رياضيات مالية - محاضرة 2 (خصم الديون قصيرة الأجل)

# جامعة الجزائر 3 ## كلية العلوم الاقتصادية والعلوم التجارية وعلوم التسيير ### شعبة محاسبة ومالية ### تخصص محاسبة ومالية ### السنة الثانية ليسانس ## مقياس الرياضيات المالية ### المحاضرة 2: خصم الديون قصيرة الأجل (خصم الأوراق التجارية). ### الأستاذ: فوزي أيت سعيد ## عنوان المحاضرة: خصم الديون قصي...

# جامعة الجزائر 3 ## كلية العلوم الاقتصادية والعلوم التجارية وعلوم التسيير ### شعبة محاسبة ومالية ### تخصص محاسبة ومالية ### السنة الثانية ليسانس ## مقياس الرياضيات المالية ### المحاضرة 2: خصم الديون قصيرة الأجل (خصم الأوراق التجارية). ### الأستاذ: فوزي أيت سعيد ## عنوان المحاضرة: خصم الديون قصيرة الأجل (خصم الأوراق التجارية). ### خصم الديون قصيرة الأجل (خصم الأوراق التجارية). تعتبر الأوراق التجارية وسيلة للاعتراف بالدين، فهي صكوك تستخدم كدليل لإثبات حق بمبلغ من النقود يكون مدون عليها يمثل القيمة الاسمية للورقة التجارية يستحق في تاريخ معين متفق عليه سابقا بين الدائن والمدين، بعبارة أخرى فهي تعد أداة لتسوية الديون. أحيانا يجد الدائن نفسه مجبرا على تحصيل الدين قبل تاريخ استحقاقه لاحتياجه إلى نقود، فيقوم بتقديم الأوراق التجارية، مثل الكمبيالات، إلى البنك للحصول على قيمتها نقداً قبل ميعاد استحقاقها، فإن البنك يقوم بخصم مبلغ معين نظير دفع قيمة هذه الأوراق قبل ميعادها . تسمى هذه العملية باسم خصم الديون أو قطعها. ### اولاً: مفهوم الخصم فالمقصود بالخصم هو مبلغ من المال يتنازل عنه الدائن للمدين من القيمة الاسمية للدين المستحق في تاريخ استحقاق معين في مقابل حصوله على دينه قبل تاريخ استحقاق الدين. تعتبر الورقة التجارية الأداة لتحقيق الائتمان قصير الأجل متى كانت مضافة إلى أجل أي لا تستحق الدفع إلا بعد مدة قصيرة من تاريخ تحريرها ، ويقوم بهذه الوظيفة السفتجة والسند لإذن، فالسفتجة هي الورقة الرئيسية من بين الأوراق التجارية التي تعطي أوسع مجال في نطاق الخصم، أما الشيك فلا يقبل الخصم لأنه أداة وفاء واجب الدفع بمجرد تقديمه. ### السفتجة (الكمبيالة): هي ورقة تجارية ثلاثية الأطراف تتضمن أمرا صادرا من شخص يسمى الساحب إلى شخص أخر يسمى المسحوب عليه، بأن يدفع لإذن شخص ثالث وهو المستفيد أو الحامل مبلغا من النقود بمجرد الاطلاع أو في ميعاد أو قابل للتعيين. ### الشيك: هو أيضًا أحد الأوراق التجارية التي تحمل 3 أطراف وهم الساحب، المسحوب عليه، حامله (المستفيد) هنا يصدر الساحب أمرًا إلي المسحوب عليه وهنا يكون المسحوب عليه هو البنك لصرف المبلغ المحدد لحامل الشيك أو المستفيد. وايضا يجب أن تتوفر هذه العناصر في الشيك: تاريخ إصدار الشيك ، توقيع الأطراف واسمائهم، المبلغ المستحق دفعه. ### السند لإذني (السند لأمر): ورقة يتعهد فيها شخص يسمى المحرر بدفع مبلغ من النقود في تاريخ معين لإذن شخص ثان يسمى المستفيد، وأشخاص السند الإذني اثنان وذلك على خلاف الكمبيالة التي تتضمن عند سحبها ثلاثة أشخاص ولا يتداول السند الإذني إلا عن طريق التظهير . ### ثانياً : أنواع الخصم هناك نوعين من خصم الأوراق التجارية وهما كالآتي: 1. **الخصم التجاري** وهو الخصم المستعمل في البنوك التجارية في معاملاتها، هو الفائدة المحسوبة على القيمة الاسمية للورقة التجارية، بمعدل فائدة يسمى معدل الخصم ويحسب على أساس مدة زمنية معينة والتي تمثل الفرق بين تاريخ الاستحقاق وتاريخ الخصم. ويرمز له بالرمز (Ec). وتعطى العلاقة العامة للخصم التجاري كالآتي: $E_c = V \times i \times \begin{frack{n}{360}} = V \times \frac{100}{360} \times \begin{frack{n \times t}{36000}}\begin{frack{V \times n \times t}{36000}}\begin{frack{V \times n}{D}} = \begin{frack{V \times n}{D}}\times t $ ### القيمة الحالية التجارية (Vac) هي القيمة المستحقة في تاريخ الخصم التجاري. وهي قيمة الورقة المحصلة عليها سدادا من دين صاحبها عند تقديمها للبنك قبل تاريخ الاستحقاق، حيث يتحصل صاحب الورقة على قيمة أقل من القيمة الاسمية للورقة وذلك بعد الخصم. نرمز للقيمة الحالية للورقة التجارية بـ (Vac) وتعطى بالعلاقة الآتية: $Vac = V_n - E_c$ يمكن كتابة القيمة الحالية للورقة التجارية بدلالة القيمة الاسمية كالآتي: $Vac = V_n - E_c → Vac = V_n - \begin{frack{V \times n}{D}} \times t = V_n - \begin{frack{V \times n}{D}} \times t = V_n[1 - \begin{frack{n}{D}}] = V_n(\begin{frack{D - n}{D}}\begin{frack{V \times n}{D}}\begin{frack{V \times (D-n)}{D}}\begin{frack{V \times (D-n)}{D}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D-n}{D}}$ **مثال:** ورقة تجارية قيمتها الأسمية 19800 دج تاريخ استحقاقها 25 جوان ، تم خصمها بتاريخ 10 مارس لدى البنك من نفس السنة، مع العلم أن معدل الخصم 10%. $V = 19800DA$ حساب مبلغ الخصم والقيمة الحالية للورقة التجارية. ### حساب مبلغ الخصم (E). $i = \begin{frack{t}{100}} = 10\%$ $n = (31-10) + 30 + 31 + 25 = 107 jours$ $E_c = \begin{frack{V \times n \times t}{36000}} = \begin{frack{19800 × 10 × 107}{36000}} = 588, 5DA$ ### حساب القيمة الحالية للورقة التجارية (Vac). $Vac = V_n - E_c = 19800-588,5 = 19211, 5DA$ ### 2. الخصم الحقيقي (العقلاني) عندما يتقدم صاحب الورقة التجارية للبنك من أجل خصمها فإن البنك يقدم له مبلغا أقل من القيمة الاسمية للورقة "قرض" والذي يمثل القيمة الحالية التجارية للورقة كما رأينا سابقا، إلا أن الفائدة "أي قيمة الخصم التجاري" تم حسابها على أساس القيمة الاسمية للورقة وليس على أساس قيمة القرض المقدم (Var)، وفي الواقع، الخصم التجاري هو غير عقلاني، لأنه لا يتم احتساب الفائدة على المبلغ المدفوع فعلا من قبل البنك على أساس القيمة الحالية التجارية، ولكن على القيمة الاسمية للورقة، أي يحسب على أساس المبلغ الذي يتم تسديده عند الاستحقاق، وهذا ما يدل على وجود خصم آخر يسمى الخصم العقلاني أو الحقيقي، كما يسمى كذلك الخصم الصحيح. ويحسب على أساس القيمة الحالية، ويحسب أيضا على أساس القيمة الاسمية، وقيمته أقل من الخصم التجاري، ونرمز له بالرمز (Var). وتعطى العلاقة الخصم العقلاني بدلالة القيمة الحالية الحقيقية كالآتي: $ER = Var × i \times \begin{frack{n}{t}} = Var × \begin{frack{n}{100}} \times \begin{frack{t}{360}}= \begin{frack{Var × n}{360}}\begin{frack{Var × t}{36000}}\ = \begin{frack{Var × t \times n}{36000}}\begin{frack{Var × n}{D}}$ ### القيمة الحالية الحقيقية أو العقلانية (Var) هي القيمة المستحقة في تاريخ الخصم الحقيقي. وهي الفرق بين القيمة الاسمية للورقة التجارية والخصم الحقيقي، نرمز للقيمة الحالية الحقيقية للورقة التجارية بـ (Var) وتعطى بالعلاقة الآتية: $Var = V_n - ER$ يمكن حساب القيمة الحالية الحقيقية باستخدام القيمة الاسمية كالآتي: $Var = V_n - ER→ V_n = Var + ER = Var + Var × \begin{frack{n}{D}} = Var × ( 1 +\begin{frack{n}{D}}) → Var = V_n \times (\begin{frack{D}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D}{D+n}} = Var × (\begin{frack{D}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D}{D+n}}$ يمكن حساب الخصم العقلاني بدلالة القيمة الاسمية، كالآتي: $Var = V_n - ER→ V_n = Var + ER = Var + Var × \begin{frack{n}{D+n}} = Var × (1 +\begin{frack{n}{D+n}}) = Var × (\begin{frack{D+n}{D}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D+n}{D}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D+n}{D}}= V_n × (\begin{frack{D}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D}{D+n}}$ $ER = Var × i = V_n × \begin{frack{n}{D}} × \begin{frack{i}{100}}= V_n × \begin{frack{n}{D}} × i × \begin{frack{1}{100}} = V_n × (\begin{frack{n}{D}} × i = V_n × (\begin{frack{n}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D}} \times \begin{frack{D}{D+n}}$ **مثال:** ورقة تجارية قيمتها الاسمية 22500 دج، تستحق في 31 جويلية، تم خصمها لدى البنك في 11 ماي من نفس السنة، بمعدل 6%. $V_n = 22500$ دج أحسب الخصم التجاري والخصم الحقيقي، ثم القيمة الحالية الحقيقية والقيمة الحالية التجارية. ### حساب الخصم التجاري $n = (31-8) + 30 + 31 = 84 jours$ نبدأ بحساب مدة الخصم $D = \begin{frack{36000}{i}}=\begin{frack{36000}{6}} = 6000$ نحسب القاسم الثابت $E_c = \begin{frack{V \times n}{D}} = \begin{frack{22500 × 84}{6000}} = 315DA$ ### حساب الخصم الحقيقي $ER = V \times (\begin{frack{n}{D + n}} = 22500 × \begin{frack{84}{6000 + 84}} = 310, 65DA$ ### حساب القيمة الحالية الحقيقية والقيمة الحالية التجارية $Var = V_n - ER = 22500-310,75 = 22189.25DA$ $Vac = V_n - Ec = 22500-315 = 22185DA$ ### 3. العلاقة بين الخصمين التجارية والحقيقي للتبسيط نستعمل قوانين الخصمين باستعمال طريقة القاسم الثابت لتبيان العلاقة بين الخصم التجارية والخصم الحقيقي كالآتي: #### 3.1. النسبة بين الخصمين (E) و (Er). لدينا $Ec = \begin{frack{V \times n}{D}}$ $ER = V ×(\begin{frack{n}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D+n}}$ منه $\begin{frack{E_c}{ER}} = \begin{frack{V \times n}{D}} \div \begin{frack{V \times n}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D+n}} = \begin{frack{(V \times n)(D + n)}{D (D + n)}}\begin{frack{V \times n}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D+n}}\begin{frack{V \times n}{D+n}} = \begin{frack{D + n}{D}}$ $\begin{frack{E_c}{ER}} = \begin{frack{D + n}{D}}$ #### 3.2 عن طريق الطرح بين الخصمين (E) و (E). $EC-ER = \begin{frack{V \times n}{D}} -V \times (\begin{frack{n}{D + n}} = V ×(\begin{frack{n}{D}} - \begin{frack{n}{D + n}}\begin{frack{V \times n}{D}} - \begin{frack{V \times n}{D + n}} = V ×(\begin{frack{n(D+n)-n}{D(D+n)}\begin{frack{V \times n}{D}} - \begin{frack{V \times n}{D + n}}=V\times(\begin{frack{n2}{D(D+n)}\begin{frack{V \times n}{D}} - \begin{frack{V \times n}{D + n}} = Vn × \begin{frack{n2}{D(D+n}}$ $EC-ER=Vn×\begin{frack{n2}{D(D+n)}$ **مثال:** ورقة تجارية خصمت بمعدل فائدة 8 ، فكانت قيمة الخصم التجاري 9258 دج، وقيمة الخصم الحقيقي 9000 دج. المطلوب: - أوجد تاريخ خصم الورقة علما أن تاريخ استحقاقها هو 10 أكتوبر؛ - أوجد القيمة الاسمية لهذه الورقة، القيمة الحالية التجارية، والقيمة الحالية الحقيقية. ### الحل $Ec = 9258$ $Er = 9000$ $i = 8\%$ ### حساب مدة خصم الورقة (N) هي الفرق بين تاريخ الخصم وتاريخ الاستحقاق الورقة. $Ec = D+n⇒ n = (\begin{frack{E_c}{ER}}-1) ×D$ $n = (\begin{frack{E_c}{ER}}-1) ×D = (\begin{frack{9258}{9000}}-1) ×D$ $D = \begin{frack{36000}{i}} = \begin{frack{36000}{8}} = 4500$ (حيث $n = (\begin{frack{9258}{9000}}-1) × 4500 = 129 jours $ منه تاريخ الخصم 129 يوم قبل تاريخ الاستحقاق يقابل 3 جوان. ### حساب القيمة الاسمية () $V_n = \begin{frack{Ec × D}{n}} =\begin{frack{9258 × 4500}{129}} = 322 953,4883DA$ $Var = V_n - ER = 322 953,4883 - 9258 = 313 695, 4883DA$ $Vac = V_n -E_c = 322 953,4883 - 9000 = 313 953, 4883DA$ ### ثالثاً : الآجيو في الفائدة البسيطة: إذا قدم الدائن ورقة تجارية إلى أحد البنوك للحصول على قيمتها نقداً قبل ميعاد استحقاقها، فان البنك يحل محل الدائن في الحصول على القيمة الاسمية للورقة التجارية من المدين في تاريخ استحقاقها، وذلك في نظير ان يقوم بخصم مبلغ معين من الدائن مقابل دفع قيمة هذه الورقة قبل ميعاد استحقاقها، هذا بالإضافة الى الحصول على عمولة معينة متفق عليها من القيمة الاسمية، تسمى عمولة البنك، وكذلك مصروفات تحصيل على القيمة الاسمية للورقة التجارية، ولا تدخل المدة أو معدل الخصم في الاعتبار. فقيمة كل من عمولة البنك ومصاريف التحصيل تحسب كنسبة مئوية من القيمة الاسمية للورقة التجارية. وبناءاً على ذلك فإن مصاريف الخصم أو الأجيو تتكون من الخصم التجاري وعمولة البنك ومصاريف التحصيل. فالآجيو هو مجموع الشروط الموضوعة من قبل البنك لخصم ورقة تجارية، وهي تمثل عوائد للبنك وتكاليف على صاحب الورقة، أي أنها مجموع التكاليف الإجمالية التي يتحملها صاحب الورقة التجارية المراد خصمها لدى البنك. وهي عبارة عن قيمة الخصم التجاري، مضاف إليه عمولة متغيرة ثابتة ، والرسم على القيمة المضافة على كل من الخصم التجاري والعمولة. ونرمز للأجيو بـ AGIO والعمولة بـ Com ويشمل الأجيو العناصر الآتية: 1. **الخصم التجاري (L'escompte Commercial)** هو الفائدة التي تحسب على القيمة الاسمية للورقة المخصومة. $E_c = \begin{frack{V \times n \times t}{36000}}$ 2. **العمولات (les commissions)** هي مبالغ يقتطعها البنك من القيمة الاسمية للورقة التجارية لقاء خدمات خصم الورقة التجارية وتنقسم إلى ثلاثة أقسام: - **عمولة مرتبطة بالزمن**: وتحسب كالخصم التجاري، على أساس معدل العمولة والمدة n بحيث تربطها علاقة طردية بالمدة ، كعمولة الظهير أو العمولات على العملة، ونرمز لها بالرمز (Ce) ، وهي لا تخضع للرسم على القيمة المضافة، وتعطى بالعلاقة الآتية: $Ce = \begin{frack{V \times t \times n}{36000}}$ - **عمولة غير مرتبطة بالزمن**: تحسب كنسبة في المئة أو في الألف ، وهي تطبق على القيمة الاسمية فقط دون الأخذ بعين الاعتبار المدة الزمنية الفاصلة بين تاريخ الخصم والاستحقاق، كعمولة تحويل المكان، ونرمز لها بـ (C)، وهي تخضع للرسم على القيمة المضافة، وتعطى بالعلاقة الآتية: $Ct = \begin{frack{V \times t \times t}{100}}$ - **عمولة ثابتة** هي عمولة محددة من قبل البنك، قيمتها تبقى ثابتة إلا إذا قام البنك بتغيرها، وهي تخضع للرسم على القيمة المضافة، ونرمز لها بالرمز (C). 3. **الرسم على القيمة المضافة (TVA)**: يطبق على مجموع العمولات الثابتة أي التي ليست مرتبطة بالزمن، و العمولات الثابتة. وقد جرى العرف على أن تضيف البنوك مدة قدرها يوماً واحداً أو يومين كمهلة سداد) عند حساب الخصم التجاري، وذلك للعمل على زيادة مدة الخصم من ناحية، ولإعطاء فرصة معقولة للمدين للقيام بسداد دينه من ناحية أخرى. أما عند حساب المعدل الحقيقي فيتم حسابه على أساس المدة الحقيقية دون زيادة مهلة السداد. وبهذا تصبح العلاقة AGIO كالآتي: $AGIO_{HT} = E_c + [Com_{متغيرة} + Com_{ثابتة} $ $Com_{ثابتة} = C_t$ $Com_{متغيرة} = C_e$ $AGIO_{TTC} = AGIO_{HT} + TVA$ $TVA = [\Sigma Com_{ثابتة}] × TVA%$ $TVA = (C_t + C_f) × TVA%$ $AGIO_{TTC} = AGIO_{HT} + [\Sigma Com_{ثابتة}] × TVA%$ $Vnette = Vn - AGIO_{TTC}$ ### رابعاً: القيمة الحالية الصافية بعد ما يطرح البنك التجاري قيمة الأجيو من القيمة الاسمية للورقة التجارية، يتحصل صاحب الورقة التجارية على صافي القيمة للورقة، ويتحصل البنك على قيمة الأجيو. نرمز للقيمة الحالية الصافية بـ (Vnette)، وتعطى بالعلاقة الآتية: $Vnette = Vn - Адіоттс$ **مثال:** بتاريخ 2013/05/12 خصمت ورقة تجارية قيمتها الاسمية 42000 دج تستحق الدفع بتاريخ 2013/07/06، وكانت شروط الخصم كالآتي: - معدل الخصم التجاري 4%؛ - عمولة التظهير 0,4%؛ - عمولة تحويل المكان 0,5%؛ - الرسم على القيمة المضافة 17%. ### المطلوب حساب مبلغ الأجيو AGIO ثم حساب القيمة الصافية للورقة التجارية. $V = 42000DA$ $n= \begin{frack{06}{07} - \begin{frack{12}{05}} = 55 jours$ ### 1. حساب مبلغ الأجيو. $AGIO_{TTC} = AGIO_{HT} + (C_t + C_f) × TVA%$ $n = (31-12) + 30 + 6 = 55 jours$ $E_c = \begin{frack{V \times n \times t}{36000}} = \begin{frack{42000 × 4 × 55}{36000}} = 256,5DA$ $C_e = \begin{frack{V \times t \times n}{36000}} = \begin{frack{42000 × 0,4 × 55}{36000}} = 25,67DA$ $C_t = \begin{frack{V \times t \times t}{100}} = \begin{frack{42000 × 0,5}{100}} = 210DA$ $AGIO_{HT} = EC + Com = Ec + Ce + C_t = 492, 17DA$ $TVA = (C_t + C_f ) × 100 = (210) × 0,17 = 35,7DA$ $AGIO_{TTC} = AGIO_{HT} + TVA = 492, 17 + 35,7 = 528,07DA$ $Vnette = Vn - Адіоттс = 42000 - 528,07 = 41507, 63DA$ ### 2. حساب قيمة الصافية للورقة التجارية خامساً : المعدل الحقيقي للخصم يحسب هذا المعدل على أساس التكلفة الإجمالية للخصم أو ما يسمى بالآجيو. المعدل الحقيقي للخصم يكون دوما أكبر من معدل الخصم الاسمي، ويسمح لنا المعدل الحقيقي بالمقارنة بين الشروط المعروضة من طرف البنك. فإذا افتراضنا أن معدل الخصم الاسمي (t) المعلن من طرف البنوك، وبالمقابل المعدل يتغير إذا أضفنا التكاليف الأخرى من عمولة ورسم على القيمة المضافة، وبالتالي يصبح لدينا معدل خصم حقيقي (t). $AGIO_{TTC} = Vn × t_r × \begin{frack{n}{36000}}$ $t_r = \begin{frack{AGIO_{TTC} × 36000}{V_n \times n}} $ من المثال السابق، نحسب المعدل الحقيقي للخصم. $t_r = \begin{frack{AGIO_{T.T.C} × 36000}{V_n \times n}} = \begin{frack{528,07 × 36000}{42000 × 55}} = 8,23%$ $t_r = 8,23%$ **مثال:** يمتلك تاجر ورقة تجارية قيمتها 120000 دج تستحق بعد 4 أشهر ويريد أن يختار بين احدى البنوك، | البنك | معدل الخصم | عمولة 1 | عمولة 2 | |---|---|---|---| | البنك الأول | 6% | %0,02 من القيمة الاسمية | 20 دج | | البنك الثاني | 5% | %1 متناسبة مع الزمن | 30 دج | لإيجاد أفضل بنك لدينا طريقتين: #### **الطريقة الأولى:** نقم بحساب الاقتطاعات (AGIO) لكل بنك وصاحب أقل اقتطاع يعتبر البنك الأفضل كالآتي: **بالنسبة للبنك الأول**: العمولات غير خاضعتين للزمن منه العمولات خاضعتين للرسم على القيمة المضافة. $AGIO_{T.T.C} = E_c + Com + (\Sigma عمولة) × TVA%$ $AGIO_{T.T.C} = (\begin{frack{120000 × 6}{100 × 12}} × 4 )+ [(\begin{frack{120000 × 0,02}{100}} + 20] × 1,19 = 2452,36$ **بالنسبة للبنك الثاني**: نلاحظ أن العمولة 1 مرتبطة بالزمن، أما العمولة 2 ثابتة، منه العمولة 1 فقط تخضع للرسم على القيمة المضافة. $AGIO_{T.T.C} = E_c + Com + (\Sigma عمولة) × TVA%$ $AGIO_{T.T.C} = (\begin{frack{120000 × 5}{100 × 12}} × 4 )+ (\begin{frack{120000 × 1}{100 × 12}} + [30] × 1,19 = 2435,7$ بمأن البنك الثاني يقتطع عمولة (AGIO T..C) أقل من البنك الأول فانه هو الأفضل. #### **الطريقة الثانية:** حساب المعدل الحقيقي (t) $t_r = AGIO_{T.T.C} × \begin{frack{36000}{V_n \times n}} = 2452,36 × \begin{frack{36000}{120000 × 120}} = 6,13%$ $t_r = AGIO_{T.T.C} × \begin{frack{36000}{V_n \times n}} = 2435,7 × \begin{frack{36000}{120000 × 120}} = 6,08%$ بالنسبة للبنك الأول بالنسبة للبنك الثاني: بمأن معدل الخصم الحقيقي للبنك الثاني أقل من معدل البنك الأول فان البنك الثاني أفضل. الأستاذ: فوزي أيت سعيد 9 ==End of OCR for page 9==