Тема 1 PDF

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Информация вокруг нас С самого начала истории человечества возникла потребность передачи и хранения информации. В настоящее время постоянно нарастает поток информации. Развитие науки, превращение ее в...

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Информация вокруг нас С самого начала истории человечества возникла потребность передачи и хранения информации. В настоящее время постоянно нарастает поток информации. Развитие науки, превращение ее в непосредственную производительную силу, в достояние каждого человека сопровождается увеличением информации. 2 Информация – что это? 3 аспекта раскрытия понятия Информация: Гносеологический аспект Функциональный аспект Деятельностный аспект 3 Информация, Сообщения, данные Информация — сведения о лицах, предметах, фактах, событиях, явлениях и процессах независимо от формы их представления Сообщение — форма представления информации в виде речи, текста, изображения, таблиц и т.д. Знания — зафиксированная и проверенная практикой информация, которая может многократно использоваться людьми для решения тех или иных задач. Данные — сведения, представленные в определенной знаковой системе и на материальном носителе для обеспечения хранения, передачи, приема и обработки. 4 Взаимосвязь данных, информации и знаний 5 Формы представления информации текстов, рисунков, чертежей, фотографий; световых или звуковых сигналов; радиоволн; электрических и нервных импульсов; магнитных записей; жестов и мимики; запахов и вкусовых ощущений; хромосом, посредством которых передаются по наследству признаки и свойства организмов и т.д. 6  Формы представления информации Аналоговая (непрерывная)) Дискретная Аналоговые технические средства Цифровые технические средства обработки информации обработки информации 7 Вся информация в ПК представляется в виде двоичного кода – последовательности 0 и 1. Тип информации Человек Компьютер Двоичный код Последовательность электрических импульсов Числовая 5 00000101 00000101 Текстовая А 11000000 11000000 Графическая 00000000 00000000 Звуковая Звук 11111111 11111111 максимальной громкости 8 Единицы измерения информации 1 бит это 0 или 1 1 байт = 8 бит 1 Кб (килобайт)= 2 10 байт = 1024 байт 1 Мб (мегабайт)= 2 10 Кб = 220 байт 1 Гб (гигабайт) = 2 10 Мб = 230 байт 1 Тб (терабайт) = 2 10 Гб = 240 байт 1 Пб (петабайт)= 2 10 Тб = 250 байт 1 Эб (эксабайт)= 2 10 Пб = 260 байт Соотношение между единицами измерения количества информации представляют собой степени двойки; 1 байт = 8 бит = 23 бит; 1 Кбайт = 1024 байт = 210 байт = 210 23 бит = 213 бит 9 Кодирование текстовой информации Кодировка - правило сопоставления двоичного кода и символа – буквы алфавита. Для хранения двоичного кода одного символа обычно выделяется 1 байт = 8 бит, иногда 2 байта или 16 бит. Кодирование заключается в том, что каждому символу ставится в соответствие уникальный десятичный код от 0 до 255 или соответствующий ему двоичный код от 00000000 до 11111111. 10  Кодировка ASСII В системе ASCII закреплены две таблицы кодирования — базовая и расширенная. Базовая таблица закрепляет значения кодов от 0 до 127, а расширенная относится к символам с номерами от 128 до 255. Первые 33 кода (с 0 до 32) соответствуют операциям (перевод строки, ввод пробела и т. д.). Коды с 33 по 127 являются интернациональными и соответствуют символам латинского алфавита, цифрам, знакам арифметических операций и знакам препинания. Коды с 128 по 255 служат для национальных алфавитов. Каждый вариант этой второй половины (расширенной таблицы) исходной таблицы получил название «кодовой страницы языка» (code page). 11 Кодовые таблицы Кодовая таблица - таблица соответствий символов и их компьютерных кодов. В РФ распространены следующие кодировки: WIN1251 (Windows) KOI-8 12 Unicode 13 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ НА КОМПЬЮТЕРЕ Система счисления (СС) - способ кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.  Непозиционные системы счисления Непозиционная ССЧ — система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозицнонной системы счисления служат цифры в римской системе, обозначающиеся знаками: 1 — I, 3 — III, 5 — V, 10 — X, 50 — L, 100 — С, 500 — D, 1000 — М. Пример: десятичное число 27 будет представляться следующим образом: XXVII = 10+10 + 5+1 + 1, т.е. количественное значение числа представляется суммой значений символов.  Позиционная система счисления Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. Позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Здесь: А — число; q — основание системы счисления; ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i-го разряда. Такая запись числа называется развёрнутой формой записи Примеры записи чисел в развёрнутой форме: 2012=2 × 103 +0 × 102 +1 × 101 +2 × 100 0,125=0 × 10+ × 10-1 +2 × 10-2 +5 × 10 –3 Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16 Десятичная система Двоичная система Восьмеричная система Шестнадцатеричная система 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F Двоичная система счисления Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Двоичный алфавит: 0 и 1. Для целых двоичных чисел можно записать: an–1an–2…a1a0 = an–1×2n–1 + an–2×2n–2 +…+ a0×20 Например: 100112 =1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 = 24 +21 + 20 =1910  Правило перевода из любой системы счисления в десятичную Для перевода числа из системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления следует использовать форму записи числа в виде: Пример: Переведем число 2А16 в десятеричную систему счисления 2А16=2*161 + А *160 = 32 + 10 = 4210 Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления Представление чисел в восьмеричной системе счисления an–1an–2…a1a0 = an–1×8n–1 + an–2×8n–2 +…+ a0×80 Например: 118 =1×81+1×80 = 8 +1= 910 Представление чисел в шестнадцатеричной системе счисления an–1an–2…a1a0 = an–1×16n–1 + an–2×16n–2 +…+ a0×160 Например: 1F16 =1×161+F×160 = 16 +15= 3110  Правило перевода из десятичной системы счисления в любую другую 1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю; 2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка. Переведём десятичное число 5410 в двоичную систему счисления 54 2 54 27 2 5410=1101102 26 13 2 0 1 12 6 2 6 3 2 1 0 2 1 1 Переведём число 22510 в шестнадцатеричную систему счисления 225 16 224 14 1 22510=Е116 Переведем число 0,4510 в двоичную ССЧ с точностью до пяти знаков 0, 45 х2 0 90 х2 0,4510=0,011102 1 80 х 2 1 60 х2 1 20 х2 0 40  Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления. Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичную форму достаточно каждую цифру этого числа заменить соответствующей триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр), при этом отбрасывают ненужные нули в старших разрядах. Пример: Переведем 5F,9416 в двоичную ССЧ. 5 F 9 4 0101 1111 1001 0100 5F,9416=0101 1111,1001 01002 =101111,1001012  ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ  Измерение информации Количество информации=информационная энтропия – это численная мера непредсказуемости информации. Количество информации в некотором объекте определяется непредсказуемостью состояния, в котором находится объект. А возможно ли объективно измерить количество информации? Важнейшим результатом теории информации является следующий вывод: В определенных, весьма широких условиях можно пренебречь качественными особенностями информации, выразить её количество числом, а также сравнить количество информации, содержащейся в различных группах данных. 29 Подходы к определению количества информации Алфавитный или количественный Вероятностный (Р. Хартли, американский инженер, 1928 г. , К. Шеннон, американский исследователь, 1948 г.) Алгоритмический (А.Н. Колмогоров, академик, 1965 г.) 30  Алфавитный подход Рассмотрим систему, которая может находиться в одном из N состояний. Какое минимальное количество бит нужно для описания всех N состояний системы? Для этого нужно найти такое минимальное I, которое будет удовлетворять уравнению N = 2i. Логарифмируя по основанию 2, получаем I= log2N. Если в этой формуле I не будет целым, то его нужно округлить (вверх!) до целого. I = log2N, где N – количество возможных состояний, а I – минимальное количество информации в битах, необходимое для описания состояний системы называется формулой Хартли. Например, буквы русского языка (без различия по регистру) можно описать 5-ю битами, если не различать Е и Ё, а если различать, то 6-ю битами с избытком: log232= 5; log233 = 5,044. 31  Алфавитный подход Алфавит — упорядоченный набор символов, используемый для кодирования сообщений на некотором языке. Мощность алфавита - общее количество символов в алфавите (N). Объем информации в сообщении зависит от количества символов в нем. Количество бит, которым кодируется один символ рассчитывается по формуле: N= 2 i , где i – количество бит для кодирования одного символа, N - мощность алфавита, 2 – количество разных символов, которое может быть представлено в ПК. Информационный объем (I) всего сообщения рассчитывается так: I = i * k, где k - количество символов в сообщении. 32 Формулы: I = log х ( N ) N= 2 i Пример 1. Дано: В корзине лежат 8 шаров. Все шары разного цвета. Сколько информации содержит сообщение о том, что из корзины достали красный шар? Решение: 2х = 8 Ответ: х = 3 Пример 2. Дано : Чему равно количество информации (бит) в слове «информатика» при условии, что для кодирования используется 32-значный алфавит. Решение: I= log232 = 5 бит – количество информации 1 символа информации I = M log2N = 11*5=55бит Ответ: количество информации (бит) в слове «информатика» = 55бит 33  Вероятностный подход Важным допущением формулы Хартли является предположение о том, что все состояния наблюдаемой системы являются равновероятными. Но как тогда посчитать количество информации в системе, в которой это условие не выполняется? Эту задачу решил Клод Шеннон, предложив измерять количество информации по формуле: N −1 N −1 1 − ∑ pi log 2 ( pi ) = I= ∑ pi log 2 ( p ) =i 0=i 0 i где N – число состояний системы, pi – вероятность того, что система находиться в состоянии i (сумма всех pi равна 1) 34 Формула: N −1 1 N −1 − ∑ pi log 2 ( pi ) = I= ∑ i 2 p) p log ( =i 0=i 0 i Пример 1. Дано: В беспроигрышной лотерее разыгрывается 4 диска, 5 книг, 6 ручек. Какова вероятность выигрыша диска? Решение: Общее число исходов 4 + 5 + 6=15; число благоприятствующих исходу событий 4. Следовательно, вероятность выигрыша 𝟒𝟒 𝒑𝒑 = = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 Ответ: р=0,26 Пример 2. Дано : Если бросить несимметричную четырехгранную пирамидку, то вероятности падения на каждую из граней составляют: р1 = 1/2, р2= 1/4, р3 = 1/8, р4 =1/8. Определим количество информации, которое будет получено после реализации одного из случаев. Решение: I= 1/2*log21/2+1/4*log21/4+1/8*log21/8+1/8*log21/8 = 14/8 бит Ответ: I= 1,75 бит 35