שקילויות להפיכות של מטריצה

שקילויות להפיכות של מטריצה

• מטריצה הפיכה: מטריצה A היא הפיכה אם יש מטריצה B כך ש- AB = BA = I, כאשר I היא מטריצת האחדות.

• תנאים להפיכות של מטריצה:

  1. דטרמיננטה: מטריצה A היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס (det(A) ≠ 0).
  2. מימד: מטריצה ריבועית (m x m) בלבד יכולה להיות הפיכה.
  3. סדר השורות והעמודות: רמת התמונה של המטריצה שווה למימד שלה.

• שקילויות להפיכות:

  • שקילות דרגות: אם A היא מטריצה הפיכה, אז A ו- A^T (המטריצה הטרנספוזית) הן בעלות דרגת שורות שווה.
  • מערכות לינאריות: אם Ax = b היא מערכת עם פתרון יחיד, אז A הפיכה.
  • קוליות: אם A היא הפיכה, אז כל תת-קבוצה של m שורות (או עמודות) שלה היא לינארית בלתי תלויה.

• תהליכי בדיקה:

  • חישוב דטרמיננטה: באמצעות נוסחאות חישוב שונות (לדוג' חישוב באמצעות חיסור שורות).
  • שיטת גאוס: ניתן לבדוק את הפיכות על ידי ביצוע חיסורים והבאת המטריצה לצורת מדרגה.

• השלכות של הפיכות:

  • אם A הפיכה, אז למערכת Ax = b יש פתרון ייחודי.
  • ניתן לחשב את המטריצה ההפוכה A^(-1) באמצעות חוקים שונים כמו נוסחת קופלנד.

• יישומים:

  • פתרון מערכות לינאריות.
  • חקירת תכונות של תמריצים לינאריים.
  • ניתוח שינויים במערכות עם רכיבים לינאריים.

מטריצה הפיכה

• מטריצה A נחשבת להיפוכה אם קיימת מטריצה B כך ש- AB = BA = I, כאשר I היא מטריצת האחדות.

תנאים להפיכות של מטריצה

• דטרמיננטה: מטריצה A היא הפיכה אם ורק אם דטרמיננטה שלה שונה מאפס (det(A) ≠ 0).
• מימד: רק מטריצה ריבועית (m x m) יכולה להיות הפיכה.
• סדר השורות והעמודות: רמת התמונה של המטריצה חייבת להיות שווה למימד שלה.

שקילויות להפיכות

• שקילות דרגות: אם A הפיכה, אז A ו- A^T (המטריצה הטרנספוזית) בעלות דרגת שורות שווה.
• מערכות לינאריות: במערכת Ax = b, אם יש פתרון יחיד, אז A הפיכה.
• קוליות: אם A הפיכה, כל תת-קבוצה של m שורות (או עמודות) שלה היא לינארית בלתי תלויה.

תהליכי בדיקה

• חישוב דטרמיננטה: ניתן להשתמש בשיטות כמו חיסור שורות כדי לחשב את הדטרמיננטה.
• שיטת גאוס: מאפשרת לבדוק אם מטריצה היא הפיכה על ידי ביצוע חיסורים והבאת המטריצה לצורת מדרגה.

השלכות של הפיכות

• אם A הפיכה, אז למערכת Ax = b יש פתרון ייחודי.
• ניתן לחשב את המטריצה ההפוכה A^(-1) באמצעות חוקים כמו נוסחת קופלנד.

יישומים

• פתרון מערכות לינאריות.
• חקירת תכונות של תמריצים לינאריים.
• ניתוח שינויים במערכות עם רכיבים לינאריים.

טרנספורמציות ליניאריות

• טרנספורמציה ליניארית מוגדרת כפונקציה ( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m ).

• תנאי להתנהגות ליניארית:

  • ( T(x + y) = T(x) + T(y) ) לכל ( x, y \in \mathbb{R}^n ).
  • ( T(cx) = cT(x) ) לכל ( c \in \mathbb{R} ) ו-( x \in \mathbb{R}^n ).

• ניתן לייצג טרנספורמציה ליניארית בעזרת מטריצה, המשקפת את ההתנהגות שלה בשדות מדודים.

• דוגמאות לפונקציות ליניאריות כוללות רוטציה, דחיסה והגזמה.

• אם ( T_1 ) ו-( T_2 ) הן טרנספורמציות ליניאריות, אז השילוב ( T_1 \circ T_2 ) הוא גם טרנספורמציה ליניארית.

שקילות להפיכות של מטריצה

• מטריצה ( A ) נחשבת להפיכה אם קיימת מטריצה ( B ) עם התנאי ( AB = I ), כאשר ( I ) היא מטריצת היחידה.

• מאפיינים של מטריצה הפיכה כוללים:

  • רנג' של ( A ) שווה למספר העמודות שלה.
  • דטרמיננטה של ( A ) שונה מאפס (( \text{det}(A) \neq 0 )).

• שיטות לבדיקת הפיכות כוללות:

  • חישוב הדטרמיננטה של המטריצה.
  • פתרון מערכת משוואות ליניאריות השואבת מהמאפיינים.
  • שימוש באלגוריתם גאוס-ג'ורדן להשגת הפיכות.

• במקרים בהם מטריצה ( A ) יוצרת טרנספורמציה ליניארית ( T ), ( T ) נחשבת להפיכה אם ורק אם המטריצה ( A ) היא הפיכה.

פולינומים

• פולינום ממעלה n מעל שדה F הוא צירוף ליניארי של חזקות של משתנה x.
• סמלים: ( p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + ... + a_0 ), כאשר ( a_i \in F ).
• דרגת הפולינום: ( \text{deg}(p(x)) = n ).
• פולינום האפס, ( O(x) ), יש לו כל המקדמים אפס, ודרגתו היא מינוס אינסוף.

שורשים וחלוקה

• ( \alpha \in F ) הוא שורש של פולינום ( p(x) ) אם ( p(\alpha) = 0 ).
• פולינום ( p(x) ) מחלק פולינום ( f(x) ) אם קיימת פולינום ( q(x) ) כך ש ( f = q \cdot p ).
• קיימת שארית בחלוקת פולינומים עם דרגת שארית קטנה מהדרגה של ( g ).

חוגים ותחומים שלמים

• אוסף כל הפולינומים מעל ( F ) מסומן על ידי ( F[x] ).
• ( F[x] ) הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה, אך אינו שדה.

הגדרות

• בתחום שלמות אין מחלקי אפס ואידיאל סוגר לחיבור וכפל.
• אידיאל ראשי: אם קיים ( a \in R ) כך ש ( I = Ra ).
• תחום ראשי: כל אידיאל הוא אידיאל ראשי.

תכונות פולינומים

• כל פולינום ניתן לפרק למכפלה של אי-פריקים בצורה יחידה עד כדי חברות.
• פולינום מתוקן הוא פולינום שבו מקדם החזקה הגבוהה הוא 1.

משפטים מרכזיים

• משפט קיילי-המילטון: מטריצה מספקת את הפולינום האופייני שלה.
• אם ( f, g ) זרים, קיימים ( a, b ) כך ש ( 1 = a(x) \cdot f(x) + b(x) \cdot g(x) ).
• המשפט היסודי של האלגברה: בתחום המסובך ( \mathbb{C} ) כל פולינום ממעלה n יש לו n שורשים, כלומר גורמים ליניאריים.

דוגמאות

• דוגמה לתחום שלמות: ( \mathbb{Z} ).
• דוגמה לאידיאל: זוגיים ב-( \mathbb{Z} ).

טענות נוספות

• פולינום הוא ראשוני אם הוא מחלק של מכפלה ואז מחייב שהפולינום או אחד מהאיברים הוא גורם שלם.
• בעזרת חלוקת שאריות אפשר לבסס את הקיום של שורש לפולינום על פונקציות מסוימות.### פולינומים אי-פריקים
• פולינום אי-פריק ב-R[x] הוא כזה שאין אפשרות לפרק אותו לפולינומים בעלי ממדי פחות מעל R.
• דוגמה: הפולינום x² + 1.26 הוא אי-פריק מעל R.

שורשים בפולינומים

• אם f(x) ∈ R[x] ופולינום יש לו שורש λ ∈ C, אז λ גם שורש של f(x).
• מאפיינים של שורשים:
  • אם λ ∈ R, אז הפולינום פריק.
  • אם λ ∈ C \ R (מרוכב) אז ההנחה היא שהפולינום יש לו מחלק ריבועי.

מאפיינים של פולינומים מעל R

• הפולינומים האי-פריקים מעל R הם או פולינומים לינאריים (x - λ, λ ∈ R) או פולינומים ריבועיים עם דיסקרימיננטה שלילית.
• פולינום עם שורש מרוכב חייב לכלול מחלק ריבועי.

משפטים עיקריים

• משפט 29: פולינום אי-פריק ממעלה ≤ 2 ניתן להרחבה לשדה כך שהוא פריק בשדה המדובר.
• דוגמה: x² + 1 אי-פריק ב-R אך פריק ב-C.

וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

• וקטור עצמאי v ∈ V הוא כזה שעבורו T(v) = λv, כאשר λ הוא ערך עצמי.
• דוגמאות לפולינומים שהינם וקטורים עצמיים:
  • כל וקטור לא אפס ב-I הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי 1.

תתי מרחבים עצמאיים

• נגדיר את המרחב העצמי Vλ כ-Vλ = {v ∈ V | T(v) = λv}.
• טענה: Vλ הינו תת-מרחב של V.

תכונות מטריצות וערכים עצמיים

• אם T : V → V הינה המרה ליניארית, אז המטריצה A ∈ Mn(F) מייצגת את T בבסיס כלשהו.
• מתקיים ש-T(v) = λv אם ורק אם [v]B הוא וקטור עצמי של A המתאים לערך λ.

סכומים של וקטורים עצמיים

• עבור קבוצת וקטורים עצמיים מתאימים לערכים שונים, יש להניח שסכימתם היא אפס.
• אם צפינו בסתירה לכך שמתקבלת סכימה לא טריוויאלית, נסיק שהקבוצה היא בת-ליניארית.

גיאומטריה וערכים עצמיים

• הריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי λ מוגדר כ-dim Vλ.
• T היא ליניארית אם ובאמת dim Vλ = n.

אלכסון

• אם T מתכון ל-2 ווקטורים שונים, אז היא טורית לאלכסון סקלרי.
• הכנסת מטריצה לאלכסונית מאפשרת חישובים פשוטים יותר של חיבור וכפל.### הגדרה ללכסינות
• מטריצה ( A ) בלכסון מעל שדה ( F ): קיימת מטריצה הפיכה ( P ) כך ש-( P^{-1}AP ) אלכסונית.
• לכל מערכת ליניארית ( T : V \to V ) עם אינדקס מטריצי ( A = [T]_B ): ( T ) בלכסון אם ורק אם ( A ) בלכסון.

הוכחות ללכסינות

• אם ( T ) בלכסון: קיימת בסיס ( C ) כך ש-( [T]_C ) אלכסונית, מה שמעיד על כך ש-( A ) בלכסון.
• אם ( A ) בלכסון: קיימת מטריצה הפיכה ( P ) כך ש-( P^{-1}AP = D ) אלכסונית, והעמודות של ( P ) מבססות את ( V ) עבור ( T ).

פולינום אופייני

• ההגדרה של פולינום אופייני עבור מטריצה ( A ): ( f_A(x) = \det(xI_n - A) ).
• ערכים עצמי של ( A ) הם ( \lambda \in F ) אם ( f_A(\lambda) = 0 ).

תכונות הפולינום האופייני

• פולינום אופייני הוא מתוקן ממעלה ( n ).
• המקדם של ( x^{n-1} ) הוא ( -\text{tr}(A) ) והמקדם של ( x^0 ) הוא ( (-1)^n \det(A) ).
• פולינום של מטריצות דומות שווה.

תכונות נוספות של פולינומים אופייניים

• הפולינום של מטריצות אלכסוניות או משולשות הוא ( f_A(x) = (x - \alpha_k) ) עבור ערכים עצמיים ( \alpha_k ).
• פולינום של העתקות ליניאריות נמדד על סמך מטריצות המייצגות שלהן.

ריבוי אלגברי וגיאומטרי

• ריבוי אלגברי של ערך עצמי ( \lambda ) הוא הריבוי שלו כשורש של הפולינום האופייני.
• ריבוי גיאומטרי ( d_\lambda ) משקף את ממדי המרחב העצמי המתקבל מ-( \lambda ).
• תוצאה: ( d_\lambda \leq r_\lambda ).

משפט הלכסון

• משפט הלכסון: תוצאת פנלים ( T ) עם פולינום אופייני מפורק למערך גורמים לינאריים מעידה על כך ש-( T ) בלכסון.
• עבור כל ערך עצמי של ( T ), מתקיים ש-( r_\lambda = d_\lambda ).

בחן את הידע שלך על תנאים להפיכות מטריצות וכיצד לבדוק אם מטריצה היא הפיכה. השאלות יעסקו בדטרמיננטה, דרגת שורות ותהליכי בדיקה כמו שיטת גאוס. זהו מבחן חשוב להבנת המושג במתמטיקה לינארית.