夹逼定理与连续性极限

夹逼定理

• 定义: 夹逼定理（Squeeze Theorem）用于确定一个函数的极限。当一个函数被两个其他函数夹住，且这两个函数在某一点的极限相同，则被夹住的函数在该点的极限也相同。
• 公式表示: 如果 ( f(x) \leq g(x) \leq h(x) ) 且 ( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L )，则 ( \lim_{x \to a} g(x) = L )。
• 应用场景:
  • 常用于处理难以直接计算极限的情况。
  • 适用于处理如三角函数、绝对值等函数的极限。

连续性与极限

• 连续性定义: 函数 ( f(x) ) 在点 ( a ) 连续，当且仅当：
  1. ( f(a) ) 存在。
  2. ( \lim_{x \to a} f(x) ) 存在。
  3. ( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) )。
• 性质:
  • 如果函数在某点连续，则可以直接替换极限值。
  • 连续函数在闭区间上必有最大值与最小值（极值定理）。
• 极限与连续的关系:
  • 连续性是极限存在的一个条件，但不是充分条件。
  • 非连续点的极限可能存在，但不等于函数值。

极限运算法则

• 基本运算法则:
  1. 和法则: ( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) )。
  2. 差法则: ( \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) )。
  3. 积法则: ( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) )。
  4. 商法则: 若 ( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 )，则 ( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} )。
• 复合函数极限: ( \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) )，前提是 ( g(x) \to a ) 时 ( f ) 在 ( a ) 点连续。
• 极限的其它性质:
  • 若 ( c ) 是常数，则 ( \lim_{x \to a} c = c )。
  • 若 ( n ) 是正整数，则 ( \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n )。

夹逼定理

• 夹逼定理用于分析函数极限，确认被夹住的函数在某点的极限等于两侧函数的极限。
• 公式：若 ( f(x) \leq g(x) \leq h(x) ) 且 ( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L )，则 ( \lim_{x \to a} g(x) = L )。
• 常在难以直接求解极限的情况下使用，如三角函数、绝对值等。

连续性与极限

• 函数 ( f(x) ) 在点 ( a ) 连续的条件：
  • ( f(a) ) 必须存在。
  • ( \lim_{x \to a} f(x) ) 必须存在。
  • ( \lim_{x \to a} f(x) ) 必须等于 ( f(a) )。
• 连续函数可以直接代入极限值。
• 极值定理：连续函数在闭区间上必存在最大值和最小值。
• 连续性是极限存在的一个必要条件，但并非充分条件，非连续点的极限可能存在但不等于函数的值。

极限运算法则

• 和法则：( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) )。
• 差法则：( \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) )。
• 积法则：( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) )。
• 商法则：若 ( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 )，则 ( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} )。
• 复合函数的极限：( \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) )，需要 ( f ) 在 ( a ) 点连续。
• 常数极限：若 ( c ) 是常数，则 ( \lim_{x \to a} c = c )。
• 指数法则：若 ( n ) 是正整数，则 ( \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n )。

因特网的基本构成

• 因特网连接数十亿计算设备，称为主机或端系统。
• 端系统通过通信链路和分组交换机相连，分组交换机包括路由器和链路层交换机。
• 数据在发送端系统通过分段和加上首部字节形成分组，分组交换机负责转发分组。

访问因特网的方式

• 用户通过因特网服务提供商（ISP）接入因特网，ISP提供网络连接和接入服务。
• ISP内部由多台分组交换机和通信链路组成，必须互联以实现端系统的连接。

网络边缘与接入技术

• 端系统包括客户（如桌面计算机）和服务器。
• 家庭接入方式包括DSL、电缆、光纤到户（FTTH）、拨号和卫星等。
• 企业接入通常通过以太网和WiFi实现，WiFi基于IEEE 802.11标准。

物理媒体

• 物理媒体分类为导引型（光缆、双绞线）和非导引型（无线电波）。
• 不同的无线接入技术如3G和LTE依赖于基站传输数据。

核心网络

• 数据移动方式主要有分组交换和电路交换，分组交换优于电路交换。
• 在分组交换中，长报文分为小分组，通过存储转发机制进行传输，时延计算为d=N*(L/R)。

时延、丢包与吞吐量

• 分组交换中的节点总时延包括处理时延、排队时延、传输时延与传播时延。
• 排队时延受流量强度影响，流量强度La/R应保持小于1，以避免队列无限增长。

协议与分布式应用

• 通信实体必须遵循相同的协议以实现有效通信，协议定义报文的格式、顺序及相应动作。

网络的网络结构

• 现代因特网是多个层次的网络结构，由接入ISP、区域ISP和一级ISP组成，形成复杂的网络层次。
• 主要内容提供商也建造自己的网络，与较低层ISP直接相连，形成多宿和对等连接。

总结

• 了解网络的构成、访问方式和数据传输方法对掌握因特网的工作机制至关重要。

因特网简介

• 因特网是全球数十亿计算设备（称为主机或端系统）互联的网络。
• 端系统通过通信链路和分组交换机进行连接，形成数据传输的路径。
• 分组的概念：数据被分段处理，每个分段加上首部字节。
• 分组交换机主要包括路由器和链路层交换机。
• 端系统通过因特网服务提供商（ISP）接入因特网。
• IP协议规定了在路由器和端系统之间分组的格式和传输方式。

服务和协议

• 应用程序通过多个端系统的数据交换，实现分布式应用程序。
• 套接字接口：定义了程序如何请求因特网基础设施交付数据至特定程序。
• 协议是通信实体之间交换报文的规范，包含报文格式和发送/接收动作的定义。

网络边缘

• 端系统包括桌面计算机、服务器和移动计算机。
• 接入网是物理连接端系统到边缘路由器的网络。
• 边缘路由器是端系统通信路径的首个路由器。
• 家庭接入方式包括DSL、电缆、光纤到户（FTTH）等。
• 企业接入主要通过以太网和WiFi实现，WiFi基于IEEE802.11标准。

物理媒体

• 导引型媒体：包括光缆、双绞铜线和同轴电缆，电波沿实体媒体传播。
• 非导引型媒体：例如无线LAN和数字卫星频道，电波在空气中传播。
• 无屏蔽双绞铜线的传输速度受到线的粗细和传输距离影响。
• 无线电信道分为个人设备短距离、局域无线电信道和蜂窝接入技术。

网络核心

• 数据在网络核心通过分组交换和电路交换进行移动，分组交换性能优于电路交换。
• 分组交换：数据被划分为小分组以提高传输效率，采用存储转发机制。
• 端到端的时延计算公式为：d=N*(L/R)，N为链路数量，L为分组长度，R为链路速率。
• 每个端系统拥有唯一的IP地址，路由器使用转发表和路由选择协议进行数据传递。

电路交换

• 电路交换在通信会话期间预留资源，不像分组交换中的资源不予保留。
• 在发送信息前，网络需建立发送方与接收方的连接。
• 电路可通过频分复用（FDM）或时分复用（TDM）实现，FDM分配频段，TDM分配时间帧。

本测试涵盖夹逼定理的定义、公式及应用场景，同时介绍了连续性与极限的基本概念和条件。从中你将深入了解这些重要概念如何相互关联。