שקילויות להפיכות של מטריצה
51 Questions
1 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

כפל במטריצה אלמנטרית מימין

פעולת עמודה

כפל במטריצה אלמנטרית משמאל

פעולת שורה

הגדרה של מטריצה הפיכה

עבור מטריצה ריבועית אם קיימת מטריצה ריבועית נוספת מאותו הסדר המקיימות $AB=BA=I$ אז המטריצה הפיכה וגם נסמן $B=A^{-1}$

גרעין של מטריצה הוא תת מרחב של

<p>מרחב העמודות</p> Signup and view all the answers

אם $det(A) \neq 0$

<p>אז המטריצה הפיכה</p> Signup and view all the answers

אם מטריצה מתקבל מכפל של מטריצות הפיכות

<p>היא גם הפיכה</p> Signup and view all the answers

אילו דברים שחלוף לא משנה?

<p>דרגה, דטרמיננטה, פולינום אופייני, ערכים עצמיים</p> Signup and view all the answers

מה ההגדרה של מינור בסיסי

<p>אם הדרגה של המטריצה היא r אז קיים מינור בגדול $r \times r$ הפיך כל מינור גדול יותר יהיה לא הפיך</p> Signup and view all the answers

מטריצת מעבר מבסיס $B$ לבסיס $E$

<p>$[I]^B_E$</p> Signup and view all the answers

$A\in M_n(F)$ המקיימת $rkA\neq n$

<p>לא הפיכה כי הדרגה שלה לא מלאה</p> Signup and view all the answers

מה ההגדרה של חבורה?

<p>קבוצה עם פעולה בינארית המקיימת $(a<em>b)<em>c=a</em>(b</em>c)$ קיום איבר נגדי וחילופיות איתו</p> Signup and view all the answers

$[T]^B_C =?$

<p>$[I\circ T\circ I]^B_C = [I]^E_C [T]^E_E [I]^B_E$</p> Signup and view all the answers

אילו תכונות מקיימות קבוצת הקווינטריונים?

<p>כל תכונות השדה למעט חוק החילוף</p> Signup and view all the answers

$\mathbb{Z} \minusset p}$ עם פעולות חיבור וכפל $mod p$ הוא

<p>שדה</p> Signup and view all the answers

חיבור מטריצות

<p>מתבצע רכיב רכיב</p> Signup and view all the answers

עבור מטריצה $AB$ העמודות הן צ״ל של?

<p>כצירוף לינארי של עמודות $A$ עם מקדמי שורות $B$</p> Signup and view all the answers

האם מטריצה משולשת היא תמיד מטריצה שערה?

<p>False</p> Signup and view all the answers

מהו הפולינום המינימלי של T?

<p>המינימלי של T הוא mT(x), פולינום מתוקן ממעלה מינימלית ש-T מאפסת.</p> Signup and view all the answers

מהי המסקנה אם A, C הן זוג מטריצות דומות?

<p>mA = mC</p> Signup and view all the answers

אם £f(T) = 0£, אז __________.

<p>mT | f</p> Signup and view all the answers

מהו פולינום ממעלה n מעל שדה F?

<p>סכום של חזקות של משתנה x.</p> Signup and view all the answers

מהו פולינום האפס?

<p>O(x) עם כל המקדמים שווים ל-0.</p> Signup and view all the answers

האם כל פולינום ממעלה n יכול להיות מחולק לפולינום ממעלה n-1?

<p>True</p> Signup and view all the answers

מהו GCD בין שני פולינומים?

<p>מחלק משותף הגדול ביותר.</p> Signup and view all the answers

מהם שני התנאים שמגדירים חוג קומוטטיבי עם יחידה?

<p>סגור לחיבור ולכפל.</p> Signup and view all the answers

תחום שלמות הוא חוג שבו אין מחלקי 0.

<p>True</p> Signup and view all the answers

מהי הגדרה של אידיאל בתחום שלמות?

<p>תת-קבוצה סגורה לחיבור וכפל באיברי R.</p> Signup and view all the answers

האם כל ראשוני הוא אי-פריק?

<p>True</p> Signup and view all the answers

מהו המשפט היסודי של האלגברה?

<p>המשפט קובע כי השדה C סגור אלגברית.</p> Signup and view all the answers

האם כל פולינום הוא אי-פריק אם הוא ____?

<p>ראשוני</p> Signup and view all the answers

מהם הגורמים האי-פריקים ב-R[x]?

<p>גורמים אי-פריקים הם פולינומים שלא יכולים להתפרק לפולינומים עם מקדמים מתוך R.</p> Signup and view all the answers

פולינום $x^2 + 1.26$ הוא פולינום אי-פריק מעל R.

<p>True</p> Signup and view all the answers

אם $f(x) ∈ R[x]$ פולינום עם שורש $λ ∈ C$, מה הדבר שנובע מכך?

<p>$λ$ הוא גם שורש של $f(x)$.</p> Signup and view all the answers

אם $λ ∈ C \ R$ הוא שורש של $f(x) ∈ R[x]$, אז יש לחפש את המחלק הריבועי של $f(x)$ עם __________ .

<p>$x^2 - 2Re(λ)x + |λ|^2$</p> Signup and view all the answers

מה המסמך קובע על הפולינומים האי-פריקים מעל R?

<p>הם או פולינומים ליניאריים או פולינומים ריבועיים עם דיסקרימיננטה שלילית.</p> Signup and view all the answers

כל פולינום ממעלה גבוהה יותר יש שורש מרוכב.

<p>True</p> Signup and view all the answers

מה ההגדרה של וקטור עצמי?

<p>וקטור שלא משתנה עם ההכפלה במטריצה, כלומר $T v = λv$ עבור ערך עצמי $λ$.</p> Signup and view all the answers

התאם סוגים של פולינומים עם המאפיינים שלהם:

<p>פולינום ליניארי = ניתן לפריקה לפולינום ממעלה 1 פולינום ריבועי עם דיסקרימיננטה חיובית = יש לו שני שורשים ממשיים שונים פולינום ריבועי עם דיסקרימיננטה שלילית = אין לו שורשים ממשיים פולינום אי-פריק = לא ניתן לפרוק אותו לפולינומים אחרים</p> Signup and view all the answers

מהו הפולינום האופייני של מטריצה A?

<p>fA = det(xIn - A)</p> Signup and view all the answers

כפל מטריצות הופך להיות כפל איברי האלכסון.

<p>True</p> Signup and view all the answers

מהו המשפט קיילי-המילטון?

<p>אם T : V → V הוא ליניארי עם dim V סופי, אז fT (T) = 0.</p> Signup and view all the answers

באיזה תנאי מטריצה A נחשבת לאלכסונית מעל שדה F?

<p>אם קיימת מטריצה הפיכה P כך ש-P−1AP היא אלכסונית.</p> Signup and view all the answers

האם פונקציה פולינומית יכולה להתפרק למכפלה של גורמים לינאריים?

<p>True</p> Signup and view all the answers

התאמת את תכונת המטריצות עם הפולינום האופייני שלהן:

<p>trA = trB = כאשר A ו-B דומות det A = det B = כאשר A ו-B דומות עבור כל x מתקיים fA(x) = fB(x) = כאשר A ו-B דומות</p> Signup and view all the answers

מהי המטריצה [[1, 2], [3, 4]]?

<p>A</p> Signup and view all the answers

המטריצות הדומות יש את אותו פולינום אופייני.

<p>True</p> Signup and view all the answers

מה נדרש כדי שמטריצה A ∈ Mn(F) תהיה משולשת?

<p>צריך להיות בסיס B כזה ש- [T]B משולש.</p> Signup and view all the answers

מהו הריבוי האלגברי של עקרון λ?

<p>הריבוי שלו כשורש של הפולינום האופייני.</p> Signup and view all the answers

מהם התנאים שצריכים להתקיים כדי ש-T תהיה ליניארית?

<p>dim V סופי והפולינום של T מתפרק.</p> Signup and view all the answers

מהו התנאי לכך שמטריצה T תהיה אלכסונית?

<p>הפולינום האופייני מתפרק למכפלת גורמים לינאריים</p> Signup and view all the answers

איך מחשבים את הפולינום האופייני של מטריצה?

<p>fA(λ) = det(λI - A)</p> Signup and view all the answers

Study Notes

שקילויות להפיכות של מטריצה

  • מטריצה הפיכה: מטריצה A היא הפיכה אם יש מטריצה B כך ש- AB = BA = I, כאשר I היא מטריצת האחדות.

  • תנאים להפיכות של מטריצה:

    1. דטרמיננטה: מטריצה A היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס (det(A) ≠ 0).
    2. מימד: מטריצה ריבועית (m x m) בלבד יכולה להיות הפיכה.
    3. סדר השורות והעמודות: רמת התמונה של המטריצה שווה למימד שלה.

  • שקילויות להפיכות:

    • שקילות דרגות: אם A היא מטריצה הפיכה, אז A ו- A^T (המטריצה הטרנספוזית) הן בעלות דרגת שורות שווה.
    • מערכות לינאריות: אם Ax = b היא מערכת עם פתרון יחיד, אז A הפיכה.
    • קוליות: אם A היא הפיכה, אז כל תת-קבוצה של m שורות (או עמודות) שלה היא לינארית בלתי תלויה.

  • תהליכי בדיקה:

    • חישוב דטרמיננטה: באמצעות נוסחאות חישוב שונות (לדוג' חישוב באמצעות חיסור שורות).
    • שיטת גאוס: ניתן לבדוק את הפיכות על ידי ביצוע חיסורים והבאת המטריצה לצורת מדרגה.

  • השלכות של הפיכות:

    • אם A הפיכה, אז למערכת Ax = b יש פתרון ייחודי.
    • ניתן לחשב את המטריצה ההפוכה A^(-1) באמצעות חוקים שונים כמו נוסחת קופלנד.

  • יישומים:

    • פתרון מערכות לינאריות.
    • חקירת תכונות של תמריצים לינאריים.
    • ניתוח שינויים במערכות עם רכיבים לינאריים.

מטריצה הפיכה

  • מטריצה A נחשבת להיפוכה אם קיימת מטריצה B כך ש- AB = BA = I, כאשר I היא מטריצת האחדות.

תנאים להפיכות של מטריצה

  • דטרמיננטה: מטריצה A היא הפיכה אם ורק אם דטרמיננטה שלה שונה מאפס (det(A) ≠ 0).
  • מימד: רק מטריצה ריבועית (m x m) יכולה להיות הפיכה.
  • סדר השורות והעמודות: רמת התמונה של המטריצה חייבת להיות שווה למימד שלה.

שקילויות להפיכות

  • שקילות דרגות: אם A הפיכה, אז A ו- A^T (המטריצה הטרנספוזית) בעלות דרגת שורות שווה.
  • מערכות לינאריות: במערכת Ax = b, אם יש פתרון יחיד, אז A הפיכה.
  • קוליות: אם A הפיכה, כל תת-קבוצה של m שורות (או עמודות) שלה היא לינארית בלתי תלויה.

תהליכי בדיקה

  • חישוב דטרמיננטה: ניתן להשתמש בשיטות כמו חיסור שורות כדי לחשב את הדטרמיננטה.
  • שיטת גאוס: מאפשרת לבדוק אם מטריצה היא הפיכה על ידי ביצוע חיסורים והבאת המטריצה לצורת מדרגה.

השלכות של הפיכות

  • אם A הפיכה, אז למערכת Ax = b יש פתרון ייחודי.
  • ניתן לחשב את המטריצה ההפוכה A^(-1) באמצעות חוקים כמו נוסחת קופלנד.

יישומים

  • פתרון מערכות לינאריות.
  • חקירת תכונות של תמריצים לינאריים.
  • ניתוח שינויים במערכות עם רכיבים לינאריים.

טרנספורמציות ליניאריות

  • טרנספורמציה ליניארית מוגדרת כפונקציה ( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m ).

  • תנאי להתנהגות ליניארית:

    • ( T(x + y) = T(x) + T(y) ) לכל ( x, y \in \mathbb{R}^n ).
    • ( T(cx) = cT(x) ) לכל ( c \in \mathbb{R} ) ו-( x \in \mathbb{R}^n ).

  • ניתן לייצג טרנספורמציה ליניארית בעזרת מטריצה, המשקפת את ההתנהגות שלה בשדות מדודים.

  • דוגמאות לפונקציות ליניאריות כוללות רוטציה, דחיסה והגזמה.

  • אם ( T_1 ) ו-( T_2 ) הן טרנספורמציות ליניאריות, אז השילוב ( T_1 \circ T_2 ) הוא גם טרנספורמציה ליניארית.

שקילות להפיכות של מטריצה

  • מטריצה ( A ) נחשבת להפיכה אם קיימת מטריצה ( B ) עם התנאי ( AB = I ), כאשר ( I ) היא מטריצת היחידה.

  • מאפיינים של מטריצה הפיכה כוללים:

    • רנג' של ( A ) שווה למספר העמודות שלה.
    • דטרמיננטה של ( A ) שונה מאפס (( \text{det}(A) \neq 0 )).

  • שיטות לבדיקת הפיכות כוללות:

    • חישוב הדטרמיננטה של המטריצה.
    • פתרון מערכת משוואות ליניאריות השואבת מהמאפיינים.
    • שימוש באלגוריתם גאוס-ג'ורדן להשגת הפיכות.

  • במקרים בהם מטריצה ( A ) יוצרת טרנספורמציה ליניארית ( T ), ( T ) נחשבת להפיכה אם ורק אם המטריצה ( A ) היא הפיכה.

פולינומים

  • פולינום ממעלה n מעל שדה F הוא צירוף ליניארי של חזקות של משתנה x.
  • סמלים: ( p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + ... + a_0 ), כאשר ( a_i \in F ).
  • דרגת הפולינום: ( \text{deg}(p(x)) = n ).
  • פולינום האפס, ( O(x) ), יש לו כל המקדמים אפס, ודרגתו היא מינוס אינסוף.

שורשים וחלוקה

  • ( \alpha \in F ) הוא שורש של פולינום ( p(x) ) אם ( p(\alpha) = 0 ).
  • פולינום ( p(x) ) מחלק פולינום ( f(x) ) אם קיימת פולינום ( q(x) ) כך ש ( f = q \cdot p ).
  • קיימת שארית בחלוקת פולינומים עם דרגת שארית קטנה מהדרגה של ( g ).

חוגים ותחומים שלמים

  • אוסף כל הפולינומים מעל ( F ) מסומן על ידי ( F[x] ).
  • ( F[x] ) הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה, אך אינו שדה.

הגדרות

  • בתחום שלמות אין מחלקי אפס ואידיאל סוגר לחיבור וכפל.
  • אידיאל ראשי: אם קיים ( a \in R ) כך ש ( I = Ra ).
  • תחום ראשי: כל אידיאל הוא אידיאל ראשי.

תכונות פולינומים

  • כל פולינום ניתן לפרק למכפלה של אי-פריקים בצורה יחידה עד כדי חברות.
  • פולינום מתוקן הוא פולינום שבו מקדם החזקה הגבוהה הוא 1.

משפטים מרכזיים

  • משפט קיילי-המילטון: מטריצה מספקת את הפולינום האופייני שלה.
  • אם ( f, g ) זרים, קיימים ( a, b ) כך ש ( 1 = a(x) \cdot f(x) + b(x) \cdot g(x) ).
  • המשפט היסודי של האלגברה: בתחום המסובך ( \mathbb{C} ) כל פולינום ממעלה n יש לו n שורשים, כלומר גורמים ליניאריים.

דוגמאות

  • דוגמה לתחום שלמות: ( \mathbb{Z} ).
  • דוגמה לאידיאל: זוגיים ב-( \mathbb{Z} ).

טענות נוספות

  • פולינום הוא ראשוני אם הוא מחלק של מכפלה ואז מחייב שהפולינום או אחד מהאיברים הוא גורם שלם.
  • בעזרת חלוקת שאריות אפשר לבסס את הקיום של שורש לפולינום על פונקציות מסוימות.### פולינומים אי-פריקים
  • פולינום אי-פריק ב-R[x] הוא כזה שאין אפשרות לפרק אותו לפולינומים בעלי ממדי פחות מעל R.
  • דוגמה: הפולינום x² + 1.26 הוא אי-פריק מעל R.

שורשים בפולינומים

  • אם f(x) ∈ R[x] ופולינום יש לו שורש λ ∈ C, אז λ גם שורש של f(x).
  • מאפיינים של שורשים:
    • אם λ ∈ R, אז הפולינום פריק.
    • אם λ ∈ C \ R (מרוכב) אז ההנחה היא שהפולינום יש לו מחלק ריבועי.

מאפיינים של פולינומים מעל R

  • הפולינומים האי-פריקים מעל R הם או פולינומים לינאריים (x - λ, λ ∈ R) או פולינומים ריבועיים עם דיסקרימיננטה שלילית.
  • פולינום עם שורש מרוכב חייב לכלול מחלק ריבועי.

משפטים עיקריים

  • משפט 29: פולינום אי-פריק ממעלה ≤ 2 ניתן להרחבה לשדה כך שהוא פריק בשדה המדובר.
  • דוגמה: x² + 1 אי-פריק ב-R אך פריק ב-C.

וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

  • וקטור עצמאי v ∈ V הוא כזה שעבורו T(v) = λv, כאשר λ הוא ערך עצמי.
  • דוגמאות לפולינומים שהינם וקטורים עצמיים:
    • כל וקטור לא אפס ב-I הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי 1.

תתי מרחבים עצמאיים

  • נגדיר את המרחב העצמי Vλ כ-Vλ = {v ∈ V | T(v) = λv}.
  • טענה: Vλ הינו תת-מרחב של V.

תכונות מטריצות וערכים עצמיים

  • אם T : V → V הינה המרה ליניארית, אז המטריצה A ∈ Mn(F) מייצגת את T בבסיס כלשהו.
  • מתקיים ש-T(v) = λv אם ורק אם [v]B הוא וקטור עצמי של A המתאים לערך λ.

סכומים של וקטורים עצמיים

  • עבור קבוצת וקטורים עצמיים מתאימים לערכים שונים, יש להניח שסכימתם היא אפס.
  • אם צפינו בסתירה לכך שמתקבלת סכימה לא טריוויאלית, נסיק שהקבוצה היא בת-ליניארית.

גיאומטריה וערכים עצמיים

  • הריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי λ מוגדר כ-dim Vλ.
  • T היא ליניארית אם ובאמת dim Vλ = n.

אלכסון

  • אם T מתכון ל-2 ווקטורים שונים, אז היא טורית לאלכסון סקלרי.
  • הכנסת מטריצה לאלכסונית מאפשרת חישובים פשוטים יותר של חיבור וכפל.### הגדרה ללכסינות
  • מטריצה ( A ) בלכסון מעל שדה ( F ): קיימת מטריצה הפיכה ( P ) כך ש-( P^{-1}AP ) אלכסונית.
  • לכל מערכת ליניארית ( T : V \to V ) עם אינדקס מטריצי ( A = [T]_B ): ( T ) בלכסון אם ורק אם ( A ) בלכסון.

הוכחות ללכסינות

  • אם ( T ) בלכסון: קיימת בסיס ( C ) כך ש-( [T]_C ) אלכסונית, מה שמעיד על כך ש-( A ) בלכסון.
  • אם ( A ) בלכסון: קיימת מטריצה הפיכה ( P ) כך ש-( P^{-1}AP = D ) אלכסונית, והעמודות של ( P ) מבססות את ( V ) עבור ( T ).

פולינום אופייני

  • ההגדרה של פולינום אופייני עבור מטריצה ( A ): ( f_A(x) = \det(xI_n - A) ).
  • ערכים עצמי של ( A ) הם ( \lambda \in F ) אם ( f_A(\lambda) = 0 ).

תכונות הפולינום האופייני

  • פולינום אופייני הוא מתוקן ממעלה ( n ).
  • המקדם של ( x^{n-1} ) הוא ( -\text{tr}(A) ) והמקדם של ( x^0 ) הוא ( (-1)^n \det(A) ).
  • פולינום של מטריצות דומות שווה.

תכונות נוספות של פולינומים אופייניים

  • הפולינום של מטריצות אלכסוניות או משולשות הוא ( f_A(x) = (x - \alpha_k) ) עבור ערכים עצמיים ( \alpha_k ).
  • פולינום של העתקות ליניאריות נמדד על סמך מטריצות המייצגות שלהן.

ריבוי אלגברי וגיאומטרי

  • ריבוי אלגברי של ערך עצמי ( \lambda ) הוא הריבוי שלו כשורש של הפולינום האופייני.
  • ריבוי גיאומטרי ( d_\lambda ) משקף את ממדי המרחב העצמי המתקבל מ-( \lambda ).
  • תוצאה: ( d_\lambda \leq r_\lambda ).

משפט הלכסון

  • משפט הלכסון: תוצאת פנלים ( T ) עם פולינום אופייני מפורק למערך גורמים לינאריים מעידה על כך ש-( T ) בלכסון.
  • עבור כל ערך עצמי של ( T ), מתקיים ש-( r_\lambda = d_\lambda ).

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Related Documents

Linear Algebra 2 Notes 2024B - Anat Amir PDF

Description

בחן את הידע שלך על תנאים להפיכות מטריצות וכיצד לבדוק אם מטריצה היא הפיכה. השאלות יעסקו בדטרמיננטה, דרגת שורות ותהליכי בדיקה כמו שיטת גאוס. זהו מבחן חשוב להבנת המושג במתמטיקה לינארית.

More Like This

JSON Basics Quiz
6 questions

JSON Basics Quiz

MarvelousPenguin avatar
MarvelousPenguin
Matrix Evidence Flashcards
8 questions

Matrix Evidence Flashcards

FoolproofLemur avatar
FoolproofLemur
Matrix Fundamentals and Operations
23 questions

Matrix Fundamentals and Operations

BrainiestDouglasFir avatar
BrainiestDouglasFir
TAMU MATH 140 Matrix Operations Flashcards
26 questions

TAMU MATH 140 Matrix Operations Flashcards

LowCostHarpy avatar
LowCostHarpy
Use Quizgecko on...
Browser
Open
Browser
Browser