મેટ્રિસિસ પરિચય

મેટ્રિસિસનો પરિચય

• ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં મેટ્રિક્સનું જ્ઞાન જરૂરી છે
• મેટ્રિક્સ ગણિતના સૌથી શક્તિશાળી સાધનોમાંનું એક છે
• આ ગાણિતિક સાધન સીધી પદ્ધતિઓની તુલનામાં આપણા કામને વધુ સરળ બનાવે છે
• મેટ્રિક્સની વિભાવનાનો વિકાસ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે કોમ્પેક્ટ અને સરળ પદ્ધતિઓ મેળવવાના પ્રયાસનું પરિણામ છે
• મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ માત્ર રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સહગુણકોના પ્રતિનિધિત્વ તરીકે થતો નથી, પરંતુ મેટ્રિક્સની ઉપયોગિતા તેનાથી ઘણી વધારે હોય છે
• મેટ્રિક્સ સંકેત અને કામગીરીનો ઉપયોગ પર્સનલ કોમ્પ્યુટર માટે ઇલેક્ટ્રોનિક સ્પ્રેડશીટ પ્રોગ્રામ્સમાં થાય છે, જે બદલામાં વ્યવસાય અને વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વપરાય છે જેમ કે બજેટિંગ, વેચાણનું પ્રોજેક્શન, ખર્ચનો અંદાજ, પ્રયોગના પરિણામોનું વિશ્લેષણ વગેરે
• મેગ્નિફિકેશન, રોટેશન અને પ્લેન થ્રૂ રિફ્લેક્શન જેવી ઘણી ભૌતિક કામગીરીઓને ગાણિતિક રીતે મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.
• મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ ક્રિપ્ટોગ્રાફીમાં પણ થાય છે
• આ ગાણિતિક સાધનનો ઉપયોગ માત્ર વિજ્ઞાનની અમુક શાખાઓમાં જ થતો નથી, પરંતુ આનુવંશિકતા, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર, આધુનિક મનોવિજ્ઞાન અને ઔદ્યોગિક વ્યવસ્થાપનમાં પણ થાય છે
• આ પ્રકરણમાં આપણે મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સ બીજગણિતના મૂળભૂત તત્વોથી પરિચિત થઈશું

મેટ્રિક્સ

• ધારો કે આપણે એ માહિતી વ્યક્ત કરવા ઈચ્છીએ છીએ કે રાધા પાસે 15 નોટબુક છે
• આપણે તેને [15] તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ, એ સમજણ સાથે કે કૌંસમાં રહેલી સંખ્યા [] એ રાધા પાસે રહેલી નોટબુકની સંખ્યા છે
• હવે, જો આપણે એ વ્યક્ત કરવું હોય કે રાધા પાસે 15 નોટબુક અને 6 પેન છે
• તો આપણે તેને [15 6] તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ, એ સમજણ સાથે કે પ્રથમ સંખ્યા [] એ નોટબુકની સંખ્યા છે જ્યારે બીજી સંખ્યા એ રાધા દ્વારા રાખવામાં આવેલી પેનની સંખ્યા છે.
• ધારો કે, આપણે રાધા અને તેની બે મિત્ર ફૌઝિયા અને સિમરન દ્વારા રાખવામાં આવેલી નોટબુક અને પેનની માહિતી નીચે મુજબ વ્યક્ત કરવી છે:
• રાધા પાસે 15 નોટબુક અને 6 પેન છે,
• ફૌઝિયા પાસે 10 નોટબુક અને 2 પેન છે,
• સિમરન પાસે 13 નોટબુક અને 5 પેન છે
• હવે આને કોષ્ટક સ્વરૂપે ગોઠવી શકાય છે
• પ્રથમ ગોઠવણીમાં પ્રથમ કૉલમમાંની એન્ટ્રીઓ રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસે રહેલી નોટબુકની સંખ્યા દર્શાવે છે, અને બીજી કૉલમમાંની એન્ટ્રીઓ રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસે રહેલી પેનની સંખ્યા દર્શાવે છે.
• સમાન રીતે બીજી ગોઠવણીમાં પ્રથમ હરોળમાંની એન્ટ્રીઓ રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસે રહેલી નોટબુકની સંખ્યા દર્શાવે છે.
• બીજી હરોળમાંની એન્ટ્રીઓ રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસે રહેલી પેનની સંખ્યા દર્શાવે છે
• આ પ્રકારની ગોઠવણીને મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે

૧ વ્યાખ્યા

• મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓ અથવા ફંક્શનની ગોઠવાયેલ લંબચોરસ એરે છે.
• સંખ્યાઓ અથવા કાર્યોને મેટ્રિક્સના તત્વો અથવા એન્ટ્રીઓ કહેવામાં આવે છે
• આપણે મેટ્રિક્સને કેપિટલ અક્ષરો વડે દર્શાવીએ છીએ
• ઉપરના ઉદાહરણોમાં તત્વોની આડી રેખાઓ હરોળ બનાવે છે અને તત્વોની ઊભી રેખાઓ મેટ્રિક્સના કૉલમ બનાવે છે.
• આમ Aમાં 3 હરોળ અને 2 કૉલમ છે,
• Bમાં 3 હરોળ અને 3 કૉલમ છે જ્યારે
• Cમાં 2 હરોળ અને 3 કૉલમ છે.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ

• m હરોળ અને n કૉલમ ધરાવતા મેટ્રિક્સને m × n ક્રમનો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે
• ઉપરના મેટ્રિક્સના ઉદાહરણોનો ઉલ્લેખ કરતા, આપણે કહી શકીએ કે A એ 3 × 2 મેટ્રિક્સ છે, B એ 3 × 3 મેટ્રિક્સ છે અને C એ 2 × 3 મેટ્રિક્સ છે
• A પાસે 3 × 2 = 6 તત્વો છે,
• B અને C પાસે અનુક્રમે 9 અને 6 તત્વો છે.
• સામાન્ય રીતે, m×n મેટ્રિક્સમાં નીચે મુજબ લંબચોરસ એરે હોય છે:
• આમ ith હરોળમાં a₁1, a₁2, a₁3..., ainના ઘટકો છે, જ્યારે jth કૉલમમાં a1j, a2j, a3j..., amj ના ઘટકો હોય છે
• સામાન્ય રીતે aij એ ith હરોળ અને jth કૉલમમાં આવેલું તત્વ છે જેને આપણે A ના (i, j)th તત્વ તરીકે પણ કહી શકીએ છીએ
• m × n મેટ્રિક્સમાં તત્વોની સંખ્યા mn જેટલી હોય છે
• નોંધ આ પ્રકરણમાં:
• આપણે એ સંકેતનું પાલન કરીશું કે A = [aij]m×n સૂચવે છે કે A એ m × n ક્રમનો મેટ્રિક્સ છે
• આપણે ફક્ત એવા મેટ્રિક્સ ગણીશું જેના ઘટકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા વાસ્તવિક મૂલ્યો લેતા કાર્યો હોય છે
• આપણે કોઈ પણ બિંદુ (x, y)ને મેટ્રિક્સ (કૉલમ અથવા હરોળ) તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ
• ઉદાહરણ તરીકે બિંદુ P(0, 1)ને મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે
• અવલોકન કરો કે આ રીતે આપણે બંધ રેક્ટિલિનિયર આકૃતિના શિરોબિંદુઓને પણ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ
• ઉદાહરણ તરીકે ચતુર્ભુજ ABCDનો વિચાર કરો જેના શિરોબિંદુઓ A (1, 0), B (3, 2), C (1, 3), D (−1, 2) છે
• હવે ચતુર્ભુજ ABCDને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે
• આમ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ સમતલમાં ભૌમિતિક આંકડાઓના શિરોબિંદુઓના પ્રતિનિધિત્વ તરીકે પણ કરી શકાય છે

ઉદાહરણ

• ૩ કંપનીમાં કામ કરતી સ્ત્રી અને પુરુષ કર્મચારીઓની માહિતી નીચે મુજબ છે: ફેક્ટરી I, II અને III
• આ માહિતીને 3×2 મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરો અને ત્રીજી હરોળ અને બીજા કૉલમમાં આવેલી એન્ટ્રી શું દર્શાવે છે?
• ઉકેલ : આપેલી માહિતીને 3×2 મેટ્રિક્સ દ્વારા નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવી છે:
• ત્રીજી હરોળ અને બીજા કૉલમમાં આવેલી એન્ટ્રી ફેક્ટરી IIIમાં સ્ત્રી કર્મચારીઓની સંખ્યા દર્શાવે છે

ઉદાહરણ

• જો મેટ્રિક્સમાં 8 તત્વો હોય તો તેના શક્ય ઓર્ડર શું હોઈ શકે?
• ઉકેલ : આપણે જાણીએ છીએ કે જો મેટ્રિક્સનો ઓર્ડર m × n હોય તો તેમાં mn તત્વો હોય છે
• આમ 8 તત્વો સાથેના મેટ્રિક્સના તમામ શક્ય ઓર્ડર શોધવા માટે આપણે કુદરતી સંખ્યાઓની તમામ ઓર્ડર્ડ જોડીઓ શોધીશું, જેનું ગુણાકાર 8 હોય
• આમ તમામ શક્ય ઓર્ડર્ડ જોડીઓ (1, 8), (8, 1), (4, 2), (2, 4) છે
• તેથી, શક્ય ઓર્ડર 1 × 8, 8 ×1, 4 × 2, 2 × 4 છે

ઉદાહરણ

• 3 × 2 મેટ્રિક્સ બનાવો જેના તત્વો સૂત્ર aij = ½ |i-3j| દ્વારા આપવામાં આવ્યા હોય.
• ઉકેલ : સામાન્ય રીતે, 3 × 2 મેટ્રિક્સને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
• હવે સૂત્ર aij = ½ |i-3j|, i = 1, 2, 3 અને j = 1, 2નો ઉપયોગ કરીને આપણને મળે છે
• તેથી માગેલ મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ મળશે

મેટ્રિક્સના પ્રકાર

• આ વિભાગમાં આપણે મેટ્રિક્સના વિવિધ પ્રકારો વિશે ચર્ચા કરીશું

કૉલમ મેટ્રિક્સ

• જે મેટ્રિક્સમાં ફક્ત એક જ કૉલમ હોય તેને કૉલમ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

હરોળ મેટ્રિક્સ

• જે મેટ્રિક્સમાં ફક્ત એક જ હરોળ હોય તેને હરોળ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે

Square મેટ્રિક્સ

• જે મેટ્રિક્સમાં હરોળની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા સમાન હોય તેને સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે
• આમ m=n હોયતો m × n મેટ્રિક્સને સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે અને તેને ‘n’ ક્રમના સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે
• દાખલા તરીકે અહીં દર્શાવેલ મેટ્રિક્સ એ 3 ક્રમનો સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ છે.

ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ

• સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ B = [bij]mxm ને ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે, જો તેના બધા બિન-ડાયગોનલ તત્વો શૂન્ય હોય, એટલે કે મેટ્રિક્સ B = [bij] ને ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે, જો bij = 0 હોય, જ્યારે i ≠ j હોય.

સ્કેલર મેટ્રિક્સ

• ડાયગોનલ મેટ્રિક્સને સ્કેલર મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો તેના ડાયગોનલના તત્વો સમાન હોય, એટલે કે સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ B = [bij]nxn ને સ્કેલર મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો
• bij = 0 હોય, જ્યારે i ≠ j હોય
• bij = k હોય, જ્યારે i = j હોય, કેટલાક અચળ k માટે
• આ ત્રણે સ્કેલર મેટ્રિક્સ ૧, ૨ અને ૩ ક્રમના સ્કેલર મેટ્રિક્સ છે

આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ

• સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ કે જેમાં ડાયગોનલના બધા ઘટકો 1 હોય અને બાકીના બધા શૂન્ય હોય તેને આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે બીજા શબ્દોમાં સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ A = [aij]nxn એ આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ છે, જો

• આપણે n ક્રમના આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સને In દ્વારા દર્શાવીએ છીએ

• જ્યારે પણ ક્રમ સ્પષ્ટ હોય ત્યારે મેટ્રિક્સને I તરીકે લખી શકાય

શૂન્ય મેટ્રિક્સ

• જો તેના બધા ઘટકો શૂન્ય હોય તો મેટ્રિક્સને શૂન્ય મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે
• દાખલા તરીકે અહીં દર્શાવેલ મેટ્રિક્સો એ 0 ક્રમવા આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ છે જેને O વડે દર્શાવાય છે અને આપણે તેના ક્રમ વિશે માહિતી તેના સંદર્ભ પરથી મળે છે

મેટ્રિક્સની સમાનતા

• બે મેટ્રિક્સ A = [aij] અને B = [bij] સમાન કહેવાય છે જો
• તેઓ સમાન ક્રમના હોય
• Aનો દરેક ઘટક Bના અનુરૂપ ઘટક સમાન હોય, એટલે કે બધા j અને i માટે aij = bij હોય