Presentazione Lezione 27 Ottobre 2021 PDF

LEZIONE 27 OTTOBRE 2021 Eq. Bernoulli, tubo di Pitot, venturimetro Valerio De Donato Antonino Galano Dobbiamo cercare di capire come le varie forme di energia si trasformano l’una nell’altra(quella meccanica...

LEZIONE 27 OTTOBRE 2021 Eq. Bernoulli, tubo di Pitot, venturimetro Valerio De Donato Antonino Galano Dobbiamo cercare di capire come le varie forme di energia si trasformano l’una nell’altra(quella meccanica si trasforma in lavoro meccanico e quella di tipo termico invece si può trasformare attraverso gli scambi di calore). Trascurando la parte dissipativa (µ EQUAZIONI DI EULERO Se nel flusso non c’è trasformazione di altri tipi di energia in energia meccanica , la temperatura T resta più o meno costante,gli effetti dissipativi sono trascurabili,non c’è trasferimento di calore e devices come pompe o turbine (che immettono/estraggono energia nel/dal sistema), allora possiamo considerare la variazione della sola energia meccanica. Andiamo quindi a guardare al budget di energia meccanica per caratterizzare il flusso. Partiamo dalle equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili, precedentemente ottenute a partire dalle equazioni di bilancio. Nella prima equazione compare a sinistra la derivata sostanziale nel tempo ( + )e a destra abbiamo gli effetti delle forze di pressione , della forza di gravità ed il termine dissipativo delle forze viscose. La seconda invece è la semplificazione dell’equazione della massa per un fluido incomprimibile Per andare a caratterizzare il campo di moto quando trattiamo un Infatti l’equazione dell’energia(quando ⍴ è costante e µ non dipende fluido incomprimibile abbiamo bisogno solo di queste due equazioni dalla temperatura)si disaccoppia completamente. Nel caso di una particella, partendo dalla legge del moto =m, esiste un integrale del moto che ci permette di caratterizzare l’energia della particella =m m= moltiplico scalarmente per v (al primo membro vi é l’energia cinetica ,mentre il secondo mv⋅ = F⋅v rappresenta la potenza delle forze che agiscono sul sistema) m = F⋅v Lo stesso che abbiamo fatto per una singola particella può essere fatto per un fluido Dopodiché del primo membro viene portato dall’altra parte,effettuo lo stesso accorgimento anche all’interno del secondo membro(dove è lo stesso di essendo il prodotto scalare commutativo ,si possono invertire i due termini) Ottengo quindi: (Dove la  è costante perché il fluido è incomprimibile) Si ha che[ ] in notazione indiciale é i i Þ Essendo il campo gravitazionale conservativo posso scrivere come : Di conseguenza avrò:  EQUAZIONE DI BERNOULLI (FORMA DEBOLE) ( Cardini operazione: prendere un sistema in cui non c’è dissipazione (ossia forze viscose trascurabili EQ. DI EULERO) HP1) FLUSSO STAZIONARIO Si annulla la derivata nel tempo: -Il gradiente di una matrice non simmetrica!  -Per derivare un’equazione per l’energia a partire da questa bisogna moltiplicare scalarmente tutti i termini per : Cosa rappresentano i singoli termini del trinomio? (= cost  energia cinetica  indica il lavoro che viene fatto per far passare il fluido attraverso una superficie gz  energia potenziale del fluido(legata alla sua quota z) erché viene detta “Forma Debole” ? Perché il trinomio di Bernoulli non è costante ovunque nel fluido (non è una costante globale) ma solo su di una determinata linea di corrente, quindi cambiando linea di corrente cambia anche il valore del trinomio. L’espressione completa alla quale siamo giunti non è altro che la derivata direzionale lungo una linea tangente al vettore velocità.  EQUAZIONE DI BERNOULLI (FORMA FORTE) Viene rilasciata l’HP di stazionarietà ma restano valide tutte le altre ipotesi iniziali (Temperatura cost, no trasformazioni in energia meccanica, assenza di devices come pompe e turbine) Ripartiamo dall’equazione di Eulero: 𝜕𝑢 1 +𝑢 ⋅ ∇ 𝑢=− ⋅ ∇ 𝑝+ 𝑔 𝜕𝑡  dove è la vorticità del corpo che ha una rotazione solida ,è un’indicazione sul tasso di rotazione della particella di fluido. Sostituendo all’interno dell’equazione di Eulero otteniamo:   Per definizione si ha HP2) FLUSSO IRROTAZIONALE & (la è esprimibile come il gradiente di un potenziale) Di conseguenza, essendo , si elide il prodotto Dove “OVUNQUE!” Quindi siamo arrivati a dire che il gradiente stesso ora è nullo ovunque e non c’è più un vincolo che lo lega alla velocità (come accadeva invece nella forma debole) Applicando il trinomio di Bernoulli su di una singola linea di corrente (assume lo stesso valore nei punti 1 e 2),riusciamo a determinare alcune importanti caratteristiche del nostro flusso + gz = +g Riscrivo dividendo tutto per g ed ottengo: + Ciascun termine ha le dimensioni di una lunghezza : altezza piezometrica(‘’pressure head’’) z : altezza geodetica(‘’elevation head’’) : altezza cinetica («velocity head») H : ‘’total head’’  Linea di corrente da 0 a 1 P0=P1=Patm Trinomio di Bernoulli con presenza di una pompa: = + +g La pompa determina un incremento di pressione nel fluido ( energizzazione) ed il corrispettivo termine viene inserito nella parte sinistra dell’equazione. Quando ci sono invece decrementi di energia dovuti a dissipazioni viscose (come nel caso in esame) o alla presenza di una turbina, allora i corrispettivi termini vanno inseriti nella parte destra dell’equazione. Dividendo l’intera equazione per g ottengo l’espressione in termini di distanze: = + +  CASO FLUIDO COMPRIMIBILE Finora abbiamo considerato il Trinomio di Bernoulli nel caso di fluido incomprimibile e con variazione della sola energia meccanica, però quando  dipende da una sola variabile di stato allora abbiamo il caso di fluido comprimibile. In generale la densità  è esprimibile come funzione di due variabili di stato (che possono essere pressione e temperatura oppure pressione ed entropia) se dovesse dipendere da una sola variabile anziché due allora posso trovare una semplificazione che mi porta ad ottenere una forma equivalente del Trinomio di Bernoulli. se allora si possono distinguere due casi: – CASO ISOTERMICO (T=cost) – CASO ISOENTROPICO (S=cost) Quando  dipende esclusivamente dalla pressione p ,i fluidi si chiamano BAROTROPICI. In precedenza nella trattazione dei fluidi incomprimibili, veniva portato all’interno del gradiente, in questo caso invece c’é un’importante semplificazione: come si ottiene questa semplificazione? Essendo Se al posto della derivata davanti all’integrale mettessimo un gradiente, allora avremmo: Nel nostro caso si ha Esiste cioè una funzione F il cui gradiente = Nel caso di flusso isoentropico  F=dh l’entalpia è per definizione con e= energia interna dh =Tds + dp Ma se non c’è variazione di entropia s allora dh = dp Quindi la funzione F nel caso isoentropico è proprio l’entalpia, allora utilizzerò questa variabile di stato per andare a riscrivere il mio Trinomio di Bernoulli in una forma equivalente. Facendo riferimento al caso debole:  ( è l’equivalente di del caso incomprimibile) moltiplicando per u:. F nel caso isoentropico corrisponde all’entalpia. TRINOMIO DI BERNOULLI CON EFFETTI GRAVITAZIONALI TRASCURABILI Talvolta all’interno del trinomio di Bernoulli gli effetti gravitazionali sono trascurabili. È il caso dei gas che hanno una densità bassa ,il termine gravitazionale (gz) è trascurabile rispetto agli altri. Non è possibile invece farlo quando si prendono in considerazione grandi masse di fluido, come nel caso dell’atmosfera dove la variazione di quota è molto grande e quindi comporta importanti effetti idrostatici. Se ci mettiamo su di una linea di corrente che va dal punto 0 (con al punto 1 + ⇨ = ⍴ +p La pressione di ristagno(o totale) è la pressione che si ha nel punto in cui la velocità è nulla, la pressione dinamica ha le stesse dimensioni di una pressione ma è sostanzialmente l’energia cinetica del flusso. SEMPLICI APPLICAZIONI DEL TRINOMIO PER ALCUNI DEVICES TUBO DI PITOT Il tubo di Pitot è un device utilizzato su tutti gli aeroplani e in automobilismo come sensore per la determinazione della velocità macroscopica rispetto all'aria e nelle gallerie del vento per la misurazione della velocità macroscopica della corrente d'aria. Lo strumento, costituito da un tratto di tubo collegato a un manometro, misura la cosiddetta pressione dinamica(differenza punto di ristagno dove v=0 ⇨ ⇨ ⇨ tra la pressione totale e la pressione statica); esso presenta un Prendendo in considerazione una linea di corrente che congiunge 2 punti, l’utilizzo di un manometro la differenza di pressione ∆p che esiste tra la applicando su di essa il trinomio di Bernoulli ,si riesce a calcolare tramite zona centrale del tubo e la zona che comunica con l’esterno. Ciò è possibile, come si evince dalla figura, grazie alla presenza di un piccolo foro tangente alle linee del flusso. Conoscendo ∆p si può così calcolare la velocità del fluido. = ⇨ Ci sono due aperture(piccoli fori), una nella parte anteriore l’altra sulla superficie laterale L’asse dello strumento è posizionato parallelo alla direzione della corrente fluida, in modo che sulla presa di pressione anteriore agisca la pressione  VENTURIMETRO Il venturimetro o tubo Venturi è uno strumento che sfrutta ‘’l’effetto Venturi’’ per misurare la portata all’interno di un tubo.Questo device è composto da un condotto orizzontale in cui è presente una strozzatura(collo di bottiglia)con riduzione della sezione (e quindi del diametro),e da due corrispondenza di essa. Una volta misurata la ∆p esistente ,posso di manometri capaci di misurare la pressione prima della strozzatura ed in conseguenza calcolare la velocità e risalire quindi alla portata del tubo. Effetto Venturi: anche detto paradosso idrodinamico, è il fenomeno per cui la pressione di una corrente fluida diminuisce con l’aumentare della velocità(al restringimento della sezione). Il fluido nell’attraversare il condotto ,modificherà la sua velocità in funzione  e devono essere dati noti (caratteristici del nostro venturimetro) ⇨ Prendiamo in considerazione una linea di corrente che va da 1 a 2 (trascurando le perdite) +=+ ⇨= Per il principio di conservazione della massa si ha: sostituendo⇨ - = ⇨= Mettendo in evidenza: [1- ] = dunque calcolare la portata massica =⍴vA (densità velocità media Ho così ottenuto la velocita del fluido che scorre all’interno del tubo; posso sezione )  CONSIDERAZIONE DELLE PROPRIETA’ MEDIE Spesso non si hanno informazioni su ‘’come sia fatta ’’una linea di corrente, ma si conoscono le velocità medie in ingresso e in uscita. E’ possibile ottenere una formula che prenda in considerazione le proprietà medie del flusso e non la singola linea di corrente? Ripartiamo dall’equazione della forma debole (precedentemente ottenuta): moltiplicando per  si ottiene: Þ ora si aggiunge a quest’equazione un termine uguale a zero Dalla continuità sappiamo che , nullo per un fluido stazionario. Allora riscriveremo tutto come: Il secondo termine dell’equazione precedente si annulla interamente in quanto viene moltiplicato per 0 ().Riscrivendo sotto forma di divergenza: Se integro utilizzando il TH della divergenza sul volume di fluido che entra ed esce da una tubazione: dev’essere nullo per la condizione di non penetrazione delle superfici solide; ma è nullo anche quando trattiamo una superficie che è costituita dal linee di corrente (per definizione). Come fatto per gli integrali di superficie nelle equazioni del bilancio ,si vanno ad approssimare con delle sommatorie, con termini in ingresso e in uscita sui vari pezzi di superficie che compongono il volumetto considerato. (dove ‘’ ora corrispondo alle Velocità Medie).Resteranno solo i termini d’ingresso e di uscita  Nel passare dall’integrale alla sommatoria con proprietà medie vengono però commessi degli errori dove compaiono i termini con invece e variano poco con la superficie. Di conseguenza così come per le equazioni di bilancio per alcuni termini ci sarà bisogno di un fattore di correzione. Il secondo integrale può essere approssimato senza problemi con le proprietà medie (in quanto è circa costante sulle varie sezioni),quindi lo portiamo fuori dall’integrale: portata massica Se si vuole scrivere anche il primo integrale con :  FATTORE DI CORREZIONE Se è costante si può portare fuori dall’integrale e si elide al numeratore e al denominatore È quindi ora lecito utilizzare il trinomio ❑ di Bernoulli sull’intera sezione anziché sulla singola linea di corrente ,facendo riferimento alle proprietà medie e ponendo il fattore di ∫ 𝑣 (𝑢⋅ 𝑛 )ds 2 𝜕𝑉 correzione davanti al termine cinetico 𝛽 𝐸= 2 𝑣 ¿¿ Quanto vale ? Il valore del fattore di correzione dipende dal tipo di flusso CASO TURBOLENTO ⇨ =1 In questo caso il profilo di velocità è piatto ed il fattore di correzione è trascurabile CASO LAMINARE ⇨ =2 In questo caso(cilindrico)il profilo di velocità è di tipo parabolico , ’’flusso di Poiseuille’’ il fattore di correzione non è quindi trascurabile