సంభావ్యత: పరిచయం

సంభావ్యత పరిచయం

• సంభావ్యత అనేది ఒక సంఘటన జరిగే అవకాశం యొక్క కొలమానం.
• ఇది 0 మరియు 1 మధ్య ఒక సంఖ్యగా లెక్కించబడుతుంది, ఇక్కడ 0 అసాధ్యం అని మరియు 1 ఖచ్చితత్వం అని సూచిస్తుంది.

నిర్వచనం

• ఒక సంఘటన $A$ యొక్క సంభావ్యతను $P(A)$ సూచిస్తారు.
• $P(A) = \frac{\text{అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య}}{\text{సాధ్యమయ్యే ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య}}$

ముఖ్య భావనలు

• ప్రయోగం: ఫలితానికి దారితీసే ఒక ప్రక్రియ.
• నమూనా స్థలం (Sample Space): ఒక ప్రయోగం యొక్క సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సమితి.
• సంఘటన: నమూనా స్థలం యొక్క ఉపసమితి.

సంభావ్యత రకాలు

• క్లాసికల్ సంభావ్యత: నమూనా స్థలంలోని అన్ని ఫలితాలు సమానంగా సంభవించే అవకాశం ఉందని ఊహిస్తుంది.
  • $P(A) = \frac{\text{A లోని ఫలితాల సంఖ్య}}{\text{మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య}}$
• эмпиరికల్ సంభావ్యత: ఒక ప్రయోగం నుండి పరిశీలించిన డేటా ఆధారంగా ఉంటుంది.
  • $P(A) = \frac{\text{A సంభవించిన సార్లు}}{\text{మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్య}}$
• వ్యక్తిగత సంభావ్యత: వ్యక్తిగత నమ్మకాలు లేదా తీర్పులపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సంభావ్యత యొక్క ప్రాథమిక నియమాలు

• సంభావ్యత పరిధి: $0 \le P(A) \le 1$
• ఖచ్చితమైన సంఘటన: $P(S) = 1$, ఇక్కడ S నమూనా స్థలం.
• అసాధ్యమైన సంఘటన: $P(\emptyset) = 0$, ఇక్కడ $\emptyset$ అనేది ఖాళీ సమితి.
• పూరక నియమం: $P(A') = 1 - P(A)$, ఇక్కడ $A'$ అనేది A యొక్క పూరకం.

అదనపు నియమం

• ఏదైనా రెండు సంఘటనలు A మరియు B కోసం:
  • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• A మరియు B పరస్పరం ప్రత్యేకమైనవి (విడదీయబడినవి) అయితే, $P(A \cap B) = 0$, మరియు:
  • $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత

• ఒక సంఘటన B ఇప్పటికే సంభవించిందని ఇవ్వబడినప్పుడు సంఘటన A సంభవించే సంభావ్యత:
  • $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, $P(B) > 0$ అయితే

గుణకార నియమం

• ఏదైనా రెండు సంఘటనలు A మరియు B కోసం:
  • $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$
• A మరియు B స్వతంత్ర సంఘటనలు అయితే, $P(A|B) = P(A)$ మరియు $P(B|A) = P(B)$, మరియు:
  • $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

ఉదాహరణ సమస్యలు

• నాణెం ఎగురవేయడం: ఒక సరసమైన నాణెం ఎగురవేసినప్పుడు హెడ్స్ వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
  • నమూనా స్థలం: {హెడ్స్, టెయిల్స్}
    • $P(\text{హెడ్స్}) = \frac{1}{2}$
• డై దొర్లించడం: ఒక సరసమైన ఆరు ముఖాల డై మీద 4 దొర్లించే సంభావ్యత ఎంత?
  • నమూనా స్థలం: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    • $P(4) = \frac{1}{6}$
• కార్డును తీయడం: ఒక ప్రామాణిక 52 కార్డుల డెక్ నుండి ఏస్ తీసే సంభావ్యత ఎంత?
  • ఏస్‌ల మొత్తం సంఖ్య: 4
    • $P(\text{ఏస్}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

అభ్యాస ప్రశ్నలు

• ఒక విద్యార్థి 5 ఎంపికలతో ఒక బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నకు సమాధానం ఊహిస్తే, సరిగ్గా ఊహించే సంభావ్యత ఎంత?
• ఒక సంచిలో 3 ఎరుపు బంతులు మరియు 5 నీలం బంతులు ఉన్నాయి. ఒక ఎరుపు బంతిని తీసే సంభావ్యత ఎంత?
• రెండు పాచికలు దొర్లించినట్లయితే, సంఖ్యల మొత్తం 7 అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

అల్గోరిథమిక్ గేమ్ థియరీ EE368B

ఉపన్యాసం 1: పరిచయం

• గేమ్ థియరీ అంటే ఏమిటి?
  • వ్యూహాత్మక పరస్పర చర్యలను విశ్లేషించడానికి గణిత నమూనాలు.
  • అనువర్తనాలు:
    • CS: వేలం, ఇంటర్నెట్ రూటింగ్, స్పాన్సర్డ్ సెర్చ్, సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లు
    • ఆర్థిక శాస్త్రం: ఆలిగోపోలీలు, వాణిజ్యం, స్థూల ఆర్థిక శాస్త్రం
    • రాజకీయ శాస్త్రం: ఓటింగ్
    • జీవశాస్త్రం: పరిణామం
• ఈ కోర్సు:
  • గేమ్ థియరీ యొక్క అల్గోరిథమిక్ అంశాలు
  • CS అనువర్తనాలపై దృష్టి, కానీ ప్రత్యేకంగా కాదు

స్వార్థపూరిత రూటింగ్

నమూనా

• నిర్దేశిత గ్రాఫ్ $G=(V,E)$
• $r$ ఆటగాళ్ళు
• ఆటగాడు $i$, $f_i$ యూనిట్ల ట్రాఫిక్‌ను $s_i$ నుండి $t_i$ కి తరలించాలనుకుంటున్నాడు
• వ్యూహం: $s_i-t_i$ మార్గం
• $l_e(x)$: అంచు $e$ పై లేటెన్సీ ఫంక్షన్, అంచుపై మొత్తం ట్రాఫిక్ $x$ యొక్క ఫంక్షన్‌గా
  • ప్రతికూల కాని, పెరగనిదిగా అనుకోండి

ఉదాహరణ # ఫిజిక్స్

వెక్టర్స్

వెక్టర్స్ యొక్క మొత్తం

• గ్రాఫికల్ పద్ధతి:
  • వెక్టర్స్ u మరియు v వాటి పరిమాణం, దిశ మరియు ధోరణిని కొనసాగిస్తూ ఒకటి వెనుక ఒకటి ఉంచబడతాయి.
  • ఫలిత వెక్టర్ u + v అనేది u యొక్క మూలాన్ని v యొక్క కొనతో కలిపే వెక్టర్.
• విశ్లేషణాత్మక పద్ధతి:
  • రెండు వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి:
    • $\overrightarrow{u} = (x_1,y_1)$
    • $\overrightarrow{v} = (x_2,y_2)$
  • వాటి మొత్తం:
    • $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$

వెెక్టర్ల తగ్గింపు

• రెండు వెక్టర్స్ u మరియు v ను తగ్గించడానికి, వెక్టర్ u కు v వ్యతిరేకాన్ని జోడించండి:
  • $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$
    • వెక్టర్ $-\overrightarrow{v}$ వెక్టర్ $\overrightarrow{v}$ వలె అదే మాడ్యూల్ మరియు దిశను కలిగి ఉంటుంది, కానీ వ్యతిరేక దిశను కలిగి ఉంటుంది.
• రెండు వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి:
  • $\overrightarrow{u} = (x_1,y_1)$
  • $\overrightarrow{v} = (x_2,y_2)$
    • వాటి తగ్గింపు:
    • $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$

ఒక స్కేలార్‌ను వెక్టార్ ద్వారా ఉత్పత్తి చేయండి

• ఒక స్కేలార్ k ద్వారా ఒక వెక్టార్ $\overrightarrow{u}$ యొక్క ఉత్పత్తి మరొక వెక్టార్ $k\overrightarrow{u}$ కలిగి ఉంటుంది:
  • మాడ్యూల్: $|k\overrightarrow{u}| = |k| \cdot |\overrightarrow{u}|$
  • దిశ: $\overrightarrow{u}$ వలె ఉంటుంది
  • ధోరణితో: k > 0 అయితే $\overrightarrow{u}$ వలె ఉంటుంది మరియు k < 0 అయితే వ్యతిరేకం అవుతుంది
• $\overrightarrow{u} = (x,y)$ అయితే, $k\overrightarrow{u} = (kx, ky)$

రెండు వెక్టార్‌ల యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి

• రెండు వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి, $\overrightarrow{u}$ మరియు $\overrightarrow{v}$ అనేది ఒక సంఖ్య (స్కేలార్) అది $\overrightarrow{u}$ యొక్క మాడ్యూల్‌ను తీసుకోవడం ద్వారా, $\overrightarrow{v}$ యొక్క మాడ్యూల్‌తో గుణించడం ద్వారా ఆల్ఫా కోణం యొక్క కొసైన్‌తో ఏర్పడుతోంది:
  • $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos{\alpha}$
    • $\overrightarrow{u} = (x_1,y_1)$ మరియు $\overrightarrow{v} = (x_2,y_2)$ అయితే, $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2$
• రెండు లంబ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా, ఎందుకంటే 90° కొసైన్ సున్నా.

రెండు వెక్టార్‌ల యొక్క వెక్టోరిక్ ఉత్పత్తి

• రెండు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టోరిక్ ఉత్పత్తి $\overrightarrow{u}$ మరియు $\overrightarrow{v}$ అనేది మరొక వెక్టార్ అనేది $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ యొక్క మాడ్యూల్ $\overrightarrow{u}$ మరియు $\overrightarrow{v}$ ఏర్పరుచుకునే సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతం, దాని దిశ $\overrightarrow{u}$ మరియు $\overrightarrow{v}$ కలిగి ఉన్న విమానానికి లంబంగా ఉంటుంది. కుడి చేతి నియమం సూచిస్తున్నది దాని ధోరణి:
  • $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \sin{\alpha} \cdot \hat{n}$
    • ఇక్కడ $\hat{n}$ అనేది $\overrightarrow{u}$ మరియు $\overrightarrow{v}$ కలిగి ఉన్న విమానానికి లంబంగా ఉండే ఒక యూనిట్ వెక్టార్.
    • $\overrightarrow{u} = (x_1,y_1,z_1)$ మరియు $\overrightarrow{v} = (x_2,y_2,z_2)$ అయితే:
    • $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2)\hat{i} + (z_1x_2 - x_1z_2)\hat{j} + (x_1y_2 - y_1x_2)\hat{k}$

ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ లక్షణాలు

లీనియారిటీ

• $F[af(t) + bg(t)] = aF(f(t)) + bF(g(t)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

సమయ స్కేలింగ్

• $F[f(at)] = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$
  • సమయంలో కుదింపు $\rightarrow$ ఫ్రీక్వెన్సీలో విస్తరణ
  • సమయంలో விரிவாக்கம் $\rightarrow$ ఫ్రీక్వెన్సీలో కుదింపు

సమయం మార్పిడి

• $F[f(t - t_0)] = e^{-j\omega t_0}F(\omega)$
  • సమయం మార్పిడి $\rightarrow$ ఫ్రీక్వెన్సీ డొమైన్లో లీనియర్ ఫేజ్ మార్పిడి

ఫ్రీక్వెన్సీ మార్పిడి

• $F[e^{j\omega_0t}f(t)] = F(\omega - \omega_0)$
  • కాంప్లెక్స్ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ద్వారా మాడ్యులేషన్ $\rightarrow$ ఫ్రీక్వెన్సీలో మార్పిడి

సంయోగం

• $F[f^(t)] = F^(-\omega)$

సమయ విభిన్నత

• $F[\frac{df(t)}{dt}] = j\omega F(\omega)$
• $F[\frac{d^nf(t)}{dt^n}] = (j\omega)^n F(\omega)$
  • సమయంలో విభిన్నత $\rightarrow$ ఫ్రీక్వెన్సీ డొమైన్‌లో $j\omega$ ద్వారా గుణకారం

ఫ్రీక్వెన్సీ విభిన్నత

• $F[tf(t)] = j\frac{dF(\omega)}{d\omega}$
• $F[t^nf(t)] = j^n\frac{d^nF(\omega)}{d\omega^n}$

సమన్వయం

• $F[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau] = \frac{1}{j\omega}F(\omega) + \pi F(0)\delta(\omega)$

కన్వల్యూషన్

• $F[f(t) * g(t)] = F(\omega)G(\omega)$
• $F[f(t)g(t)] = \frac{1}{2\pi}F(\omega) * G(\omega)$

పార్సెవల్ సిద్ధాంతం

• $\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega$

శీఘ్ర ప్రారంభ మార్గదర్శిని

ఇది ఏమిటి?

• వోల్ఫ్రామ్ సాఫ్ట్‌వేర్‌ను ఉపయోగించి ప్రాథమిక డేటా విశ్లేషణతో ప్రారంభించడానికి ఈ గైడ్ మీకు సహాయం చేస్తుంది.
• పని చేస్తున్నప్పుడు మీరు సంప్రదించగల శీఘ్ర గైడ్‌గా ఇది ఉద్దేశించబడింది.
• విషయాలు విభాగాలుగా విభజించబడ్డాయి, కాబట్టి మీకు అవసరమైన భాగాలకు మీరు వెళ్లవచ్చు.

ఇది ఎలా పనిచేస్తుంది?

• వోల్ఫ్రామ్ సాఫ్ట్‌వేర్ వోల్ఫ్రామ్ లాంగ్వేజ్ అనే ప్రోగ్రామింగ్ లాంగ్వేజ్‌ని ఉపయోగిస్తుంది.
• వోల్ఫ్రామ్ లాంగ్వేజ్ సాధారణ వినియోగ సందర్భాల కోసం ఆప్టిమైజ్ చేసిన అనేక అంతర్నిర్మిత ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంది.
• సాఫ్ట్‌వేర్ అనుసరించడానికి మీరు నియమాలను ఇవ్వగలరని దీని అర్థం.

ప్రారంభించడం

• విండోస్: వోల్ఫ్రామ్ సాఫ్ట్‌వేర్‌ను తెరిచినప్పుడు, మీరు "నోట్‌బుక్" అనే విండోను చూస్తారు. ఒక నోట్‌బుక్ కణాలలో నిర్మాణాత్మకంగా ఉంటుంది. కణాలలో ఎంట్రీలు, అవుట్‌పుట్‌లు మరియు టెక్స్ట్ ఉండవచ్చు.
• మూల్యాంకనం: ఒక ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను మూల్యాంకనం చేయడానికి, దానిని ఒక కణంలో వ్రాసి Shift+Enter నొక్కండి. అవుట్‌పుట్ ఎంట్రీ క్రింద కొత్త కణంలో చూపబడుతుంది.
• సింటాక్స్: వోల్ఫ్రామ్ లాంగ్వేజ్ దాని స్వంత సింటాక్స్‌ను కలిగి ఉంది, ఇది ఇతర ప్రోగ్రామింగ్ లాంగ్వేజ్‌ల కంటే భిన్నంగా ఉంటుంది.
• ఇక్కడ కొన్ని ముఖ్యమైన పాయింట్లు ఉన్నాయి:
  • ఫంక్షన్ పేర్లు ఎల్లప్పుడూ కాపిటల్ లెటర్‌తో ప్రారంభమవుతాయి, ఉదాహరణకు, Plot, ListPlot, Integrate.
  • ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌లను బ్రాకెట్లలో ఇస్తారు, ఉదాహరణకు, Plot[x^2, {x, -3, 3}].
  • జాబితాలను కర్లీ బ్రాకెట్లలో ఇస్తారు, ఉదాహరణకు, {1, 2, 3}.
  • కామెంట్‌లను ఆస్టరిస్క్‌లతో కోలుస్తారు, ఉదాహరణకు, (* ఇది ఒక కామెంట్ *).
  • =, := వేర్వేరు అర్థాలను కలిగి ఉన్నాయి.
• డాక్యుమెంటేషన్: వోల్ఫ్రామ్ சாஃப்ட்వేర్ యొక్క డాక్యుమెంటేషన్ చాలా விரிவானது. நீங்கள் F1 ஐ ప్రೆஸ் చే அல்லது தேடல் பட்டியில் தேடுது ద్వారా அணுகலாம்.

அடிப்படைச் செயல்பாடுகள்

• கணிதம்: గణிக்கியல் செயல்பாடுகள் நேரடியாக உள்ளன:

1 + 1
2 * 3
5 / 2
2 ^ 3

• ఆల్జీబ్రా: వోல்ஃபாమ్ சாஃப்ட்வேర్象征ப்பூர்வமான ஆల్ஜீப்பாவை உருவாக்கக்கூடும்:

  •   - Expand[(x + 1)^ 2]
      - Solve[x^2 + 2x + 1 == 0, x]
    

• கணக்கிடல்: வோல்ஃப్రామ్ சாஃப்ட்வேர் கணக்கிடல் செயல்படுத்தக்கூடும்:

D[x^2, x] (* x பொறுத்து x^2 ను వ్యुత్పన్నం చేయండి*)
Integrate[x^2, x] (* x பொறுత్తు x^2 ను ஏகியுங்க*)
Limit[Sin[x] / x, x -> 0] (* x 0 ஆக இருக்கும் போது Sin[x] / x க்காన எல்லையின் மதிப்பை கண்டுபிடிக்கவூம்*)

• பயன்பாடுகள்: பயன்பாடுనుவரையறுக்க, நீங்கள் பின்வரும் அமைப்பை ఉపయోగிக்ககூடும்:

f[x_] := x^2
f (* 4 ను తిరిగి அளிக்கிறது*)

• இது f అయిన பயன்பாட்டை வரையறுக்கிறது. 'x_க்கு பிறகு 'x என்பது ఒక மாதிரியாகும். x ஒரு வாதம் என்றும் சாப்ட்வேர் जानகவே அது தேவையில்லை. := பயன்பாடு பிக்காட்டு ஒரு விசை வரையறைని ఉపయోగించి வரையறுப்கப்படுகிறது.

பட்டியல்

• వோల్ஃப்ராம் சாஃப்ட்வேரில் பட்டியல் முக்கிய உள்கட்டும் தகவல் ஆகும். અહીં కొన్ని வழிகள்:

list = {1, 2, 3, 4, 5};
Length[list] (* 5 யை திரும்பி அளிக்கும் *)
list] (* 1 ய திரும்பி அளிக்கும்*)
Append[list, 6] (* {1, 2, 3, 4, 5, 6}ய திரும்பி அளிக்கும் *)
Prepend[list, 0] (* {0, 1, 2, 3, 4, 5}ய திரும்பி அளிக்கும் *)
Map[f, list] (* பயன்பாட்டளிக்கும் பயன்பாட்டுக்கு பட்டியலின் உறுப்பிடுதுக்கு பயன்படுத்துகிறார்*)

தரவு காட்சி

• படங்கள்: சாஃப்ட்வேரை படங்களை வரையும் பல்வேறு பகுதகள் आहेत. சில ఉధாரணங்களு:

Plot[x^2, {x, -3, 3}] (* வரையை 3 லிருந்து 3 கு வரை x^2 வரையூகவூடு *)
ListPlot[{{1, 1}, {2, 4}, {3, 9}}] (* புள்ளிகளின் பட்டியலுருவப்படம் வரையூடு *)
Histogram[{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4}] (* அட்டாவானுவின் ஹிஸ்டோக்ராமை உருவாக்கவூடு *)

தரவுகள் ഇറக்குमती చేయడం

• வோல்ஃப்ராம் சாஃப்ட்வேர் பலแตกต่างான முகமதிகளில் இருந்து தரவுகளைப் இறக்குமதி செய்யவும் கூடும். சில உதாரணங்கள் இங்கே உள்ளன:

Import["data.csv", "CSV"] (* CSV ഫയലிலிருந்து தரவுகளை இறக்குமதி చేయவூடும் *)
Import["data.xlsx", "Data"] (* எக்செல் ఫైலிலிருந்து தரவுகளை இறக்குமதி చేయவூடும் *)

డేటా మార్పులు

• வால்ஃப್ರಾᱢ சாஃப்ட்வேரில் डेटा మార్ப்புకు பயன்பாடுகளுக்கான நிறைய பகுதிகள் உள்ளன. కొన్ని উদাহরণங்கள் இங்கே ఉన్నాయి:

Select[{1, 2, 3, 4, 5}, EvenQ] (* பட்டியலிலிருந்து கூட உருப்படிகளை திறக்கவூடு *)
Sort[{5, 2, 1, 4, 3}] (* பட்டியலை ஆர்டர் చేయవூடு *)
GroupBy[{{"a", 1}, {"b", 2}, {"a", 3}}, First] (* முதல் உருப்படிக்கு பட்டியல் సమూహப்பூடு *)

உதாரணங்கள்

• இங்கே வோல்ஃப్రామ్ சாஃப்ட்வேర్ను பயன்படுத்தி தரவுத் தொகுப்பను ஆய்வு செய்யக்கூடிய ஓர் உதாரணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

(* CSV ఫైயலில் இருந்து தரவு இறக்கமதி செய்க *)
data = Import["data.csv", "CSV"];

(* தரவின் औसतத்தை കണககுக *)
mean = Mean[data];

(* தரவின் සම්මதப் பதவிலிருந்து கண்டுபிடிக்கவூடும் *)
standardDeviation = StandardDeviation[data];

(* தரவை வரியவൂடு *)
Histogram[data, Automatic, "PDF"]