્રોનિક સ્પ્રેડશીટ પ્રોગ્રામમાં થાય છે, જેનો ઉપયોગ વ્યવસાય અને વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રો જેવા કે બજેટિંગ, સેલ્સ પ્રોજેક્શન, ખર્ચ અંદાજ, પ્રયોગ વગેરેના પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરવામાં થાય છે.
• ઘણા ભૌતિક કામગીરી જેમ કે મેગ્નિફિકેશન, રોટેશન અને પ્લેન દ્વારા રિફ્લેક્શનને ગાણિતિક રીતે મેટ્રિસીસ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.
• મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ ક્રિપ્ટોગ્રાફીમાં પણ થાય છે.
• આ ગાણિતિક સાધનનો ઉપયોગ માત્ર વિજ્ઞાનની કેટલીક શાખાઓમાં જ થતો નથી, પરંતુ જિનેટિક્સ, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર, આધુનિક મનોવિજ્ઞાન અને ઔદ્યોગિક વ્યવસ્થાપનમાં પણ થાય છે.
• આ પ્રકરણમાં, આપણે મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સ બીજગણિતની મૂળભૂત બાબતોથી પરિચિત થવામાં રસ દાખવીશું.

મેટ્રિક્સ

• ધારો કે આપણે રાધા પાસે 15 નોટબુક છે તે માહિતી વ્યક્ત કરવા ઈચ્છીએ છીએ.
• આપણે તેને [15] તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ, જેમાં [] ની અંદરનો નંબર એ નોટબુક્સની સંખ્યા છે જે રાધા પાસે છે.
• હવે, જો આપણે વ્યક્ત કરવું હોય કે રાધા પાસે 15 નોટબુક અને 6 પેન છે.
• આપણે તેને [15 6] તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ, જેમાં [] ની અંદરનો પહેલો નંબર એ નોટબુકની સંખ્યા છે, જ્યારે બીજો નંબર રાધા પાસે રહેલી તેની પેનની સંખ્યા છે.

મેટ્રિસીસ

• રાધા અને તેની બે મિત્રો ફૌઝિયા અને સિમરન પાસેની નોટબુક અને પેનની માહિતી આ પ્રમાણે છે:
• રાધા પાસે 15 નોટબુક અને 6 પેન છે,
• ફૌઝિયા પાસે 10 નોટબુક અને 2 પેન છે,
• સિમરન પાસે 13 નોટબુક અને 5 પેન છે.
• આ માહિતીને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં ગોઠવી શકાય છે:
• આ માહિતીને આ પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે

મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા

• મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓ અથવા કાર્યોની ગોઠવાયેલી લંબચોરસ શ્રેણી છે.
• સંખ્યાઓ અથવા કાર્યોને મેટ્રિક્સના ઘટકો કહેવામાં આવે છે.
• મેટ્રિક્સને કેપિટલ અક્ષરો દ્વારા દર્શાવાય છે.
• અહીં મેટ્રિક્સના કેટલાક ઉદાહરણો આપ્યા છે:
• A, B અને C જુદી જુદી કિંમતોવાળી મેટ્રિસિસના ઉદાહરણો છે.
• ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં, તત્વોની આડી રેખાઓ એ મેટ્રિક્સની હરોળ છે અને તત્વોની ઊભી રેખાઓ એ મેટ્રિક્સના સ્તંભ છે.
• આમ A માં 3 હરોળ અને 2 સ્તંભ છે, B માં 3 હરોળ અને 3 સ્તંભ છે જ્યારે C માં 2 હરોળ અને 3 સ્તંભ છે.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ

• m હરોળ અને n સ્તંભ ધરાવતા મેટ્રિક્સને m × n ક્રમનો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.
• ઉપરના મેટ્રિક્સના ઉદાહરણોમાં મેટ્રિક્સ A 3 × 2 છે, મેટ્રિક્સ B 3 × 3 છે અને મેટ્રિક્સ C 2 × 3 છે.
• આપણે એ પણ નોંધીએ છીએ કે A પાસે 3 × 2 = 6 ઘટકો, B પાસે 9 ઘટકો અને C પાસે 6 ઘટકો છે.
• સામાન્ય રીતે m × n મેટ્રિક્સ પાસે નીચેની લંબચોરસ શ્રેણી હોય છે:
• A = [aᵢⱼ]ₘₓₙ, જ્યાં 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n અને i, j ∈ N
• આમ iᵗʰ હરોળમાં ai1, ai2, ai3,..., ain તત્વો હોય છે, જ્યારે jᵗʰ સ્તંભમાં a1j, a2j, a3j,..., amj તત્વો હોય છે.
• સામાન્ય રીતે aᵢⱼ એ iᵗʰ હરોળ અને jᵗʰ સ્તંભમાં રહેલું તત્વ છે.
• તેને A ના (i, j)ᵗʰ ઘટક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
• m×n મેટ્રિક્સમાં તત્વોની સંખ્યા mn હશે.

મેટ્રિસીસના પ્રકાર

• આ વિભાગમાં, આપણે મેટ્રિસીસના જુદા જુદા પ્રકારોની ચર્ચા કરીશું.
• સ્તંભ મેટ્રિક્સ: જો મેટ્રિકસમાં માત્ર એક સ્તંભ હોય તો તે સ્તંભ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે.
• હરોળ મેટ્રિક્સ: જો મેટ્રિકસમાં માત્ર એક હરોળ હોય તો તેને હરોળ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે.
• ચોરસ મેટ્રિક્સ: જે મેટ્રિક્સમાં હરોળની સંખ્યા સ્તંભની સંખ્યા જેટલી હોય તો તેને ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે.
• આમ m = n હોય તો m × n મેટ્રિક્સને ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે અને તેને 'n' ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
• ડાયગોનલ: જો A = [aᵢⱼ] એ n ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ હોય, તો ઘટકો (એન્ટ્રીઓ) a₁₁, a₂₂,..., ann મેટ્રિક્સ A ના ડાયગોનલની રચના કરે છે.
  • આથી જો A = ⎡1 -3 1⎤ ⎣3 5 6⎦
• તો A ના ડાયગોનલના ઘટકો 1, 4, 6 છે.

ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ

• એક ચોરસ મેટ્રિક્સ B = [bᵢⱼ]ₘₓₘ ને ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો તેના બધા નોન-ડાયગોનલ તત્વો શૂન્ય હોય, એટલે કે મેટ્રિક્સ B = [bᵢⱼ]ₘₓₘ ને ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો bᵢⱼ = 0, જ્યારે i ≠ j હોય.

સ્કેલર મેટ્રિક્સ

• એક ડાયગોનલ મેટ્રિક્સને સ્કેલર મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો તેના ડાયગોનલ તત્વો સમાન હોય, એટલે કે, એક ચોરસ મેટ્રિક્સ B = [bᵢⱼ]nxn ને સ્કેલર મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો bᵢⱼ = 0, જ્યારે i ≠ j હોય, bᵢⱼ = k, જ્યારે i = j હોય, કેટલાક અચળ k માટે.

આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ

• એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં ડાયગોનલમાં બધા તત્વો 1 હોય અને બાકીના બધા શૂન્ય હોય તેને આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

શૂન્ય મેટ્રિક્સ

• જો મેટ્રિક્સના બધા તત્વો શૂન્ય હોય તો તેને શૂન્ય મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

મેટ્રિસીસની સમાનતા

• બે મેટ્રિસીસ A = [aᵢⱼ] અને B = [bᵢⱼ] સમાન હોવાનું કહેવાય છે જો બે શરતો પુરી થાય:
• (i) તેઓ સમાન ક્રમના હોય.
• (ii) A નો દરેક તત્વ B ના અનુરૂપ તત્વ જેટલો હોય, એટલે કે તમામ i અને j માટે aᵢⱼ = bᵢⱼ.

મેટ્રિસીસ પરની કામગીરી

• આ વિભાગમાં, આપણે મેટ્રિસીસ પર કેટલીક કામગીરીઓ રજૂ કરીશું, એટલે કે સરવાળો, સ્કેલર દ્વારા મેટ્રિક્સનું ગુણાકાર, તફાવત અને ગુણાકાર.

સરવાળા મેટ્રિસીસ

• ધારો કે ફાતિમા પાસે સ્થળ A અને B પર બે ફેક્ટરીઓ છે. દરેક ફેક્ટરી છોકરાઓ અને છોકરીઓ માટે ત્રણ અલગ અલગ કિંમત શ્રેણીઓમાં સ્પોર્ટ શૂઝનું ઉત્પાદન કરે છે જેને 1, 2 અને 3 તરીકે લેબલ કરવામાં આવે છે. દરેક ફેક્ટરી દ્વારા ઉત્પાદિત જથ્થાઓ નીચે આપેલા મેટ્રિસીસ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે:
• ધારો કે ફાતિમા દરેક કિંમત શ્રેણીમાં સ્પોર્ટ શૂઝના કુલ ઉત્પાદન જાણવા માગે છે. તો કુલ ઉત્પાદન આ પ્રમાણે છે:
• કેટેગરી 1 માં: છોકરાઓ માટે (80 + 90), છોકરીઓ માટે (60 + 50)
• કેટેગરી 2 માં: છોકરાઓ માટે (75 + 70), છોકરીઓ માટે (65 + 55)
• કેટેગરી 3 માં: છોકરાઓ માટે (90 + 75), છોકરીઓ માટે (85 + 75)
• આને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં આ પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે.