เรขาคณิตแบบยุคลิดและปริภูมิ

แน่นอน นี่คือบันทึกการศึกษาที่อัปเดต:

• เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติและความสัมพันธ์ของจุด เส้น พื้นผิว ของแข็ง และแอนะล็อกที่มีมิติสูงกว่า
• เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นระบบทางคณิตศาสตร์ที่อ้างถึงนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกแห่งอเล็กซานเดรีย ยุคลิด ซึ่งเขาอธิบายไว้ในตำราเกี่ยวกับเรขาคณิต: องค์ประกอบ
• องค์ประกอบของยุคลิดแนะนำระบบสัจพจน์แรก
• เรขาคณิตแบบยุคลิดเกี่ยวข้องกับการศึกษาของระนาบและรูปทรงตันโดยเฉพาะ โดยอิงจากชุดของสัจพจน์และทฤษฎีบท

ปริภูมิแบบยุคลิด

• ปริภูมิแบบยุคลิดคือปริภูมิพื้นฐานของเรขาคณิตคลาสสิก
• มีจุดมุ่งหมายเพื่อจำลองโลกทางกายภาพ
• เดิมทีมันเป็นปริภูมิสามมิติของเรขาคณิตแบบยุคลิด
• ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มีปริภูมิแบบยุคลิดของมิติจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ
• สำหรับมิติ 1 และ 2 สิ่งเหล่านี้เรียกว่าเส้นยุคลิดและระนาบยุคลิดตามลำดับ
• นักเรขาคณิตในกรีกโบราณได้แนะนำปริภูมิแบบยุคลิดสำหรับการสร้างแบบจำลองปริภูมิทางกายภาพของเรา
• พวกเขายืนยันคุณสมบัติบางอย่างของปริภูมิเป็นสัจพจน์ และพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ เป็นทฤษฎีบท
• ปริภูมิแบบยุคลิดสามารถกำหนดได้ตามสัจพจน์หรือสร้างทางคณิตศาสตร์
• การสร้างทางคณิตศาสตร์ถูกใช้โดยยุคลิด โดยอิงจากพิกัดคาร์ทีเซียนและเรขาคณิตวิเคราะห์
• มีการแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความของสัจพจน์ของปริภูมิแบบยุคลิดนั้นเทียบเท่ากับการสร้างทางคณิตศาสตร์

สัจพจน์และสัจพจน์

• เรขาคณิตแบบยุคลิดอิงตามชุดของสัจพจน์หรือสัจพจน์ซึ่งทำหน้าที่เป็นรากฐานสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบท
• สัจพจน์ดั้งเดิมห้าข้อของยุคลิด:
  • ส่วนของเส้นตรงสามารถวาดได้โดยเชื่อมต่อจุดสองจุดใดๆ
  • ส่วนของเส้นตรงใดๆ สามารถขยายออกไปอย่างไม่มีกำหนดในเส้นตรงได้
  • เมื่อกำหนดส่วนของเส้นตรงใดๆ วงกลมสามารถวาดได้โดยให้ส่วนนั้นเป็นรัศมีและจุดปลายด้านหนึ่งเป็นจุดศูนย์กลาง
  • มุมฉากทั้งหมดสอดคล้องกัน
  • ถ้าเส้นสองเส้นถูกวาดซึ่งตัดกับเส้นที่สามในลักษณะที่ผลรวมของมุมภายในด้านหนึ่งน้อยกว่าสองมุมฉาก ดังนั้นเส้นสองเส้นจะต้องตัดกันอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ในด้านนั้นหากขยายออกไปไกลพอ
• สัจพจน์ข้อที่ห้าหรือที่เรียกว่าสัจพจน์คู่ขนานเป็นที่ถกเถียงกันและนำไปสู่การพัฒนารูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

แนวคิดพื้นฐาน

• จุด: ตำแหน่งในปริภูมิที่ไม่มีมิติ
• เส้น: รูปหนึ่งมิติยาวตรงอนันต์ที่ไม่มีความกว้าง
• ระนาบ: พื้นผิวสองมิติเรียบที่ขยายออกไปอนันต์
• ส่วนของเส้นตรง: ส่วนหนึ่งของเส้นที่ถูกจำกัดโดยจุดสิ้นสุดที่แตกต่างกันสองจุด
• รังสี: ส่วนหนึ่งของเส้นที่เริ่มต้นที่จุดหนึ่งและขยายออกไปอนันต์ในทิศทางเดียว
• มุม: การวัดการหมุนระหว่างเส้นสองเส้นหรือรังสีที่ใช้จุดสิ้นสุดร่วมกัน

รูปร่างและตัวเลข

• สามเหลี่ยม: รูปหลายเหลี่ยมสามด้านที่มีสามมุม
  • ด้านเท่า: ทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน
  • หน้าจั่ว: สองด้านและสองมุมเท่ากัน
  • ด้านไม่เท่า: ทุกด้านและทุกมุมไม่เท่ากัน
  • ขวา: มีมุม 90 องศาหนึ่งมุม
• รูปสี่เหลี่ยม: รูปหลายเหลี่ยมสี่ด้านที่มีสี่มุม
  • สี่เหลี่ยมจัตุรัส: ทุกด้านเท่ากัน ทุกมุม 90 องศา
  • สี่เหลี่ยมผืนผ้า: ด้านตรงข้ามเท่ากัน ทุกมุม 90 องศา
  • สี่เหลี่ยมด้านขนาน: ด้านตรงข้ามขนานกันและเท่ากัน
  • สี่เหลี่ยมคางหมู: ด้านคู่ขนานข้างเดียว
• วงกลม: ชุดของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
• รูปหลายเหลี่ยม: รูปปิดที่เกิดจากส่วนของเส้นตรง
  • ปกติ: ทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน
  • ไม่สม่ำเสมอ: ด้านและมุมไม่เท่ากันทั้งหมด

ทฤษฎีบทและการพิสูจน์

• เรขาคณิตแบบยุคลิดใช้เหตุผลนิรนัยเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอิงจากสัจพจน์และสัจพจน์
• ทฤษฎีบทพื้นฐานบางอย่าง:
  • ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) เท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของอีกสองด้าน (a² + b² = c²)
  • ทฤษฎีบทผลรวมมุม: ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมคือ 180 องศา
  • ทฤษฎีบทมุมตรงข้าม: มุมตรงข้ามเท่ากัน
• ความสอดคล้อง: สองรูปสอดคล้องกันหากมีรูปร่างและขนาดเท่ากัน
• ความคล้ายคลึงกัน: สองรูปมีความคล้ายคลึงกันหากมีรูปร่างเหมือนกันแต่มีขนาดต่างกัน มุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วน

การประยุกต์ใช้เรขาคณิตแบบยุคลิด

• สถาปัตยกรรม: ใช้สำหรับการออกแบบอาคาร รับประกันความมั่นคงของโครงสร้างและความสวยงาม
• วิศวกรรม: ใช้ในวิศวกรรมโยธา เครื่องกล และไฟฟ้าสำหรับการก่อสร้างและการออกแบบต่างๆ
• การนำทาง: ใช้สำหรับการวัดระยะทางและมุม ซึ่งจำเป็นสำหรับการทำแผนที่และระบบนำทาง
• ศิลปะและการออกแบบ: ใช้สำหรับการสร้างมุมมองและสัดส่วนในภาพวาดและภาพเขียน
• คอมพิวเตอร์กราฟิก: ใช้ในการสร้างแบบจำลอง 2D และ 3D สำหรับแอปพลิเคชันต่างๆ เช่น เกม การจำลอง และความเป็นจริงเสมือน