Tema 2.2 Triángulos Grupo3 PDF

Tema 2: Geometría plana 1. Componentes elementales de las figuras geométricas 2. Polígonos en el plano 3. Teorema de Thales. Poliedros 2. Polígonos en el plano: Triángulos  Triángulo Definición 1: Dados tres puntos en el p...

Tema 2: Geometría plana 1. Componentes elementales de las figuras geométricas 2. Polígonos en el plano 3. Teorema de Thales. Poliedros 2. Polígonos en el plano: Triángulos  Triángulo Definición 1: Dados tres puntos en el plano no alineados, A, B y C , el triángulo de vértices A, B y C es la intersección del semiplano de contorno AB que contiene a C, con el semiplano de contorno BC que contiene a A y el semiplano de contorno CA que contiene a B. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐶𝐶 ∩ 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ∩ (𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐵𝐵)  Triángulo Definición 2: Porción del plano limitada por una poligonal cerrada formada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Polígono de tres lados  Triángulo ¿Se puede construir un polígono de tres lados cóncavo? Esto NO es un triángulo. Tampoco es POLÍGONO Todos los triángulos son polígonos convexos  Elementos notables de un triángulos Ángulo interior o interno: Es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un vértice común, está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene solo un ángulo interno por cada vértice. Ángulo exterior o externo: Es el formado por un lado de la figura y la prolongación de su lado continuo. El ángulo se forma fuera del polígono, El ángulo exterior e interior de un mismo vértice suman 180º.  Propiedades de los triángulos  1. Suma de los ángulos interiores: En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos (es decir, 180º) 𝑩𝑩𝑩𝑩– 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒄𝒄 > 𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄 – 𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒄𝒄  Tarea Con un hilo de 30 cm hacemos el cuadrado de la imagen. Si quisiéramos hacer un triángulo isósceles, ¿cuándo medirían sus lados? http://www.ricardovazquez.es/  Tarea Con un hilo de 30 cm hacemos el cuadrado de la imagen. Si quisiéramos hacer un triángulo isósceles, ¿cuándo medirían sus lados? http://www.ricardovazquez.es/  Propiedades de los triángulos  3. Teorema del ángulo exterior: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. ∠𝑄𝑄′ = ∠𝑅𝑅 + ∠𝑃𝑃 R P Q Ángulo interior Q’ Lo anterior es una prueba, pero no se Ángulo exterior trata exactamente de una demostración rigurosa  Propiedades de los triángulos  4. Teorema de la suma de ángulos exteriores: Los ángulos exteriores de cualquier polígono siempre sumarán 360°. Por el teorema anterior: R R’ P ∠𝑄𝑄′ = ∠𝑅𝑅 + ∠𝑃𝑃 P’ ∠𝑃𝑃′ = ∠𝑄𝑄 + ∠R ∠𝑅𝑅′ = ∠𝑃𝑃 + ∠Q Q ∠𝑄𝑄′ + ∠𝑃𝑃′ + ∠𝑅𝑅′ = 2∠𝑃𝑃 + 2∠Q+2∠R Q’ Ángulo exterior ∠𝑄𝑄′ + ∠𝑃𝑃′ + ∠𝑅𝑅′ = 2(∠𝑃𝑃 + ∠Q+∠R) ∠𝑄𝑄′ + ∠𝑃𝑃′ + ∠𝑅𝑅′ = 2(180°)=360° http://filemon.upct.es/~pepemar/triangulo/conceptos.htm  Tarea Calcular 𝛼𝛼  Propiedades de los triángulos  5. Proposición En todo triángulo, la mayor lado se le opone el mayor ángulo.  Propiedades de los triángulos  6. Proposición: Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.  Tarea Calcula la amplitud del ángulo 𝛼𝛼 señalado en cada figura.  Tarea Calcula la amplitud del ángulo 𝛼𝛼 señalado en cada figura.  Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos. Según la medida de sus lados y ángulos ESCALENO ISÓSCELES EQUILÁTERO (3 lados distintos. 3 (al menos 2 lados (3 lados iguales, 3 ángulos distintos) iguales, al menos 2 ángulos iguales) ángulos iguales)  Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos. Según la medida de sus ángulos =Ángulos agudos OBTUSÁNGULO ACUTÁNGULO RECTÁNGULO 27  Clasificación de los triángulos Equilátero Isósceles Escaleno Acutángulo Rectángulo Obtusángulo 28  POLÍGONOS De 3 lados TRIÁNGULOS Al menos dos lados congruentes Ningún lado Congruente TRIÁNGULO TRIÁNGULO ISÓSCELES Un ángulo recto ESCALENO Tres lados congruentes TRIÁNGULO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EQUILÁTERO Tres ángulos agudos Un ángulo obtuso Un ángulo TRIÁNGULO obtuso ACUTÁNGULO TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO  Dificultades de la definición de triángulo ISÓSCELES DEFINICIÓN Clasificación por Partición/Exclusión tiene dos lados iguales y uno desigual Triángulos Triángulos Triángulos Equiláteros Isósceles Escalenos tiene al menos dos lados iguales Clasificación por Inclusión/Jerárquica Triángulos Triángulos Triángulos Equiláteros Isósceles El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo isósceles. De hecho es un triángulo isósceles, triángulo con dos lados de igual longitud, con la particularidad de que el tercer lado también tiene la misma longitud. Usiskin, Griffin, Witonsky, & Willmore (2008).  Reflexión Como estudiante: Como futuro maestro/a: ¿Qué definición de triángulo ¿Cuáles son los beneficios para equilátero prefieres? ¿Por qué? maestros y estudiantes el uso ¿Es un triángulo equilátero un de la clasificación por triángulo escaleno? exclusión? ¿Cuáles son los inconvenientes? Criterios de igualdad de triángulos Postulados de congruencia  Propiedades de los triángulos Postulados de Congruencia Dos triángulos son iguales cuando:  7. tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes (ALA).  8. tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos (LAL)  9. tienen los tres lados iguales (LLL). En Matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación, es decir, si existe una isometría que los relaciona: traslación, rotación o reflexión.  Propiedades de los triángulos Postulados de semejanza Dos triángulos son semejantes si:  10. sus lados correspondientes son proporcionales. (LLL)  11. dos ángulos interiores correspondientes son congruentes. (AAA)  12. tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes. (LAL) Elementos notables del triángulo  Elementos notables de un triángulo Altura Tarea a. Realice dos representaciones gráfica en papel de altura de un triángulo. b. Escriba la definición.  Elementos notables de un triángulo Altura Tarea a. Realice dos representaciones gráfica en papel de altura de un triángulo. b. Escriba la definición. Indica mediante B el vértice opuesto al lado b de cada triángulo. Traza después un segmento que vaya perpendicular desde el vértice opuesto al lado b hasta este lado (b) o su prolongación. b b  Elementos notables de un triángulo Alturas  Definición: son las rectas perpendiculares trazadas por el vértice al lado opuesto.  Las tres alturas se cortan en un único punto llamado ORTOCENTRO. https://www.youtube.com/watch?v=YUEQKO3cC-8&t=5s  Elementos notables de un triángulo Alturas A partir del triángulo isósceles y cambiando sólo el vértice superior, se construyen otros triángulos con la misma base y la misma altura. Discutir el caso de los triángulos rectángulo y obtusángulo  con esta actividad se logra, en mayor medida, una buena imagen del concepto de altura de un triángulo. Qué altura tienen estos triángulos? ¿Qué podemos deducir sobre la situación del ortocentro y las alturas con respecto a los distintos triángulos, esto es, rectángulos, acutángulos y obtusángulos? ¿son siempre interiores?  Elementos notables de un triángulo Alturas Triángulo Triángulo Obtusángulo 44 Rectángulo  Elementos notables de un triángulo PARA RECORDAR. Todo triángulo tiene un solo ortocentro. Si es RECTÁNGULO está en el vértice del ángulo recto. Es un punto interior si el triángulo es ACUTÁNGULO. Es un punto exterior si el triángulo es OBTUSÁNGULO. Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo): Si es RECTÁNGULO la altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo. Si es ACUTÁNGULO las tres alturas son interiores al triángulo. Si es OBTUSÁNGULO la altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo. 45  Elementos notables de un triángulo Medianas  Definición: Son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.  Las tres medianas se cortan en un único punto llamado BARICENTRO que es el centro de gravedad del triángulo Triángulo Triángulo Triángulo Rectángulo Obtusángulo Acutángulo https://www.youtube.com/ 46 watch?v=ACYD6gFUTPA  Elementos notables de un triángulo Medianas  El baricentro siempre se sitúa a dos tercios de la distancia entre el vértice y el punto medio del lado opuesto.  Con los vértices, puntos medios y baricentro se crean tres cuadriláteros con áreas iguales. Por eso es el baricentro es el centro de gravedad. 47  Elementos notables de un triángulo Medianas PARA RECORDAR. No hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo 48  Elementos notables de un triángulo Mediatrices  Definición: son las rectas perpendiculares a cada lado trazadas por su punto medio.  Las tres mediatrices se cortan en un punto único llamado CIRCUMCENTRO, que es el centro de la circunferencia circunscrita. 49 https://www.youtube.com/watch?v=AtnRBzHxSjs https://www.geogebra.org/m/XrmfvECj  Elementos notables de un triángulo Mediatrices PARA RECORDAR. Un CIRCUMCENTRO puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo): Triángulo rectángulo: circumcentro en el punto medio de la hipotenusa. Triángulo obtusángulo: circumcentro en el exterior del triángulo. Triángulo acutángulo: circumcentro en interior del triángulo. 50  Elementos notables de un triángulo Bisectrices  Definición son las semirrectas que dividen cada ángulo del triángulo en dos ángulos iguales.  Las tres bisectrices se cortan en un punto único llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita El INCENTRO de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo https://www.geogebra.org/m/v6MetgS7 https://www.youtube.com/watch?v=2muWPlyGr8M  Elementos notables de un triángulo Recta de Euler  Definición: es la recta que pasa por el Ortocentro, Baricentro y Circumcentro Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). 52 Obstáculos y errores en la E-A de las figuras geométricas  Distractores conceptuales Distractores de orientación Analicemos la respuesta a esta pregunta:  Distractores de orientación son todas aquellas propiedades visuales que se incluyen en el esquema conceptual del alumno y que no tienen nada que ver con la definición del concepto dificultando su comprensión.  Distractores conceptuales Distractores de orientación Por ejemplo, el ángulo obtuso es presentado con un lado horizontal paralelo al borde inferior del libro Este tipo de imagen es la más común en libros de texto y otros documentos de geometría, de tal forma que los alumnos tienen como único ejemplo de triángulo obtusángulo el apoyado sobre el ángulo obtuso.  Distractores conceptuales Distractores de orientación López, Manuel & Fernández, Idalgo & López, Marco. (2014). Revista Premisa, 16. 24-35.  Distractores conceptuales Distractores de estructuración  Distractores de estructuración se pueden definir como las representaciones de un concepto en el que ciertas propiedades y elementos son excluidos, en principio, sin intencionalidad. Por ejemplo, la presentación de los triángulos isósceles con los lados iguales siempre más grande que el lado desigual y siempre apoyado sobre este lado.  Distractores conceptuales Distractores de estructuración López, Manuel & Fernández, Idalgo & López, Marco. (2014). Revista Premisa, 16. 24-35.  Distractores conceptuales Distractores de las definiciones  Distractores de las definiciones ocurren cuando ciertos objetos geométricos se pueden definir de formas diferentes y llevar a los alumnos a graves confusiones Los errores pueden ser también ocasionados por las interpretaciones distintas que se le da a la misma expresión gramatical. Así la definición de triángulo isósceles como aquel que tiene dos lados iguales puede ser interpretada como que dos lados son iguales y uno desigual o bien que tiene dos lados iguales y el otro puede ser desigual o no. En esta última definición el triángulo equilátero se podría incluir como isósceles.  Distractores conceptuales Distractores de las definiciones Por ejemplo, las definiciones de la altura de un triángulo como tiene dos acepciones: bien como segmentos (en textos de Primaria) o bien como rectas (textos de E.S.O.). Si las definimos como segmentos no podríamos deducir la propiedad de que “las tres alturas se cortan en un punto”, ya que para el caso del triángulo obtuso no se cumpliría. Teorema de Thales  Teorema de Thales Teorema 1: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.  Teorema de Thales La existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos lleva aparejada una necesaria proporcionalidad entre sus lados. Eso significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro. En la figura la relación entre los lados A y B es la misma que entre D y C. 𝐴𝐴 𝐷𝐷 = 𝐵𝐵 𝐶𝐶  Teorema de Thales Ejemplos de problemas y actividades  Teorema de Thales Tarea ¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre? Nota: El chico ve la torre reflejada en el agua.  Teorema de Thales Tarea ¿Cuál es la altura de la secuoya?  Teorema de Thales Teorema 2: Si tres o más paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 ′ ′ = ′ ′= ′ ′ 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐴𝐴 𝐶𝐶 14 𝑥𝑥 = por tanto 10 4 𝑥𝑥 = 5,6𝑐𝑐𝑐𝑐  Teorema de Thales Tarea Las baldas de una repisa representada en la figura son paralelos. Calcula las longitudes de la repisa representadas como x e y. Teorema de Pitágoras  Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras: sea un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos De esta definición se sigue que conocidos dos lados, se puede calcular el tercero: Teorema de Pitágoras