אלגברה בוליאנית: ביטויים, משוואות ומפות קרנו

• הרצאה 2 בנושא אלגברה בוליאנית עוסקת בביטויים ובמשוואות בוליאניות, פשט ביטויים, תיאור מערכות אמיתיות ותרגומי אלגברה בוליאנית.
• כמו כן למידת מעבר מטבלאות למשוואות ושימוש במפות קרנו.

מבוא לאלגברה

• אלגברה בוליאנית מוגדרת בנוסף לאלגברה אלמנטרית ואלגברה לינארית.

אלגברה בוליאנית

• ג'ורג' בול הציג את האלגברה הבוליאנית בשנים 1815–1864.
• מוגדרת קבוצה עם שני סוגי איברים:
  • ניתן לסמן כTrue/False ,שחור/לבן, גבוה/נמוך, כן/לא.
  • ניתן לייצג כ-0 ו-1, אך אלו רק סמלים ולא מספרים אריתמטיים.
• איבר בוליאני (משתנה) יכול להיות 0 או 1.

משתנים בוליאניים

• משתנה "רגיל" יכול לקבל ערכים רבים, לדוגמה X=3.
• משתנה בוליאני יכול לקבל רק שני ערכים אפשריים: 0 או 1.

אקסיומות בוליאניות

• קיימות 3 פעולות בסיסיות על איברי הקבוצה: AND, NOT, OR.
• טבלת אמת לפעולת AND (וגם):
  • X AND Y שווה 1 רק אם X ו-Y שווים 1.
• טבלת אמת לפעולת OR (או):
  • X OR Y שווה 1 אם X או Y או שניהם שווים 1.
• טבלת אמת לפעולת NOT (לא):
  • X' (NOT X) שווה 1 אם X שווה 0, ולהיפך.

פעולות בסיסיות

• קיימות מספר דרכים לסמן את הפעולות AND, OR, NOT, עם סמלים שונים.

אקסיומות בוליאניות - דואליות ושמות

• A1: B = 0 אם B ≠ 1 (שדה בינארי)
• A1': B = 1 אם B ≠ 0
• A2: 0 = 1 (NOT)
• A2': T = 0
• A3: 0•0 = 0 (AND/OR)
• A3': 1 + 1 = 1
• A4: 1•1 = 1 (AND/OR)
• A4': 0 + 0 = 0
• A5: 0•1 = 1•0 = 0 (AND/OR)
• A5': 1 + 0 = 0 + 1 = 1
• B הוא משתנה בוליאני שיכול להיות 0 או 1.

משפטים בוליאניים

• T1: B•1 = B (זהות)
• T1': B + 0 = B
• T2: B•0 = 0 (איבר אפס)
• T2': B + 1 = 1
• T3: B•B = B (אידמפוטנטיות)
• T3': B + B = B
• T4: B (קו מעל B) = B (אינבולוציה)
• T5: B•B (קו מעל B) = 0 (משלימים)
• T5': B + B = 1
• ערך בוליאני כפול 1 נשאר ללא שינוי.

הוכחת משפטים

• ניתן להוכיח את המשפטים הבוליאניים באמצעות טבלאות אמת.
• טבלאות אמת מציגות את כל האפשרויות עבור המשתנים והתוצאות שלהן.

סדר פעולות

• סדר הפעולות הוא:
  • סוגריים ()
  • NOT
  • AND *
  • OR +
• לדוגמה A * B + C = (A * B) + C.
• 1*0+1 = 1

משפטים בוליאניים של מספר משתנים

• T6: B•C = C•B (חילופיות)
• T6': B + C = C + B
• T7: (B•C)•D = B•(C•D) (אסוציאטיביות)
• T7': (B+C) + D = B + (C+D)
• T8: (B•C) + B•D = B•(C + D) (פילוג)
• T8': (B+C)•(B+D) = B + (C•D)
• T9: B•(B+C) = B (כיסוי)
• T9': B + (B•C) = B
• T10: (B•C) + (B•C) = B (צירוף)
• T10': (B+C)•(B+C) = B
• T11: (B•C) + (B•D) + (C•D) = B•C + B•D (קונצנזוס)
• T11': (B+C)•(B+D)•(C + D) =(B+C)•(B+D)
• T12: משפט דה מורגן
• T12': (Bo + B₁ + B₂ …) = (B₀ • B₁ • B₂ ...)
• ניתן להוכיח משפטים אלה באמצעות "אינדוקציה מושלמת".
• A*A = A
• A+ A' = 1
• A + AB = A

דוגמה – משפט T8

• (B * C) + (B * D) = B * (C + D) מומחש עם טבלת אמת עבור כל האפשרויות של B, C ו-D.

תרגיל – להוכיח משפט T9'

• B + (B * C) = B מוכח עם טבלת אמת.

ביטויים בוליאניים

• ביטוי בוליאני הוא שילוב של משתנים בוליאניים ופעולות.
• דוגמה: A + (B * C)
• תרגיל: פשט את הביטוי A(AB + ABC).
  • A(AB + ABC) = A(AB(1 + C)) = A(AB(1)) = A(AB) = (AA)B = AB.

תרגיל

• יש לפשט את הביטוי: A'B'C' + AB'C' + ABC.
  • A'B'C' + AB'C' + ABC = A'B'C' + AB'C' + AB'C' + ABC (= B'C'(A' + A) + AB'(C' + C) = B'C' + AB'.
• צור טבלת אמת למשוואה.

משפט דה מורגן

• AB (קו מעל) = A' + B'.
• (A + B)’ = A’• B’
• ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה שלמה.

משוואות בוליאניות

• משוואות בוליאניות הן הגדרה של משתנה בוליאני כפונקציה של משתנים בוליאניים אחרים.
• דוגמה: .Y = A'B + AB
• פתרון משוואה בוליאנית מערב הצבה של ערכי המשתנים כדי למצוא את ערך ה-Y.

טבלאות אמת

• ניתן לתאר משוואות בוליאניות באמצעות טבלה.
• דוגמה: Y = A'B + AB.
• טבלאות אמת לא יכולות לתאר אלגברה לא בוליאנית.

תרגיל

• הגדרת המושגים הבאים: אלגברה בוליאנית, אקסיומות של אלגברה בוליאנית, ביטוי בוליאני, פישוט ביטויים, משוואה בוליאנית, טבלת אמת.
• הסבר 2 שיטות לתיאור משוואה בוליאנית.

תיאור מערכות בעזרת משוואות לוגיות

• דוגמה: מעגל חשמלי עם שני מתגים (A ו-B) ונורה (L).
• אם המתגים סגורים, הנורה דולקת (L=1). אחרת, הנורה כבויה (L=0).
• צריך לרשום טבלת אמת של המערכת.

פתרון

• יצירת טבלת אמת עבור המעגל החשמלי כך שהנורה דולקת רק כאשר S1 ו-S2 סגורים.
• רישום משוואה לוגית עבור המערכת.
• SA * SB = L

משפט דה מורגן (מבט מערכת)

• אם Y = AB אז 'Y = A' + B'.
• הנורה דולקת אם A ו-B סגורים, וכבויה אם A או B פתוחים.
• A + B = A • B (קו מעל).
• הנורה דולקת אם A או B סגורים, וכבויה אם A ו-B פתוחים.

מערכת לכיבוי אש

• תיאור מצבי מערכת לכיבוי אש באמצעות משתנים בוליאניים.
• A0: גלאי עשן גילה עשן (A0 = 1)
• A1: גלאי חום גילה חום (A1 = 1)
• A2: הפעלה ידנית (A2 = 1)
• A3: מערכת דרוכה (A3 = 1)
• המערכת מופעלת (Y = 1) אם היא דרוכה ויש חום או עשן, או בהדלקה ידנית: -y = A3 *(Ao+A) +A₂
• צור טבלת אמת שתתאים למערכת.

דוגמה נוספת

• לכספת חמישה מנעולים שנפתחת אם כל המפתחות קיימים.
• חמישה אחראים מחזיקים במפתחות: אברהם, בינה, ג'רי, דליה והדר.
• לאברהם יש את המפתחות למנעולי או ,לבינה יש את המפתחות למנעולי y , ג'רי למנעולי ש ו , וכן הלאה.
• חישוב המספר המינימלי של אנשים לפתיחת הכספת.
• בדיקה האם יש אחראי בלעדיו אי אפשר לפתוח את הכספת.

פתרון בעיות לוגיות

• תרגום הבעיה למשתנים בוליאניים.
• רשוּם משוואה לוגית.
• פשט את המשוואה.

פתרון בעיות לוגיות

• תרגום הבעיה למשתנים בוליאניים (כגון הגדרת משתנים v,w,x,y,z כמשתניפ בוליאניים המציינים אם "מפתח v נמצא").
• רישום את המשוואה הלוגית (למשל f = vwxyz עבור "פונקצית פתיחת הכספת").
• פישוט את המשוואה (למשל v = a + b + e פירושו המפתח v נמצא אם אברהם ובינה או הדר נמצאים).

פישוט המשוואה

• פישוט המשוואה המתקבלת כדי לקבל את הקבוצה המינימלית של אנשים לפתיחת הכספת: c כלומר,כספת נפתחת אם מפתח C דרוש ועוד קבוצה מבין הצירופים הבאים:(جيري) .de או bd , ae ,ad

סיכום

• הנושא כולל אלגברה בוליאנית, ביטויים במאנים ,משוואות במאנים ,טבלאות אמת ,ופתרון בעיות.

טרמינולוגיה באלגברה בוליאנית

• נניח Y = F(a,b,c) = a'bc + abc' + ab + c.
• משתנה: מייצג ערך (0 או 1), לדוגמה a, b, c.
• מילולי (Literal): מופע של משתנה בצורה אמיתית או משלימה, לדוגמה a', b, c.
• מכפלה (Product term): מכפלה של מילוליים, לדוגמה a'bc, abc', ab, c.
• Minterm: איבר מכפלה הכולל את כל משתני הקלט, לדוגמה ABC, A'BC; AB אינו minterm.

תרגיל

• עבור המשוואה:
  • מצא את כל המשתנים.
  • כמה מילוליים יש?
  • מצא את כל איברי המכפלה.
  • מצא את כל המונחים. :Y = a + a'b + acd + c' + abcd

מגדיר יותר

• מוצר סכום:(מוצר סכום(סכום של מכפלות) Expression כתוב כ-OR של איברי מוצר בלבדac + bc + d'a'bc + abc' + ab + c:is + d's + d's.רשימה.
• (ג+ב(ג+ב'אינו מילולי.
• תרגיל:מילולים?רשימה של
• מחוספסים) expressionה כולל יותר של

המרת טבלת אמת למשוואה:

• חלק 1 - טופס סכום-של-מוצרים (SOP)
• ניתן לרשום את כל המשוואות הבוליאניות בטופס SOP.
• לכל שורה בטבלת אמת יש minterm.
• מכפלה (AND) של כל המילוליים.
• כל מיניטרם הוא ה-TRUE עבור ה-Row (האחד ויחיד הזה).
• הפונקציה נוצרת על ידי קבלת מינימום משתנים שעבורם הפלט הוא TRUE.
• לפיכך, Y הוא סכום (OR) של מכפלות (מונחי AND).
• דוגמה:
  • A B Y minterm
• 0 0 0 A'B
• 0 1 1 A'B
• 1 0 0 AB'
• 1 1 1 AB

דוגמה לפונקציה בוליאנית

• Y = F(A, B) = AB + A'B.

דוגמה

• כתיבת משוואה לטבלת האמת:
  • A B C Y
  • 0 0 0 0
  • 0 0 1 0
  • 0 1 0 1
  • 0 1 1 0
  • 1 0 0 0
  • 1 0 1 1
  • 1 1 0 0
  • 1 1 1 1
• Y = Σ(2,5,7).

הגדרות נוספות

• איבר סכום (סכום בשימוש).
• SUM של מילוליים.
• (ג+ב+צ')סכום מוסיפי:(סכום של סך סומים((POS).
• הדג נכון אמת ומשום לבד (א'ד+צ').

דוגמה של מציאות קיימת

• Y = א(יצ
• וא(צד ואינה(א'ד+יא(ץ)+ץ
• נכונה,ללא(א(צ+צ''ם מניקי.

המוצרים קטנים כלום ורמוץ

גוגמה חבולה של עשר אחינו

המרת טבלת אמת למשוואה:

• חלק 2 - מוצרים של טופס סכום (POS)
• ניתן לרשום את כל המשוואות הבוליאניות בטופס POS.
• לכל שורה בטבלת אמת יש maxterm.
• Maxterm הוא סכום (או) של מילוליים.
• כל maxterm הוא FALSE עבור שורה (וא רק בשורה זו).
• הפונקציה מעצבת על ידי צירוף הMAXTERMS וששעבורם הפלט הוא FALSE.
• דוגמה לפונקציה בוליאנית:
  • A B Y maxterm
  • 0 0 0 A + B
  • 0 1 1 A + B
  • 1 0 0 A' + B
  • 1 1 1 A' + B' -Y = F(A, B) = (A + B)(A' + B) = ∏(0,2)

דוגמה:

• סוג כלבים ויליח בטנזמ'ג
• יולע גודזמ"ג

אש

• תאר את המערכות הבאות באופן משוואות SOP ו-POS.
• מערכת ממטרות אש צריכה לרסס מים (f = 1) אם חום גבוה מורגש (h = 1) והמערכת אינה מושבתת (D = 0).

סיכום

• יש להמיר ביטויים טבלאות למשוואות כהכנה לקב"ס.
  • A B C Y Standard SOP Standard POS
• 0 0 0 1
• 0 0 1 1
• 0 1 0 0
• 0 1 1 0
• 1 0 0 1
• 1 0 1 0
• 1 1 0 1
• 1 1 1 1
• Y = (A+B'+C)(A+B'+C')(A'+B+C') Y = A'B'C' + A'B'C + ABC' + ABC + AB'C'

תרגום לוגיקה למשוואה

• אתה הולך לקפיטריה לארוחת צהריים: -לא תאכל צהרייפ (נ). -אם זה לא הציניום או אם הם בילאט שינויים.
  • כתוב טבלת אמת לקביעת צהריים .דל:א(

נוסחת צליפה وפוס

• פוס וםלמצבי תדינות טבת
• טטילופ וסווק נזרוץ אתחאלשס יאירציפ יל ףונס סוולוט
• לוכאלק לדינכד זונט
• טיוכ ־ יאוטע