Tweedegraadsfuncties 2023-2024 PDF
Document Details
Uploaded by SensitiveAutomatism8629
VLOT! campus Sint-Laurentius
J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters
Tags
Summary
This document describes quadratic functions, including their definitions, properties, and transformations. It covers topics such as domain, range, and graphing techniques. Examples of functions are shown and explained.
Full Transcript
Wiskunde W4TEW - 4NAWE 2023 - 2024 Tweedegraadsfuncties 1. Wat ken je al? Een functie is een verband tussen twee variabelen waarbij voor elke waarde van de onafhankelijke variabele hoogstens één waarde voor de afhankelijke variabel...
Wiskunde W4TEW - 4NAWE 2023 - 2024 Tweedegraadsfuncties 1. Wat ken je al? Een functie is een verband tussen twee variabelen waarbij voor elke waarde van de onafhankelijke variabele hoogstens één waarde voor de afhankelijke variabele bestaat. Anders gezegd: als x de onafhankelijke variabele is en y de afhankelijke variabele voorstelt, hoort bij elke x-waarde hoogstens één y-waarde. Om te onderzoeken of een grafiek bij een functie hoort, kun je de verticale lijntest uitvoeren. Heeft een grafiek nooit meer dan één snijpunt met een verticale, dan is het de grafiek van een functie. Een functie f in de veranderlijke x kan je voorstellen op vier manieren: 1 een verwoording 2 een (waarden)tabel 3 een grafiek met vergelijking y =... 4 een formule of voorschrift f (x) =... Het domein van een functie is de verzameling van alle invoerwaarden waarvoor er een functiewaarde bestaat. Als je de grafiek van de functie loodrecht projecteert op de x-as kan je het domein aflezen als het resultaat van deze projectie. Het bereik of beeld van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. Als je de grafiek van de functie loodrecht projecteert op de y-as kan je het domein aflezen als het resultaat van deze projectie. Een eerstegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax + b met a, b ∈ R en a , 0. De onafhankelijke variabele x heeft als hoogste exponent 1. In een tabel van een eerstegraadsfunctie hoort bij een gelijke toename van de onafhankelijke variabele een gelijke toename van de functiewaarden. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 1/9 Bij een eerstegraadsfunctie met voorschrift f (x) = ax + b is a het differentiequotiënt over elk interval [x1 , x2 ]. We noemen a ook de richtingscoëfficiënt van de functie. Anders gezegd: de richtingscoëfficiënt van een eerstgraadsfunctie is een getal dat aangeeft hoe de functiewaarden veranderen als de onafhankelijke variable met 1 toeneemt. De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een schuine rechte (d.w.z. niet evenwijdig met de assen). Als de richtingscoëfficiëntvan een eerstegraadsfunctie positief is, dan is de grafiek een stijgende rechte, is hij negatief, dan is de grafiek een dalende rechte. 2. Tweedegraadsfuncties Definitie: Een tweedegraadsfunctie is een functie met volgende kenmerken op het gebied van voorschrift, tabel en grafiek. Het functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie is van de vorm f (x) = ax2 + bx + c met a, b, c ∈ R en a , 0. Het drukt een kwadratisch verband uit. In een tabel hoort bij een gelijke toename van de invoerwaarden een zelfde verschil in verandering van de functiewaarden. De grafiek is een parabool met vergelijking y = ax2 + bx + c. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 2/9 3. Transformaties van tweedegraadsfuncties f (x) = x2 De grafiek is een dalparabool. Vergelijking van de symmetrieas s : s ↔ x = 0 (symmetrieas is dus de y-as). Coördinaat van de top T: (0, 0). De top is het snijpunt van de parabool en de symmetrieas. In wat volgt, gaan we steeds uit van de grafiek van f (x) = x2 en kijken we welke transformaties deze grafiek moet ondergaan om tot de grafiek van de gegeven functie te komen. g1 (x) = ax2 verticale uitrekking met factor … Als a < 0 wordt y = x2 eerst gespiegeld om de x-as. Als a < 0 dan is de grafiek een bergparabool. Ĭ Als a > 0 dan is de grafiek een dalparabool. ī Is |a| > 1, dan wordt y = x2 verticaal uitgerekt met factor |a|. De opening van de parabool wordt smaller. Hoe groter |a|, hoe smaller. 1 Is 0 < |a| < 1, dan wordt y = x2 verticaal samengedrukt met factor. De opening van |a| de parabool wordt breder. Hoe kleiner |a|, hoe breder. Vergelijking van de symmetrieas s : s ↔ x = 0 (symmetrieas is dus de y-as). Coördinaat van de top T: (0, 0). g2 (x) = a(x − α)2 verticale uitrekking met factor … horizontale verschuiving over afstand |α| Als a < 0 wordt y = x2 eerst gespiegeld om de x-as. Als a < 0 dan is de grafiek een bergparabool. Ĭ Als a > 0 dan is de grafiek een dalparabool. ī Is |a| > 1, dan wordt y = x2 verticaal uitgerekt met factor |a|. De opening van de parabool wordt smaller. Hoe groter |a|, hoe smaller. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 3/9 1 Is 0 < |a| < 1, dan wordt y = x2 verticaal samengedrukt met factor. De opening van |a| de parabool wordt breder. Hoe kleiner |a|, hoe breder. Is α > 0, dan wordt y = ax2 horizontaal verschoven over afstand |α| naar rechts. Is α < 0, dan wordt y = ax2 horizontaal verschoven over afstand |α| naar links. Vergelijking van de symmetrieas s : s ↔ x = α. Coördinaat van de top T: (α, 0). g3 (x) = ax2 + β verticale uitrekking met factor … verticale verschuiving over afstand |β| Als a < 0 wordt y = x2 eerst gespiegeld om de x-as. Als a < 0 dan is de grafiek een bergparabool. Ĭ Als a > 0 dan is de grafiek een dalparabool. ī Is |a| > 1, dan wordt y = x2 verticaal uitgerekt met factor |a|. De opening van de parabool wordt smaller. Hoe groter |a|, hoe smaller. 1 Is 0 < |a| < 1, dan wordt y = x2 verticaal samengedrukt met factor. De opening van |a| de parabool wordt breder. Hoe kleiner |a|, hoe breder. Is β > 0, dan wordt y = ax2 verticaal verschoven over afstand β naar boven. Is β < 0, dan wordt y = ax2 verticaal verschoven over afstand β naar onder. Vergelijking van de symmetrieas s : s ↔ x = 0.(symmetrieas is dus de y-as). Coördinaat van de top T: (0, β). J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 4/9 g(x) = a(x − α)2 + β verticale uitrekking met factor … horizontale verschuiving over afstand |α| verticale verschuiving over afstand |β| Als a < 0 wordt y = x2 eerst gespiegeld om de x-as. Als a < 0 dan is de grafiek een bergparabool. Ĭ Als a > 0 dan is de grafiek een dalparabool. ī Is |a| > 1, dan wordt y = x2 verticaal uitgerekt met factor |a|. De opening van de parabool wordt smaller. Hoe groter |a|, hoe smaller. 1 Is 0 < |a| < 1, dan wordt y = x2 verticaal samengedrukt met factor. De opening van |a| de parabool wordt breder. Hoe kleiner |a|, hoe breder. Is α > 0, dan wordt y = ax2 horizontaal verschoven over afstand |α| naar rechts. Is α < 0, dan wordt y = ax2 horizontaal verschoven over afstand |α| naar links. Is β > 0, dan wordt y = ax2 verticaal verschoven over afstand β naar boven. Is β < 0, dan wordt y = ax2 verticaal verschoven over afstand β naar onder. Vergelijking van de symmetrieas s : s ↔ x = α. Coördinaat van de top T: (α, β). Opgelet! Naargelang de volgorde waarin de transformaties worden uitgevoerd, kan je een ander voorschrift krijgen. Gebruik het Geogebrabestand in het klasteam om vertrouwd te raken met deze trans- formaties. Zie ook boek p 65 - 76. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 5/9 4. Opstellen van een functievoorschrift (deel 1) en tekenen van de grafiek Zie boek p 77 - 78. 5. De functie met voorschrift f (x) = ax2 + bx + c Eigenschap: Een functie van de vorm f (x) = ax2 + bx + c kan steeds geschreven worden in de vorm f (x) = a(x − α)2 + β en omgekeerd. Bewijs: f (x) = a(x − α)2 + β = a(x2 − 2αx + α2 ) + β (uitwerken merkwaardig product) = ax2 − 2aαx + aα2 + β (distributiviteit) = ax2 + bx + c (Stel b = −2aα en c = aα2 + β) Omgekeerd geldt: f (x) = ax2 + bx + c b c = a(x2 + x + ) (a afzonderen) a a b c = a(x + 2 x + ) 2 (vermenigvuldigen met 2 en delen door 2) 2a a ! b b 2 b 2 c =a x +2 x+ 2 − + (Aanvullen tot merkwaardig product.) 2a 2a 2a a ! b 2 b2 c =a x+ − 2+ (merkwaardig product + uitwerken kwadraat) 2a 4a a b 2 b2 =a x+ − +c (distributiviteit) 2a 4a b 2 4ac − b2 =a x− − + ( Op gelijke noemer zetten.) 2a 4a b 4ac − b2 = a(x − α)2 + β (Stel α = − en β = ) 2a 4a □ J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 6/9 Overzicht f (x) = a(x − α)2 + β f (x) = ax2 + bx + c Vorm a > 0: dalparabool a > 0: dalparabool a < 0: bergparabool a < 0: bergparabool b Symmetrieas s↔x=α s↔x=− 2a ! Top T(α, β) b b T − ,f − 2a 2a ! b 4ac − b2 T − , 2a 4a ! b −D T − , 2a 4a Zie ook boek p 81 - 83. 6. Minimum - maximumproblemen Bij minimum en maximumproblemen wordt gezocht naar de minimale of maximale waarde van een veranderlijke of een grootheid. Deze vraagstukken worden ook extremum- problemen genoemd. Om een extremumvraagstuk op te lossen, kun je als volgt te werk gaan: 1 Stel datgene wat je wil minimaliseren of maximaliseren gelijk aan de afhankelijke variabele (vb. y). 2 Stel datgene waarvan de afhankelijke variabele afhangt gelijk aan de onafhankelijke variabele (vb. x). 3 Schrijf de afhankelijke variabele in functie van de onafhankelijke variabele (vb. y = f (x)). 4 Bepaal het minimum of maximum van f (x). Vergeet niet te controleren of de bijho- rende x-waarde zinvol is binnen het gestelde probleem. 5 Vertaal de oplossing naar het concrete probleem. Voorbeeld: zie boek p 84 oefening 32. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 7/9 7. Opstellen van functievoorschriften - deel 2 Om het voorschrift te bepalen van een tweedegraadsfunctie waarvan enkele punten ge- geven zijn, onderscheiden we twee gevallen. 1 De coördinaat van de top is gegeven Gebruik het functievoorschrift van de vorm f (x) = a(x − α)2 + β. Vul de top in in het voorschrift en kies een ander punt dat aan de voorschrift moet voldoen om a te bepalen. 2 De coördinaat van de top is niet gegeven Gebruik het functievoorschrift van de vorm f (x) = ax2 + bx + c. Druk uit dat de gege- ven punten voldoen aan het voorschrift. Je krijgt een stelsel ter bepaling van a, b en c. Let op symmetrische eigenschappen, ze kunnen het stelsel dikwijls vereen- voudigen. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 8/9 8. Tekenen van de grafiek van f (x) = ax2 + bx + c Methode Voorbeeld f (x) = ax2 + bx + c f (x) = x2 + 2x − 3 1 Vorm: a > 0: dalparabool 1 a = 1 > 0 ⇒ dalparabool a < 0: bergparabool b b 2 2 Symmetrieas: s ↔ x = − 2 − =− = −1 ⇝ s ↔ x = −1 2a 2a 2.1 ! b b b 3 Top: T − , f − 3 f − = f (−1) = −4 en dus T(−1, −4) 2a 2a 2a 4 Snijpunt met de y-as: S y (0, c) 4 S y (0, −3) 5 Tabel symmetrisch t.o.v. de top 5 x − 2a b −1 − 2a b − 2a b +1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 f (x) b f (− 2a − 1) b f (− 2a ) b f (− 2a + 1) f (x) 5 0 -3 -4 -3 0 5 6 y 8 7 6 5 4 3 2 6 Grafiek 1 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 T −4 J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 9/9