유리수와 순환소수 완벽 정리

• 유리수와 순환소수

유리수

• 유리수는 분수 a/b (단, a, b는 정수, b ≠ 0)로 나타낼 수 있는 수이다.
• 모든 정수, 분수, 그리고 소수는 유리수에 속한다.
• 양의 유리수는 0보다 큰 유리수이고, 음의 유리수는 0보다 작은 유리수이다.
• 정수는 유리수이다. (예: 2 = 2/1)
• 유리수의 분류
  • 정수: 양의 정수(자연수), 0, 음의 정수
  • 정수가 아닌 유리수: 분수, 소수 (유한소수, 순환소수)

소수

• 소수는 소수점 아래에 숫자가 있는 수이다.
• 소수의 분류
  • 유한소수: 소수점 아래의 숫자가 유한개인 소수 (예: 0.25)
  • 무한소수: 소수점 아래의 숫자가 무한히 계속되는 소수 (예: 3.141592...)
    • 순환소수: 무한소수 중에서 소수점 아래의 숫자가 특정 패턴으로 반복되는 소수 (예: 0.333...)
    • 순환하지 않는 무한소수: 무한소수 중에서 순환하지 않는 소수 (예: 원주율 π)

유한소수와 분수

• 분수를 소수로 나타내기
  • 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있으면 유한소수로 나타낼 수 있다.
  • 분모를 소인수분해 했을 때 2와 5만 있으면 유한소수로 나타낼 수 있다.
• 유한소수를 분수로 나타내기
  • 유한소수는 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 있다. (예: 0.25 = 25/100 = 1/4)

순환소수

• 순환소수는 소수점 아래의 숫자가 일정한 패턴으로 반복되는 무한소수이다.
• 순환마디: 순환소수에서 반복되는 숫자들의 묶음
• 순환소수의 표현
  • 순환마디의 시작과 끝에 점을 찍어 나타낸다. (예: 0.333... = 0.3, 1.234234... = 1.234)
• 순환소수를 분수로 나타내기
  • 순환소수를 x로 둔다.
  • 소수점을 순환마디가 시작되기 직전과 바로 뒤로 옮겨 두 식을 만든다 (10x, 100x 등).
  • 두 식을 빼서 순환마디 부분을 없앤다.
  • x에 대해 푼다.
  • 예시: 0.3 을 분수로 나타내기
    • x = 0.333...
    • 10x = 3.333...
    • 10x - x = 3.333... - 0.333...
    • 9x = 3
    • x = 3/9 = 1/3
  • 예시: 1.234 을 분수로 나타내기
    • x = 1.234234...
    • 10x = 12.34234...
    • 10000x = 12342.34234...
    • 10000x - 10x = 12342.34234... - 12.34234...
    • 9990x = 12330
    • x = 12330/9990 = 411/333 = 137/111

순환소수와 유리수

• 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다.
• 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수가 된다.
• 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다. (예: π)

참고

• 분모의 소인수가 2나 5 이외의 수를 가지면 순환소수로 표현된다.
• 모든 유한소수는 순환소수로 표현할 수 있다. (예: 0.5 = 0.4999...)