الفصل الأول: النظرية الكلاسيكية PDF

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻷول‬ ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫إس دﺑﻠﻴﻮ ﻫﻮﻛﻴﻨﺞ‬ ‫وﺟﻬﺎت ﻧﻈﺮﻧﺎ ذات اﻟﺼﻠﺔ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﺑﺒﻌﺾ‬ ‫ِ‬ ‫ﰲ ﻫﺬه املﺤﺎﴐات‪ ،‬ﺳﺄﻋﺮض أﻧﺎ وروﺟﺮ ِﺑﻨﺮوز‬ ‫— ﻋﲆ اﺧﺘﻼﻓﻬﺎ — ﺣﻮل ﻣﺎﻫﻴﱠﺔ املﻜﺎن واﻟﺰﻣﺎن‪.‬ﺳﻴُﻠﻘﻲ ﻛ...

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻷول‬ ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫إس دﺑﻠﻴﻮ ﻫﻮﻛﻴﻨﺞ‬ ‫وﺟﻬﺎت ﻧﻈﺮﻧﺎ ذات اﻟﺼﻠﺔ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﺑﺒﻌﺾ‬ ‫ِ‬ ‫ﰲ ﻫﺬه املﺤﺎﴐات‪ ،‬ﺳﺄﻋﺮض أﻧﺎ وروﺟﺮ ِﺑﻨﺮوز‬ ‫— ﻋﲆ اﺧﺘﻼﻓﻬﺎ — ﺣﻮل ﻣﺎﻫﻴﱠﺔ املﻜﺎن واﻟﺰﻣﺎن‪.‬ﺳﻴُﻠﻘﻲ ﻛ ﱞﻞ ﻣﻨﺎ ﺛﻼث ﻣﺤﺎﴐات ﺑﺎﻟﺘﺒﺎدل‪،‬‬ ‫ﺟﻠﺴﺔ ﻧﻘﺎﺷﻴﺔ ﺣﻮل أﺳﺎﻟﻴﺒﻨﺎ املﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﺘﻨﺎول اﻷﻣﺮ‪.‬وﺟﺐ اﻟﺘﻨﻮﻳﻪ إﱃ أن ﻫﺬه‬ ‫ٌ‬ ‫ﺗﺘﺒﻌﻬﺎ‬ ‫ﱢ‬ ‫املﺘﻠﻘﻲ إملﺎم ﺑﻤﺒﺎدئ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫املﺤﺎﴐات ﺳﺘﻜﻮن ﻋﺎﻟﻴﺔ اﻟﺘﺨﺼﺺ‪ ،‬وﻧﻔﱰض أﻧﻪ ﻟﺪى‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ وﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﺠﺎرﺑﻪ أﺛﻨﺎء ﻣﺆﺗﻤﺮ ﺣﻮل اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ِ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﻛﺘﺐ رﻳﺘﺸﺎرد ﻓﺎﻳﻨﻤﺎن ﻣﻘﺎﻟﺔ ﻗﺼرية ﻳﺼﻒ ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬أﻋﺘﻘﺪ أﻧﻪ ﻛﺎن ﻳﺘﺤﺪث ﻋﻦ ﻣﺆﺗﻤﺮ وارﺳﻮ اﻟﺬي ﻋُ ﻘِ ﺪ ﻋﺎم ‪.١٩٦٢‬وﻗﺪ أﺷﺎر ﰲ املﻘﺎل‬ ‫ﻧﺤﻮ ﺳﻠﺒﻲ ﻟﻠﻐﺎﻳﺔ إﱃ ﺗﺪﻧﱢﻲ ﻛﻔﺎءة اﻟﺤﺎﴐﻳﻦ ﻋﻤﻮﻣً ﺎ‪ ،‬وﻋﺪم ﻣﻼءﻣﺔ ﻣﺠﺎﻻت ﻋﻤﻠﻬﻢ ملﺎ‬ ‫ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﻛﺎﻧﻮا ﻳﻔﻌﻠﻮﻧﻪ‪.‬إن ﻣﺎ ﺟﻨَﺘْﻪ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻣﻦ ﺷﻬﺮة واﻫﺘﻤﺎم ﻛﺒريﻳﻦ ﰲ ﻣﺪ ٍة ﻗﺼرية ﻳﻌﻮد‬ ‫ﺑﺪرﺟﺔ ﻛﺒرية إﱃ ﺟﻬﺪ روﺟﺮ اﻟﺒﺤﺜﻲ؛ ﻓﺤﺘﻰ ذﻟﻚ اﻟﺤني ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻗﺪ‬ ‫ٍ‬ ‫اﻟﻔﻀﻞ ﻓﻴﻪ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏري ﻣﺮﺗﱠﺒﺔ ﻣﻦ املﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ ﰲ ﻧﻈﺎ ٍم أﺣﺎدي اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫ﺗﻤﺜﱠﻠﺖ ﰲ‬ ‫وﻗﺪ ﺳﻌﺪ اﻟﻨﺎس ﻛﺜريًا ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﱃ ﺣﻞ ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﺣﺘﻰ إﻧﻬﻢ ﻟﻢ ﻳﻜﱰﺛﻮا ﻟ َﻜﻮْﻧﻪ ﻋﲆ اﻷﻏﻠﺐ‬ ‫ﻟﻴﺲ ذا ﻣﻌﻨًﻰ ﰲ اﻟﻮاﻗﻊ املﺎدي‪ ،‬إﻻ أن روﺟﺮ أدﺧﻞ ﺑﻌﺾ املﻔﺎﻫﻴﻢ اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ‪ ،‬ﻣﺜﻞ اﻟﺴﺒﻴﻨﻮرات‬ ‫ﺑني إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ اﻛﺘﺸﺎف اﻟﺨﺼﺎﺋﺺ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻣﻦ دون‬ ‫واﻷﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺸﻤﻮﻟﻴﺔ‪ ،‬وﻛﺎن ﻫﻮ أو َل ﻣﻦ ﱠ‬ ‫دﻗﻴﻘﺎ‪.‬وﻛﺎﻧﺖ ﻣ َُﱪ َﻫﻨﺘﻪ اﻷوﱃ ﺣﻮل املﺘﻔﺮدات ﻫﻲ اﻟﺘﻲ ﻓﺘﺤﺖ ﱄ اﻟﺒﺎب‬ ‫ً‬ ‫ﺣﻼ‬ ‫ﺣﻞ املﻌﺎدﻻت ٍّ‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫ﻟﺪراﺳﺔ اﻟ ِﺒﻨﻴﺔ اﻟﺴﺒﺒﻴﺔ‪ ،‬وﻛﺎﻧﺖ ﻣﺼﺪر اﻹﻟﻬﺎم ﱄ ﰲ أﺑﺤﺎﺛﻲ ﰲ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ ﻋﲆ‬ ‫املﺘﻔﺮدات واﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء‪.‬‬ ‫ﺑﺪرﺟﺔ ﻛﺒرية ﰲ وﺟﻬﺘَﻲ ﻧﻈﺮﻧﺎ ﺣﻮل اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‪،‬‬ ‫ٍ‬ ‫أﻋﺘﻘﺪ أﻧﻨﻲ وروﺟﺮ ﻧﺘﻔﻖ‬ ‫ﻟﻜﻨﻨﺎ ﻧﺨﺘﻠﻒ ﰲ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺗﻌﺎﻣﻠﻨﺎ ﻣﻊ اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻜﻤﻴﺔ‪ ،‬وﺑﺎﻟﻄﺒﻊ ﻣﻊ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻢ ذاﺗﻬﺎ‪.‬وﻣﻊ‬ ‫ﺷﺨﺼﺎ ﺛﻮرﻳٍّﺎ ﺧﻄ ًﺮا ﺑﺴﺒﺐ ﻃﺮﺣﻲ ﻟﻔﻜﺮة‬ ‫ً‬ ‫أن املﺘﺨﺼﺼني ﰲ ﻓﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺴﻴﻤﺎت ﻳﻌﺪﱡوﻧﻨﻲ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﺮوﺟﺮ؛ ﻓﺄﻧﺎ أﺗﺒﻨﱠﻰ وﺟﻬﺔ‬ ‫اﺣﺘﻤﺎل ﻓﻘﺪ اﻟﱰاﺑﻂ اﻟﻜﻤﻲ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻨﻲ ﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴﺪ أُﻋَ ﺪ ﻣُﺤﺎﻓ ً‬ ‫ﻈﺎ‬ ‫اﻟﻨﻈﺮ اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ اﻟﻘﺎﺋﻠﺔ ﺑﺄن أيﱠ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻣﺎ ﻫﻲ إﻻ ﻧﻤﻮذجٌ رﻳﺎﴈ‪ ،‬وأﻧﻪ ﻻ ﻣَ ﻐﺰى‬ ‫ﻣﻦ أن ﻧﺴﺄل إن ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻌﻜﺲ اﻟﻮاﻗﻊ أم ﻻ‪.‬ﻛ ﱡﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻤﺮء أن ﻳﺘﺴﺎءل ﺑﺸﺄﻧﻪ ﻫﻮ ﻣﺪى‬ ‫ﺗﻮاﻓﻖ اﻟﺘﻨﺒﺆات اﻟﺘﻲ ﺗﺄﺗﻲ ﺑﻬﺎ ﻣﻊ املﻼﺣﻈﺎت املﺮﺻﻮدة‪.‬أﻋﺘﻘﺪ أن روﺟﺮ أﻓﻼﻃﻮﻧﻲ ٍّ‬ ‫ﺣﻘﺎ‪،‬‬ ‫ﻟﻜﻦ ﻋﻠﻴﻪ اﻟﺮد ﻋﲆ ذﻟﻚ ﺑﻨﻔﺴﻪ‪.‬‬ ‫ﻨﻴﺔ ﻣﻤﻴﺰة‪ ،‬ﻓﺈﻧﻨﻲ ﻻ أرى‬ ‫ﻋﲆ اﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ ﻇﻬﻮر ﻣﻘﱰَﺣﺎت ﺑﺄﻧﻪ ﻗﺪ ﻳﻜﻮن ﻟﻠﺰﻣﻜﺎن ِﺑ ٌ‬ ‫ٌ‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ راﺋﻌﺔ ﺗﺘﻔﻖ‬ ‫داﻋﻴًﺎ ﻟﻨﺒﺬ ﻧﻈﺮﻳﺎت اﻟﻮﺳﻂ املﺘﺼﻞ اﻟﻨﺎﺟﺤﺔ ﻟﻠﻐﺎﻳﺔ‪.‬إن اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻊ ﺟﻤﻴﻊ املﻼﺣﻈﺎت املﺮﺻﻮدة‪.‬ﻗﺪ ﺗﺘﻄﻠﺐ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻌﺪﻳﻼت ﻋﲆ ﻣﻘﻴﺎس ﺑﻼﻧﻚ‪ ،‬ﻟﻜﻨﻨﻲ ﻻ‬ ‫أﻋﺘﻘﺪ أن ذﻟﻚ ﺳﻴﺆﺛﺮ ﻋﲆ ﻛﺜري ﻣﻦ اﻟﺘﻨﺒﺆات اﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﻨﺒﺎﻃﻬﺎ ﻣﻨﻬﺎ‪.‬ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﻣﺠﺮد‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻣﻨﺨﻔﺾ اﻟﻄﺎﻗﺔ ﻟﻨﻈﺮﻳ ٍﺔ أﺧﺮى أﻛﺜﺮ ﺟﻮﻫﺮﻳﺔ‪ ،‬ﻣﺜﻞ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر‪ ،‬ﻟﻜﻨﻨﻲ أﻋﺘﻘﺪ أن‬ ‫أوﻻ‪ ،‬ﻟﻴﺲ ﻣﻦ اﻟﻮاﺿﺢ أن اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪،‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر ﻗﺪ ُروﱢج ﻟﻬﺎ ﺑﺄﻛﺜﺮ ﻣﻤﺎ ﺗﺴﺘﺤﻖ‪ً.‬‬ ‫ﻣﺠﺎﻻت أﺧﺮى ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻟﻠﺘﻮﺻﻞ إﱃ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻠﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻔﺎﺋﻘﺔ‪ ،‬ﻻ ﻳﻤﻜﻨﻬﺎ أن‬ ‫ٍ‬ ‫ﻋﻨﺪ ﻣﺰﺟﻬﺎ ﻣﻊ‬ ‫ﺗُﻌﻄﻴَﻨﺎ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻢ ﻣﻌﻘﻮﻟﺔ‪.‬إن ﻣﺎ ﻳﻮ َرد ﻋﻦ اﻧﺪﺛﺎر اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻔﺎﺋﻘﺔ ﻣﺎ ﻫﻮ إﻻ ﻣﺒﺎﻟﻐﺎت؛‬ ‫وﻗﺖ ﻣﺎ‪ ،‬ﻛﺎن اﻟﺠﻤﻴﻊ ﻳﻌﺘﻘﺪون أن اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻔﺎﺋﻘﺔ ﻣﺤﺪودة‪ ،‬وﰲ اﻟﺴﻨﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﱠ‬ ‫ﺗﻐريت‬ ‫ﻓﻔﻲ ٍ‬ ‫اﻟﻮﺟﻬﺔ‪ ،‬وﺑﺪأ اﻟﺠﻤﻴﻊ ﻳﻘﻮل إﻧﻪ ﻻ ﺑﺪ أن ﻳﻜﻮن ﰲ اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻔﺎﺋﻘﺔ اﻧﺤﺮاﻓﺎت‪ ،‬ﻣﻊ أﻧﻪ ﻟﻢ‬ ‫ﻳُﻌﺜَﺮ ﰲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻋﲆ أيﱟ ﻣﻦ ذﻟﻚ‪.‬واﻟﺴﺒﺐ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻟﻌﺪم ﻣﻨﺎﻗﺸﺘﻲ ﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر ﻫﻮ أﻧﻬﺎ‬ ‫ﻟﻢ ﺗﻘﺪﱢم أيﱠ ﺗﻨﺒﺆات ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر‪.‬وﻋﲆ اﻟﻨﻘﻴﺾ‪ ،‬أﺗﻰ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ املﺒﺎﴍ ﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻢ ﻋﲆ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ — وﻫﻮ ﻣﺎ ﺳﺄﺗﺤﺪﱠث ﻋﻨﻪ — ﺑﺘﻨﺒﺆﻳﻦ ﻗﺎﺑ َﻠني ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر؛ وﻳﺒﺪو أن أﺣﺪﻫﻤﺎ‬ ‫— وﻫﻮ ﻇﻬﻮر اﺿﻄﺮاﺑﺎت ﺑﺴﻴﻄﺔ أﺛﻨﺎء اﻟﺘﻀﺨﻢ — ﻗﺪ ﺗﺄ ﱠﻛﺪ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺣﺪﻳﺜﺔ‬ ‫ﻻﺿﻄﺮاﺑﺎت ﰲ إﺷﻌﺎع اﻟﺨﻠﻔﻴﺔ املﻴﻜﺮوي‪.‬أﻣﺎ اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﺜﺎﻧﻲ — وﻫﻮ أن اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء ﻻ ﺑﺪ‬ ‫أن ﺗُ ِﺸﻊ ﺣﺮارﻳٍّﺎ — ﻓﻴﻤﻜﻦ اﺧﺘﺒﺎره ﻣﻦ ﺣﻴﺚ املﺒﺪأ‪.‬ﻛﻞ ﻣﺎ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﻓِ ﻌﻠﻪ ﻫﻮ اﻟﻌﺜﻮر ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﺛﻘﺐ‬ ‫أﺳﻮد ﻗﺪﻳﻢ‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﻣﻊ اﻷﺳﻒ ﻻ ﻳﺒﺪو أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻜﺜري ﻣﻦ ﺗﻠﻚ اﻟﺜﻘﻮب ﻓﻴﻤﺎ ﺣﻮﻟﻨﺎ؛ ﻓﻠﻮ ﻛﺎن‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ اﻟﻜﺜري ﻣﻨﻬﺎ ﻛﻨﺎ ﺳﻨﺘﻤﻜﻦ ﻣﻦ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﱃ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻟﻘﻴﺎس اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ً‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻛﻤﻴٍّﺎ‪.‬‬ ‫‪12‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫ﻟﻦ ﻳﺘﻐري أيﱞ ﻣﻦ ﻫﺬﻳﻦ اﻟﺘﻨﺒﺆﻳﻦ ﺣﺘﻰ وإن ﻛﺎﻧﺖ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر ﻫﻲ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ اﻟﺸﺎﻣﻠﺔ ﰲ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ‪.‬ﺑﻴ َﺪ أن ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر — ﻋﲆ اﻷﻗﻞ ﰲ ﺣﺎﻟﺘﻬﺎ اﻟﺤﺎﻟﻴﺔ ﻏري‬ ‫ﻣﻄﻠﻘﺎ ﻋﲆ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﱃ ﻫﺬه اﻟﺘﻨﺒﺆات ﻣﻦ دون اﻻﺳﺘﻨﺎد إﱃ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ً‬ ‫املﻜﺘﻤﻠﺔ — ﻏري ﻗﺎدرة‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺑﺎﻋﺘﺒﺎرﻫﺎ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻔﻌﱠ ﺎﻟﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‪.‬وأﻇﻦ أن اﻟﺤﺎل ﻗﺪ ﻳﻈﻞ ﻛﺬﻟﻚ داﺋﻤً ﺎ‪ ،‬وأﻧﻪ ﻗﺪ‬ ‫ﻻ ﻳﻜﻮن ﺑﺎﻹﻣﻜﺎن اﻟﺘﻮﺻﻞ إﱃ أي ﺗﻨﺒﺆات ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﻟﻴﻬﺎ‬ ‫أﻳﻀﺎ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ أو اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻔﺎﺋﻘﺔ‪.‬وإن ﺻﺢ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻪ ﻳُﺜري اﻟﺘﺴﺎؤل‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬وﻫﻞ ﻳُﻌَ ﺪ اﻟﺠﻤﺎل واﻟﻜﻤﺎل ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﻴﺔ‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ‫ﻋﻤﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر‬ ‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻛﺎﻓﻴًﺎ ﰲ ﻇﻞ ﻏﻴﺎب ﺗﻨﺒﺆات ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر ﺑﺎﻟﺮﺻﺪ؟ وﻫﺬا ﻻ ﻳﻌﻨﻲ ﺣﺘﻰ‬ ‫أن ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر ﺑﺸﻜﻠﻬﺎ اﻟﺤﺎﱄ ﺟﻤﻴﻠﺔ أو ﻛﺎﻣﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻬﺬه اﻷﺳﺒﺎب‪ ،‬ﺳﺄﺗﺤﺪﱠث ﰲ ﻫﺬه املﺤﺎﴐات ﻋﻦ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪ ،‬وﺳﺄر ﱢﻛﺰ ﻋﲆ ﺟﺎﻧﺒني‬ ‫ﺧﻮاص ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺗﻤﺎﻣً ﺎ ﻋﻦ ﻧﻈﺮﻳﺎت املﺠﺎل اﻷﺧﺮى؛‬‫ﱠ‬ ‫ﻳﺒﺪو ﻓﻴﻬﻤﺎ أن اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﻗﺪ ﺗُﺮﺷﺪﻧﺎ إﱃ‬ ‫اﻟﺠﺎﻧﺐ اﻷول ﻫﻮ ﻓﻜﺮة أن اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﻣﻦ ﺷﺄﻧﻬﺎ أن ﺗﺠﻌﻞ ﻟﻠﺰﻣﻜﺎن ﺑﺪاﻳﺔ‪ ،‬ورﺑﻤﺎ ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫أﻳﻀﺎ‪.‬أﻣﺎ اﻟﺠﺎﻧﺐ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻬﻮ اﻛﺘﺸﺎف أﻧﻪ ﻳﺒﺪو أن ﺛَﻤﺔ إﻧﱰوﺑﻴﺎ ﺟﺬﺑﻴﺔ أﺻﻴﻠﺔ ﻏري ﻧﺎﺗﺠﺔ‬ ‫ً‬ ‫ﻋﻦ اﻟﺘﺒﺴﻴﻂ اﻟﻌﻴﺎﻧﻲ؛ ﻓﻘﺪ ادﱠﻋﻰ اﻟﺒﻌﺾ أن ﻫﺬه اﻟﺘﻨﺒﺆات ﻣﺎ ﻫﻲ إﻻ أدوات ﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ﺷﺒﻪ‬ ‫ﻛﻼﺳﻴﻜﻲ‪ ،‬وﻳﻘﻮﻟﻮن إن ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷوﺗﺎر — وﻫﻲ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻜﻤﻴﺔ اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ — ﺳﻮف‬ ‫ﺗُﻨﺤﱢ ﻲ املﺘﻔﺮدات ﺟﺎﻧﺒًﺎ‪ ،‬وﺗﻈﻬﺮ ﺗﺮاﺑﻄﺎت ﰲ اﻹﺷﻌﺎع اﻟﺼﺎدر ﻣﻦ اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء‪ ،‬ﺑﺤﻴﺚ‬ ‫ﻳﺘﻀﺢ أﻧﻬﺎ ﺷﺒﻪ ﺣﺮارﻳﺔ ﻓﺤﺴﺐ‪ ،‬ﻣﻦ ﻣﻨﻈﻮر اﻟﺘﺒﺴﻴﻂ‪.‬وﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ‪ ،‬ﻓﺴﺘﻜﻮن اﻷﻣﻮر‬ ‫ﺑﻌﺾ اﻟﴚء؛ إذ ﻟﻦ ﺗﺨﺘﻠﻒ اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﻋﻦ أي ﻣﺠﺎل آﺧﺮ‪.‬ﻟﻜﻨﻨﻲ أﻋﺘﻘﺪ أﻧﻬﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫ﻣُﻤ ﱠﻠﺔ َ‬ ‫اﺧﺘﻼﻓﺎ واﺿﺤً ﺎ؛ ﻷﻧﻬﺎ ﺗﻌﻤﻞ ﻋﲆ ﺗﺸﻜﻴﻞ اﻟﻨﻄﺎق اﻟﺬي ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻴﻪ‪ ،‬ﺑﻌﻜﺲ املﺠﺎﻻت اﻷﺧﺮى‬ ‫ً‬ ‫اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ﻣﻮﺟﻮدة ﰲ ﺧﻠﻔﻴ ٍﺔ زﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ‪.‬وﻫﺬا ﻫﻮ ﻣﺎ ﻳﻘﻮد إﱃ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ أن ﻳﻜﻮن ﻟﻠﺰﻣﻦ‬ ‫ملﻨﺎﻃﻖ ﻣﻦ اﻟﻜﻮن ﻻ ﻳﻤﻜﻦ رﺻﺪﻫﺎ؛ وﻫﻮ ﻣﺎ ﻳﺆدي ﺑﺪوره إﱃ ﻇﻬﻮر‬ ‫َ‬ ‫ﺑﺪاﻳﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺧﺬﻧﺎ ً‬ ‫أﻳﻀﺎ‬ ‫ﻣﺒﺪأ اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ اﻟﺠﺬﺑﻴﺔ ﺑﺎﻋﺘﺒﺎره ِﻣ ً‬ ‫ﻘﻴﺎﺳﺎ ملﺎ ﻻ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻌﺮﻓﺘﻪ‪.‬‬ ‫ﰲ ﻫﺬه املﺤﺎﴐة ﺳﺄﺳﺘﻌﺮض ﻣﺒﺎدئ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻘﻮدﻧﺎ إﱃ ﺗﻠﻚ‬ ‫ﺳﺄﺑني ﻛﻴﻔﻴﺔ ﱡ‬ ‫ﺗﻐري‬ ‫ﱢ‬ ‫ﻣﺤﺎﴐﺗﻲ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ )اﻟﻔﺼﻠني اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺨﺎﻣﺲ(‪،‬‬ ‫ﱠ‬ ‫اﻷﻓﻜﺎر‪ ،‬وﰲ‬ ‫وﺗﻮﺳﻊ ﻧﻄﺎﻗﻬﺎ ﻣﻊ اﻧﺘﻘﺎﻟﻨﺎ إﱃ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻢ‪.‬ﺳﺘﻜﻮن املﺤﺎﴐة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻋﻦ‬ ‫ﱡ‬ ‫ﻫﺬه املﺒﺎدئ‬ ‫اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء‪ ،‬واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻋﻦ ﻋﻠﻢ اﻟﻜﻮﻧﻴﺎت اﻟﻜﻤﻲ‪.‬‬ ‫ﻟﻘﺪ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺪراﺳﺔ املﺘﻔﺮدات واﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء اﻟﺘﻲ ﻗﺪﱠﻣﻬﺎ روﺟﺮ‪،‬‬ ‫وﺳﺎﻋﺪت أﻧﺎ ﰲ ﺗﻄﻮﻳﺮﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻜﻤُﻦ ﰲ دراﺳﺔ اﻟ ِﺒﻨﻴﺔ اﻟﺴﺒﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻨﺴﻴﺞ اﻟﺰﻣﻜﺎن‪.‬ﺣﺪد‬ ‫املﺠﻤﻮﻋﺔ )‪ I + (p‬ﺑﺎﻋﺘﺒﺎرﻫﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻛﻞ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺘﻲ ﺗﺸ ﱢﻜﻞ اﻟﺰﻣﻜﺎن ‪ ،M‬واﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫‪13‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻴﻬﺎ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ P‬ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎت ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ ِ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﺒﻞ )اﻧﻈﺮ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ ‪.(1-1‬وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ اﻋﺘﺒﺎر أن )‪ I + (p‬ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﻲ ﻗﺪ ﺗﺘﺄﺛﺮ ﺑﻤﺎ ﻳﺤﺪث‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻔﺎت أﺧﺮى ﻣﺸﺎﺑﻬﺔ‪ ،‬ﺗﺤ ﱡﻞ ﻓﻴﻬﺎ إﺷﺎرة اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻣﺤ ﱠﻞ إﺷﺎرة املﻮﺟﺐ‪،‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﻋﻨﺪ ‪.P‬وﺛَﻤﺔ‬ ‫واملﺎﴈ ﻣﺤﻞ املﺴﺘﻘﺒﻞ‪.‬وﺳﺄﻓﱰض ﻫﻨﺎ أن ﻫﺬه اﻟﺘﻌﺮﻳﻔﺎت واﺿﺤﺔ وﻻ ﺗﺤﺘﺎج إﱃ ﴍح‪.‬‬ ‫اﻟﺘﺴﻠﺴﻞ اﻟﺰﻣﻨﻲ املﺴﺘﻘﺒﲇ‬ ‫)‪I + (p‬‬ ‫ﺧﻂ ﺟﻴﻮدﻳﴘ ﺻﻔﺮي ﰲ )‪،∙I + (p‬‬ ‫ﻻ ﻳﻌﻮد إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬وﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺣُ ﺬﻓﺖ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻜﺎن‬ ‫اﻟﺰﻣﺎن‬ ‫ﺧﻄﻮط ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﺗﻤﺮ ﻋﱪ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪∙+‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،p‬وﺗﻮ ﱢﻟﺪ ﺟﺰءًا ﻣﻦ )‪I (p‬‬ ‫املﻜﺎن‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :1-1‬اﻟﺘﺴﻠﺴﻞ اﻟﺰﻣﻨﻲ املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.P‬‬ ‫ﻟﻨﻨﻈﺮ اﻵن إﱃ اﻟﺤﺪ )‪ İ+ (S‬ملﺴﺘﻘﺒﻞ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.S‬ﻣﻦ اﻟﺴﻬﻞ ﺟﺪٍّا ﻣﻼﺣﻈﺔ أن ﻫﺬا اﻟﺤﺪ ﻻ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮن ﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ؛ ﻓﻠﻮ ﻛﺎن ﻛﺬﻟﻚ ﻟﻜﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬اﻟﺘﻲ ﺗﻘﻊ ﻣﺒﺎﴍ ًة ﺧﺎرج اﻟﺤﺪ‪،‬‬ ‫ﻫﻲ ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬املﻮﺟﻮدة داﺧﻠﻪ ﻣﺒﺎﴍ ًة‪.‬ﻛﻤﺎ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ أن ﻳﻜﻮن ِﺷﺒﻪ‬ ‫زﻣﻨﻲ إﻻ ﻋﻨﺪ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ﻧﻔﺴﻬﺎ؛ ﻷﻧﻪ ﰲ ﺗﻠﻚ اﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ،‬ﻛﻞ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ﻣﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺎﴈ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺳﻴﻌﱪ اﻟﻨﻄﺎق وﻳﱰك ﺧﻠﻔﻪ ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ ،S‬وﺳﻴﺘﻌﺎرض ذﻟﻚ‬ ‫ُ‬ ‫‪ q‬ﻧﺤﻮ ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ اﻟﺤﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﻊ ﺣﻘﻴﻘﺔ أن ‪ q‬ﺗﻘﻊ ﰲ ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ ‪) S‬اﻟﺸﻜﻞ ‪.(2-1‬‬ ‫وﻣﻦ ﺛَﻢ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ ﺻﻔﺮي‪ ،‬ﺑﻤﻌﺰل ﻋﻦ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ذاﺗﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻧﺤﻮ أدق‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬داﺧﻞ اﻟﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ‪ ،‬وﻟﻜﻨﻬﺎ ﻟﻴﺴﺖ ﰲ ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫ٍ‬ ‫وﻋﲆ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻟﻠﻤﺎﴈ‪ ،‬ﺗﻤ ﱡﺮ ﻋﱪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪q‬‬‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ ِ‬ ‫ٌ‬ ‫املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ ،S‬ﻓﺈﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ داﺧﻞ اﻟﺤﺪ )اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(3-1‬ﻗﺪ ﻳﻮﺟﺪ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ‬ ‫واﺣﺪة ﺗﻤ ﱡﺮ ﻋﱪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬اﻟﻮاﻗﻌﺔ داﺧﻞ اﻟﺤﺪ‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﰲ ﻫﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪q‬‬ ‫‪14‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫) ‪I˙+ (S‬‬ ‫) ‪I + (S‬‬ ‫‪q‬‬ ‫) ‪I + (S‬‬ ‫‪q‬‬ ‫) ‪I˙+ (S‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨًﻰ ﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻛﻞ املﻨﺤﻨﻴﺎت ﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ املﻨﺒﻌﺜﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﺗﱰك املﺠﻤﻮﻋﺔ ) ‪I + (S‬‬ ‫ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﺴﻄﺢ ) ‪ I˙+ (S‬أن ﻳﻜﻮن ﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‬ ‫ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﺴﻄﺢ ) ‪ I˙+ (S‬أن ﻳﻜﻮن ﺷﺒﻪ ﻣﻜﺎﻧﻲ‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :2-1‬ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺘﺴﻠﺴﻞ اﻟﺰﻣﻨﻲ املﺴﺘﻘﺒﲇ أن ﻳﻜﻮن ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ أو ِﺷﺒﻪ ﻣﻜﺎﻧﻲ‪.‬‬ ‫ﻫﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪.‬وﺑﻌﺒﺎر ٍة أﺧﺮى‪ ،‬ﻳﻨﺸﺄ ﺣﺪ ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ‬ ‫املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ﻋﻦ ﻗِ ﻄﻊ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ‪ ،‬ﻟﻬﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ داﺧﻞ اﻟﺤﺪ‪ ،‬وﺗﻤ ﱡﺮ‬ ‫إﱃ داﺧﻞ اﻟﺠﺰء اﻟﺪاﺧﲇ ﻣﻦ املﺴﺘﻘﺒﻞ إذا ﺗﻘﺎﻃﻌﺖ ﻣﻊ ﻣﻮ ﱢﻟﺪ آﺧﺮ‪.‬وﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴ ٍﺔ أﺧﺮى‪ ،‬ﻓﺈن‬ ‫ﻣﻮ ﱢﻟﺪات اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮن ﻟﻬﺎ ﻧﻘﺎط ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ ﻋﲆ املﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫زﻣﻜﺎﻧﺎت ﺗﺤﺘﻮي ﻋﲆ ﻣﻮ ﱢﻟﺪات ﻟﻠﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ ملﺠﻤﻮﻋﺔ ‪S‬‬ ‫ٌ‬ ‫‪ S‬ﻓﻘﻂ‪.‬ﺑﻴ َﺪ أﻧﻪ ﻳﺤﺘﻤﻞ أن ﻳﻮﺟﺪ‬ ‫ﻻ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ أﺑﺪًا ﻣﻊ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.S‬واملﻮ ﱢﻟﺪات ﻣﻦ ﻫﺬا اﻟﻨﻮع ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮن ﻟﻬﺎ ﻧﻘﺎط ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫ﻣﺎﺿﻴﺔ‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﺛَﻤﺔ ﻣﺜﺎ ٌل ﺑﺴﻴﻂ ﻋﲆ ذﻟﻚ ﻫﻮ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﻜﻮﻓﺴﻜﻲ ﻣﺤﺬوف ﻣﻨﻪ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ أﻓﻘﻴﺔ‬ ‫)اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(4-1‬إذا ﻛﺎﻧﺖ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ﺗﻘﻊ ﰲ ﻣﺎﴈ اﻟﺨﻂ اﻷﻓﻘﻲ‪ ،‬ﻓﺴﻴﻨﺸﺄ ﻋﻦ‬ ‫اﻟﺨﻂ ﻇ ﱞﻞ‪ ،‬وﺳﺘﻮﺟﺪ ﻧﻘﺎط ﻋﲆ اﻟﺠﺎﻧﺐ املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻣﻦ اﻟﺨﻂ ﻟﻴﺴﺖ ﰲ ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.S‬‬ ‫وﺳﻴﻮﺟﺪ ﻣﻮ ﱢﻟﺪ ﻟﻠﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ﻳﻌﻮد إﱃ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺨﻂ اﻷﻓﻘﻲ‪.‬ﻟﻜﻦ‪ ،‬ﺑﻤﺎ أن ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ُ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺨﻂ اﻷﻓﻘﻲ ﻣﺤﺬوﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻜﺎن‪ ،‬ﻓﻠﻦ ﻳﻜﻮن ملﻮ ﱢﻟﺪ اﻟﺤﺪ ﻫﺬا‬ ‫وﺳﻴﻜﻮن ﻫﺬا اﻟﺰﻣﻜﺎن ﻏري ﻣﻜﺘﻤﻞ‪ ،‬ﻟﻜﻦ املﺮء ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ ذﻟﻚ ﺑﴬب وﺣﺪة اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫‪15‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫) ‪I + (S‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﰲ ) ‪I˙+ (S‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ املﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ملﻮﻟﺪات ) ‪I˙+ (S‬‬ ‫‪q‬‬ ‫) ‪I + (S‬‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﰲ ) ‪I˙+ (S‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :3-1‬ﺑﺎﻷﻋﲆ‪ :‬ﺗﻘﻊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﻋﲆ ﺣﺪ املﺴﺘﻘﺒﻞ؛ وﻣﻦ ﺛَﻢ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﰲ اﻟﺤﺪ اﻟﺬي ﻳﻤ ﱡﺮ ﻋﱪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.q‬ﺑﺎﻷﺳﻔﻞ‪ :‬إذا ﻛﺎن ﻳﻮﺟﺪ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ واﺣﺪة‪،‬‬ ‫ﻓﺴﺘﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﻫﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ املﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻗﺮب ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺨﻂ اﻷﻓﻘﻲ‪.‬وﻣﻊ أن أﻣﻜﻨﺔ ﻛﻬﺬه ﻣﺼﻄﻨﻌﺔ ﺟﺪٍّا‪ ،‬ﻓﻬﻲ‬ ‫ٍ‬ ‫ُﺘﻮاز‬ ‫ﻋﺎﻣﻞ ﻣ ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ﰲ‬ ‫ﻣﻬﻤﺔ ﻹﻇﻬﺎر ﻣﺪى اﻟﺤﺮص اﻟﻼزم أﺛﻨﺎء دراﺳﺔ اﻟ ِﺒﻨﻴﺔ اﻟﺴﺒﺒﻴﺔ‪.‬ﰲ اﻟﻮاﻗﻊ‪ ،‬أﺷﺎر روﺟﺮ ﺑﻨﺮوز‬ ‫— اﻟﺬي ﻛﺎن أﺣﺪ ا ُملﻤﺘﺤِ ﻨني ﱄ أﺛﻨﺎء ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ رﺳﺎﻟﺔ اﻟﺪﻛﺘﻮراه — إﱃ أن ﻣﻜﺎﻧًﺎ ِﻣﺜﻞ اﻟﺬي‬ ‫ذﻛﺮﺗﻪ ﻟﻠﺘ ﱢﻮ ﻫﻮ ﻣﺜﺎل ﻣﻀﺎ ﱞد ﻟﺒﻌﺾ ﻣﺎ زﻋﻤﺘﻪ ﰲ أﻃﺮوﺣﺘﻲ‪.‬‬ ‫‪16‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫) ‪I + (S‬‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ ﻟﻠﺤﺪ ) ‪ ،I˙ (S‬ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﲆ ‪S‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ املﺴﺘﻘﻴﻤﺔ املﺤﺬوﻓﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﻜﻮﻓﺴﻜﻲ‬ ‫ﻣﻮﻟﺪات ﻟﻠﺤﺪ ) ‪ ،I˙+ (S‬ﻟﻬﺎ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪S‬‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ ﻋﲆ ‪S‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :4-1‬ﺑﺤﺬف ﺧﻂ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﻜﻮﻓﺴﻜﻲ‪ ،‬ﻳﻜﻮن ﻟﻠﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ﻣﻮ ﱢﻟﺪ ﻟﻴﺲ‬ ‫ﻟﻪ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫ﻹﻇﻬﺎر أن ﻛﻞ ﻣﻮ ﱢﻟﺪ ﻟﻠﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻟﻪ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ ﰲ املﺠﻤﻮﻋﺔ‪ ،‬ﻋﻠﻴﻨﺎ‬ ‫ﴍط ﻋﺎم ﻋﲆ اﻟ ِﺒﻨﻴﺔ اﻟﺴﺒﺒﻴﺔ‪ ،‬واﻟﴩط اﻷﻗﻮى واﻷﻫﻢ ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴٍّﺎ ﻫﻮ ﴍط اﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎم إذا‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫ﺗُﻌَ ﺪ املﺠﻤﻮﻋﺔ املﻔﺘﻮﺣﺔ ‪ U‬زاﺋﺪﻳﺔ‬ ‫)‪ (١‬ﻛﺎن اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺑني ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬وﻣﺎﴈ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،q‬ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺘني ‪ p‬و‪ q‬ﰲ‬ ‫ٌ‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺤﺼﻮرة ﺑﺤﺪود ﺗﺘﺨﺬ ﺷﻜ َﻞ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﻨﻐﻠﻘﺎ ﺑﺈﺣﻜﺎم‪.‬ﺑﻌﺒﺎر ٍة أﺧﺮى‪ ،‬ﻫﻲ‬ ‫املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪،U‬‬ ‫املﻌني )اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(5-1‬‬ ‫ﱠ‬ ‫ٌ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴﺎت ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ‬ ‫ٌ‬ ‫ﺳﺒﺒﻴﺔ ﻗﻮﻳﺔ ﻋﻨﺪ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪U‬؛ أي إﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﱠ‬ ‫ﺗﺤﻘﻘﺖ‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫أو ِﺷﺒﻪ ﻣﻐﻠﻘﺔ ﰲ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.U‬‬ ‫ﺗﻜﺘﺴﺐ اﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ أﻫﻤﻴﺘﻬﺎ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻣﻦ َﻛﻮْﻧﻬﺎ ﺗﺪ ﱡل ﻋﲆ وﺟﻮد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ‬ ‫أﺳﻄﺢ »ﻛﻮﳾ«‪ ،Σ(t) ،‬ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪) U‬اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(6-1‬وﺳﻄﺢ »ﻛﻮﳾ« ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪U‬‬ ‫ﻫﻮ ﺳﻄﺢٌ ِﺷﺒﻪ ﻣﻜﺎﻧﻲ‪ ،‬أو ﺻﻔﺮي‪ ،‬ﻳﻘﻄﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ ﰲ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ U‬ﻣﺮ ًة واﺣﺪة‬ ‫ﺗﻮﻗﻊ ﻣﺎ ﺳﻴﺤﺪث ﰲ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ U‬ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻋﲆ ﺳﻄﺢ »ﻛﻮﳾ«‪،‬‬ ‫ﻓﻘﻂ‪.‬وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﱡ‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ وﺿﻊ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻣُﻨﻀﺒﻄﺔ ﻟﻠﻤﺠﺎل اﻟﻜﻤﻲ ﻋﲆ أﺳﺎس اﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬أﻣﺎ ﻓﻴﻤﺎ‬ ‫ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺻﻴﺎﻏﺔ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻣﻌﻘﻮﻟﺔ ﻟﻠﻤﺠﺎل اﻟﻜﻤﻲ ﻋﲆ أﺳﺎس اﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ ﻏري اﻟﻌﺎﻣﺔ‪،‬‬ ‫‪17‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪I + (p‬‬ ‫)‪I − (q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :5-1‬اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺑني ﻣﺴﺘﻘﺒﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬وﻣﺎﴈ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﻣﻨﻐﻠﻖ ﺑﺈﺣﻜﺎم‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)‪Σ(t‬‬ ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ ﻣﻊ )‪Σ(t‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :6-1‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ أﺳﻄﺢ »ﻛﻮﳾ« ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.U‬‬ ‫ﻓﺈن إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ذﻟﻚ ﻟﻴﺴﺖ واﺿﺤﺔ ﺑﺎﻟﻘﺪر ﻧﻔﺴﻪ‪.‬إذن‪ ،‬ﻗﺪ ﺗﻜﻮن اﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﴐور ًة‬ ‫ﻧﻔﱰض وﺟﻮدﻫﺎ؛ ﻷن ذﻟﻚ ﻳﺠﻌﻠﻨﺎ ﻧُﻐﻔﻞ‬ ‫َ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﻣﻦ وﺟﻬﺔ ﻧﻈﺮي أﻧﻪ ﻳﺠﺐ ﻋﻠﻴﻨﺎ أﻻ‬ ‫‪18‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫‪p‬‬ ‫أﻃﻮل ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ٌ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻳﺒﻠﻎ ﻃﻮﻟُﻬﺎ أﻗﴡ ﻣﺎ‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :7-1‬ﰲ ﻓﻀﺎءٍ ﻳﺘﱠﺴﻢ ﺑﺎﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪ ،‬ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺑني أي ﻧﻘﻄﺘني ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺑﻤﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ أو ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ ﺻﻔﺮي‪.‬‬ ‫ً‬ ‫أﻣ ًﺮا ﺗُﺤﺎول اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﺗﻮﺿﻴﺤﻪ ﻟﻨﺎ‪ ،‬ﺑﻞ ﻳُﻔﱰض أن ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ اﻓﱰاﺿﺎت ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﻘﻮﻟﺔ أﺧﺮى أن ﺑﻌﺾ ﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺰﻣﻜﺎن ﺗﺘﱠﺴﻢ ﺑﺎﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻜﺘﺴﺐ اﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ أﻫﻤﻴﺘﻬﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﻤﱪﻫﻨﺎت املﺘﻔﺮدات ﻣﻦ اﻵﺗﻲ‪.‬اﻓﱰض‬ ‫أن املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ U‬ﺗﺘﺴﻢ ﺑﺎﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪ ،‬وأن ‪ p‬و‪ q‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﰲ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ U‬ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ‬ ‫ٌ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ أو‬ ‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺑﻤﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ أو ﺑﻤﻨﺤﻨًﻰ ﺻﻔﺮي‪.‬وﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﺻﻔﺮﻳﺔ ﺑني اﻟﻨﻘﻄﺘني ‪ p‬و‪ ،q‬ﺗﺰﻳﺪ ﻃﻮل املﻨﺤﻨﻴﺎت ﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ أو املﻨﺤﻨﻴﺎت اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﻟﻴﺼﻞ إﱃ أﻗﴡ ﻃﻮل ﻣﻤﻜﻦ )اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(7-1‬ﻟﱪﻫﻨﺔ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻻ ﺑﺪ‬ ‫ﻣﻦ إﺛﺒﺎت أن اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺬي ﻳﺤﺘﻮي ﻋﲆ ﻛﻞ املﻨﺤﻨﻴﺎت ﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ أو املﻨﺤﻨﻴﺎت اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ‪،‬‬ ‫ﻣﻌني؛ وﻣﻦ ﺛَﻢ ﻧُﺜ ِﺒﺖ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻃﻮﺑﻮﻟﻮﺟﻲ ﱠ‬ ‫ٍ‬ ‫املﻤﺘﺪة ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،q‬ﻣﻨﻀﻐﻂ ﰲ‬ ‫داﻟﺔ ﻋﻠﻴﺎ ﻧِﺼﻒ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﰲ ﻫﺬا املﻜﺎن؛ ﻟﺬا ﻻ ﺑﺪ أن ﻳﺼﻞ‬ ‫أن ﻃﻮل املﻨﺤﻨﻰ ﻫﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ٍ‬ ‫ً‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ؛ ﻷﻧﻪ ﻟﻮ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ‬ ‫إﱃ أﻗﴡ ﻃﻮل ﻟﻪ‪ ،‬واملﻨﺤﻨﻰ ذو اﻟﻄﻮل اﻷﻗﴡ ﺳﻴﻜﻮن‬ ‫ﻛﺬﻟﻚ ﻟﻜﺎﻧﺖ اﻻﺧﺘﻼﻓﺎت اﻟﺒﺴﻴﻄﺔ ﺳﺘﺆدي إﱃ ﻣﻨﺤﻨًﻰ أﻃﻮل‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ آﺧﺮ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻣﻦ أﻃﻮال اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪ ،‬وﻫﻮ ‪.γ‬‬ ‫ٍ‬ ‫وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ اﻵن اﻻﻧﺘﻘﺎل إﱃ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻗﺮﻳﺒﺔ‬‫ٌ‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ إﻇﻬﺎر أن ‪ γ‬ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻐﻴريه ملﻨﺤﻨًﻰ أﻃﻮل ﰲ ﺣﺎل ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﺟﺪٍّا ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،p‬ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ‪ γ‬ﻣﺮ ًة أﺧﺮى ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ r‬ﺑني اﻟﻨﻘﻄﺘني ‪ p‬و‪ ،q‬وﺗُﻌﺘﱪ‬ ‫‪19‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫‪q‬‬ ‫أﻗﴫ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪ ،‬ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻴﺴﺖ اﻷﻗﴫ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫دون ﻧﻘﺎط ﻣﺮاﻓﻘﺔ‬ ‫اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪γ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪p‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫‪q‬‬ ‫ﺗﻘﻊ ﻋﲆ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪γ‬‬ ‫املﺠﺎورة‬ ‫‪p‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪p‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺮاﻓﻘﺔ ‪ r‬ﺑني اﻟﻨﻘﻄﺘني ‪ p‬و‪ q‬ﻋﲆ ﻗﻄﻌﺔٍ‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :8-1‬إﱃ اﻟﻴﺴﺎر‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻓﻬﺬه إذن ﻟﻴﺴﺖ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻷﻗﴫ‪.‬إﱃ اﻟﻴﻤني‪ :‬اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ٌ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻄﺐ‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻟﻴﺴﺖ ﻫﻲ اﻷﻗﴫ‪ ،‬املﻤﺘﺪة ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،q‬ﻟﻬﺎ‬ ‫اﻟﺠﻨﻮﺑﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ r‬ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪) p‬اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(8-1‬وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺼﻮﱡر ذﻟﻚ ﺑﺘﺨﻴﱡﻞ ﻧﻘﻄﺘني‬ ‫ﻧﺘﺨﲆ ﻋﻦ اﻟﻌﻤﻮﻣﻴﺔ‪ ،‬ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﻗﻊ‬ ‫ﱠ‬ ‫‪ p‬و‪ q‬ﻋﲆ ﺳﻄﺢ ﻛﻮﻛﺐ اﻷرض‪.‬وﺑﺪون أن‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻄﺐ اﻟﺸﻤﺎﱄ‪.‬وﻷن ﻛﻮﻛﺐ اﻷرض ﻟﻪ ﻓﻀﺎءٌ ِﻣﱰي ﻣﺤﺪﱠد ﻣﻮﺟﺐ‪ ،‬وﻟﻴﺲ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻫﻲ أﻗﴫ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪ ،‬وﻟﻴﺲ ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ٌ‬ ‫ﻣﱰﻳﺔ ﻟﻮرﻧﺘﺰ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫أﻃﻮل ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪.‬ﻫﺬه اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻷﻗﴫ ﺳﺘﻜﻮن ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﺧﻂ ﻃﻮل ﻣﻤﺘﺪ ﻣﻦ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ أﺧﺮى ﻣﻤﺘﺪة ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪p‬‬ ‫ٌ‬ ‫اﻟﻘﻄﺐ اﻟﺸﻤﺎﱄ إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.q‬ﻟﻜﻦ ﺳﺘﻮﺟﺪ‬ ‫إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،q‬ﺗﻤ ﱡﺮ ﰲ اﻟﺨﻠﻒ ﻣﻦ أﻋﲆ ﻷﺳﻔﻞ‪ ،‬ﻣﻦ اﻟﻘﻄﺐ اﻟﺸﻤﺎﱄ إﱃ اﻟﻘﻄﺐ اﻟﺠﻨﻮﺑﻲ‪ ،‬ﺛﻢ‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪p‬‬ ‫ﻣﻦ أﺳﻔﻞ ﻷﻋﲆ ﻧﺤﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.q‬ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻫﺬه اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻄﺐ اﻟﺠﻨﻮﺑﻲ‪ ،‬ﺣﻴﺚ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻛ ﱡﻞ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ املﻨﺒﻌﺜﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.p‬ﻛﻠﺘﺎ‬ ‫ﻃﻮل ﺛﺎﺑﺘﺔ ﰲ ﻇﻞ ﺗﻐﺎﻳُﺮ‬ ‫ٍ‬ ‫ط‬‫اﻟﻘﻄﻌﺘني اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺘني ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﺗﻤﺜﱢﻼن ﻧﻘﺎ َ‬ ‫ﺑﺴﻴﻂ‪.‬ﻟﻜﻦ ﰲ ﻓﻀﺎءٍ ﻣﱰي ﻣﺤﺪﱠد ﻣﻮﺟﺐ‪ ،‬ﻗﺪ ﻳﻨﺘﺞ ﻋﻦ اﻟﺘﻐﺎﻳﺮ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻟﻠﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪،‬‬ ‫اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺮاﻓﻘﺔ‪ ،‬ﻣﻨﺤﻨًﻰ أﻗﴫ ﻳﻤﺘﺪ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.q‬ﻟﺬﻟﻚ‪ ،‬ﰲ ﻣﺜﺎل‬ ‫اﻟﻜﺮة اﻷرﺿﻴﺔ‪ ،‬ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ اﺳﺘﻨﺒﺎط أن اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺘﺪ ﻷﺳﻔﻞ ﺑﺎﺗﺠﺎه اﻟﻘﻄﺐ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻷﻋﲆ‪ ،‬ﻟﻴﺴﺖ املﻨﺤﻨﻰ اﻷﻗﴫ املﻤﺘﺪ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬إﱃ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.q‬‬‫ً‬ ‫اﻟﺠﻨﻮﺑﻲ ﺛﻢ ﺗﺮﺟﻊ‬ ‫‪20‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫ﻫﺬا ﻣﺜﺎ ٌل واﺿﺢ ﺟﺪٍّا‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺰﻣﻜﺎن‪ ،‬ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ إﻇﻬﺎر أﻧﻪ ﻣﻊ وﺟﻮد اﻓﱰاﺿﺎت ﻣﻌﻴﱠﻨﺔ‬ ‫ط ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻋﲆ‬‫ﻻ ﺑﺪ أن ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺗﺘﱠﺴﻢ ﺑﺎﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪ ،‬وﻳُﻔﱰض أن ﺗﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﻧﻘﺎ ٌ‬ ‫ٌ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻳُﺜ ِﺒﺖ أن اﻓﱰاض اﻟﻜﻤﺎل‬ ‫ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻣﻤﺘﺪة ﺑني ﻧﻘﻄﺘني‪.‬وﻳﻨﺸﺄ ﻋﻦ ذﻟﻚ‬ ‫ٌ‬ ‫اﻓﱰاض ﺧﺎﻃﺊ‪.‬‬ ‫ﻟﺰﻣﻜﺎن ﻏري ﻣﺘﻔﺮد‪ ،‬ﻫﻮ‬ ‫ٍ‬ ‫ً‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻔﺎ‬ ‫اﻟﺠﻴﻮدﻳﴘ‪ ،‬اﻟﺬي ﻳﻤﻜﻦ اﺗﺨﺎذُه‬ ‫ﻳﻌﻮد اﻟﺴﺒﺐ ﰲ ﻇﻬﻮر ﻧﻘﺎط ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﰲ اﻟﺰﻣﻜﺎن إﱃ أن اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﻗﻮ ٌة ﺟﺎذﺑﺔ؛ وﻣﻦ‬ ‫ﻧﺤﻮ ﻳﺠﻌﻞ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ املﺠﺎورة ﻳﻨﺤﻨﻲ‬ ‫ﺛَﻢ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﺘﺴﺒﱠﺐ ﰲ اﻧﺤﻨﺎء اﻟﺰﻣﻜﺎن ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﺗﻨﺤﻨﻲ ﻧﺤﻮ اﻟﺨﺎرج‪.‬وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﻓﻬﻢ ذﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﻌﺎدﻟﺘَﻲ‬ ‫َ‬ ‫ﺑﻌﻀﻬﺎ ﺗﺠﺎه ﺑﻌﺾ‪ً ،‬‬ ‫ﺑﺪﻻ ﻣﻦ أن‬ ‫ٍ‬ ‫ﺻﻴﻐﺔ ﻣﻮﺣﱠ ﺪة‪.‬‬ ‫راﻳﺸﻮدوري أو ﻧﻴﻮﻣﺎن‪-‬ﺑﻨﺮوز‪ ،‬واﻟﻠﺘﺎن ﺳﺄﻛﺘﺒﻬﻤﺎ ﰲ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ راﻳﺸﻮدوري‪-‬ﻧﻴﻮﻣﺎن‪-‬ﺑﻨﺮوز‬ ‫‪dρ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= ρ 2 + σ ij σ ij + Rab la lb ,‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ n = 2‬ﻟﺠﻤﻴﻊ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ‪،‬‬ ‫و‪ n = 3‬ﻟﻠﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﱟ‬ ‫ﻣﻤﺎس ‪ ،la‬وﻫﻮ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ٍ‬ ‫ﺑﻤﺘﺠﻪ‬ ‫إن ‪ υ‬ﻫﻨﺎ ﻫﻮ ﻣُﻌﺎﻣ ٌﻞ ﺗﺂﻟﻔﻲ ﻻﺋﺘﻼف ﻣﻦ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﻋﲆ املﺴﺘﻮى اﻟﻔﺎﺋﻖ‪.‬اﻟﻜﻤﻴﺔ ‪ ρ‬ﻫﻲ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﻌﺪل ﺗﻘﺎ ُرب اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪ ،‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ‪ σ‬ﻫﻮ‬ ‫ﱢ‬ ‫وﻳﻌﱪ اﻟﺤﺪ ‪ Rab la lb‬ﻋﻦ ﺗﺄﺛري اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ املﺒﺎﴍ ﻟﻠﻤﺎدة ﻋﲆ ﻣﺪى ﺗﻘﺎ ُرب‬ ‫ﻣﻘﻴﺎس ﻟﻠﻘﺺ‪،‬‬ ‫اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ أﻳﻨﺸﺘﺎﻳﻦ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Rab‬‬ ‫‪− gab R = 8π Tab.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻀﻌﻴﻒ‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪Tab υ υ ≥ 0‬‬ ‫ﻷي ﻣﺘﺠﻪ ‪ υa‬ﺷﺒﻴﻪ ﺑﺎﻟﺰﻣﻦ‪.‬‬ ‫‪21‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻣﻌﺎدﻻت أﻳﻨﺸﺘﺎﻳﻦ‪ ،‬ﺗﻜﻮن ﻗﻴﻤﺔ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻏري ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻷي ﻣﺘﺠﻪ ‪ la‬ﺻﻔﺮي‪ ،‬ﰲ ﺣﺎل‬ ‫ﺧﻀﻮع املﺎدة ملﺎ ﻳُﺴﻤﻰ ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻀﻌﻴﻒ‪ ،‬وﻳﻌﻨﻲ ذﻟﻚ أن ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻟﻄﺎﻗﺔ ‪ T00‬ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻏري ﺳﺎﻟﺒﺔ ﰲ أي إﻃﺎر‪.‬وﻳﺨﻀﻊ ﻣﻮﺗﱢﺮ زﺧﻢ اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻲ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ أي ﻣﺎدة‬ ‫ﻣﻌﻘﻮﻟﺔ‪ ،‬ﻣﺜﻞ املﺠﺎل اﻟﻘﻴﺎﳼ أو اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﴘ‪ ،‬أو ﻣﺎﺋﻊ ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻌﻘﻮﻟﺔ‪ ،‬إﱃ‬ ‫ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻀﻌﻴﻒ‪.‬ﻟﻜﻨﻪ ﻗﺪ ﻻ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻣﺤﻠﻴٍّﺎ ﺑﺎﻟﻘﻴﻤﺔ املﻴﻜﺎﻧﻴﻜﻴﺔ اﻟﻜﻤﻴﺔ املﺘﻮﻗﻌﺔ ملﻮﺗﱢﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﴐﺗﻲ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ )اﻟﻔﺼﻞ‬ ‫ﱠ‬ ‫زﺧﻢ اﻟﻄﺎﻗﺔ‪.‬ﺳﻴﻜﻮن اﻟﺤﺪﻳﺚ ﻋﻦ ذﻟﻚ ﻣُﻨﺎﺳﺒًﺎ أﻛﺜﺮ ﰲ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﻔﺼﻞ اﻟﺨﺎﻣﺲ(‪.‬‬ ‫ﻟﻨﻔﱰض أن اﻷﻣﻮر ﺗﺨﻀﻊ ﻟﴩط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻀﻌﻴﻒ‪ ،‬وأن اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ‬ ‫املﻤﺘﺪة ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬ﺗﺒﺪأ ﰲ اﻻﻧﺤﻨﺎء ﺑﻌﻀﻬﺎ ﻧﺤﻮ ﺑﻌﺾ ﻣﺠ ﱠﺪدًا‪ ،‬وأن ‪ ρ‬ﻳﺘﺨﺬ اﻟﻘﻴﻤﺔ املﻮﺟﺒﺔ‬ ‫‪.ρ0‬ﻳُﺴﺘﻨﺒﻂ ﺣﻴﻨﻬﺎ ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻧﻴﻮﻣﺎن‪-‬ﺑﻨﺮوز أن اﻟﺘﻘﺎرب ‪ ρ‬ﻳﺼﺒﺢ ﻻ ﻧﻬﺎﺋﻴٍّﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫‪ِ q‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣُﻌﺎﻣﻞ ﺗﺂﻟﻔﻲ ‪ ρ10‬إذا ﻛﺎن ﺑﺎﻹﻣﻜﺎن ﻣ ﱡﺪ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﺑﻄﻮل‬ ‫ﻫﺬه املﺴﺎﻓﺔ‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻗﺒﻞ ‪.υ = υ0 + ρ−1‬‬ ‫‪ρ‬؛ ﻟﺬﻟﻚ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ρ = ρ0‬ﻋﻨﺪ ‪ υ = υ0‬ﻓﺈن‬ ‫‪ρ −1 +υ0 −υ‬‬ ‫ﺳﺘﺘﻘﺎﻃﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ اﻟﻘﺮﻳﺒﺔ ﺟﺪٍّا‪ ،‬املﻨﺒﻌﺜﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،p‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫‪.q‬وﻳﻌﻨﻲ ذﻟﻚ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﺳﺘﻜﻮن ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬ﻋﲆ ﻃﻮل اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ‪ γ‬اﻟﺘﻲ ﺗﺼﻞ ﺑني اﻟﻨﻘﻄﺘني‪.‬أﻣﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻨﻘﺎط ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ املﺮاﻓﻘﺔ ‪q‬‬ ‫ﺗﻐري ﰲ ﺷﻜﻞ ‪ ،γ‬ﻳﺆدي إﱃ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‬ ‫ﻋﲆ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪ ،γ‬ﻓﺴﻴﻜﻮن ﺛَﻤﺔ ﱡ‬ ‫ﻣﻨﺒﻌِ ﺚ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪p‬؛ ﻟﺬﻟﻚ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪ γ‬أن ﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﻨﻄﺎق املﺴﺘﻘﺒﲇ‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ املﺮاﻓﻘﺔ ‪.q‬إذن‪ ،‬ﺳﻴﻜﻮن ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪ γ‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ﺑﻤﺜﺎﺑﺔ ﻣﻮ ﱢﻟﺪ ﻟﻠﻨﻄﺎق املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪) p‬اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(9-1‬‬ ‫واﻟﻮﺿﻊ ﻣُﺸﺎﺑﻪ ﻟﺬﻟﻚ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ‪ ،‬إﻻ أن ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮي اﻟﻼزم ﻟﺠﻌﻞ ﻗﻴﻤﺔ ‪ Rab la lb‬ﻏري ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻪ ‪ِ la‬ﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ ﻳﻜﻮن أﻗﻮى‪ِ ،‬ﻣﺜﻠﻤﺎ‬ ‫ﻣﻌﻘﻮﻻ ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﻴﺔ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ — ﻋﲆ اﻷﻗﻞ ﰲ املﺘﻮﺳﻂ — ﰲ‬ ‫ً‬ ‫ﻳُﺸري اﺳﻤﻪ‪.‬ﻟﻜﻦ ﻫﺬا ﻳﻈﻞ‬ ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‪.‬ﻓﺈذا ﻣﺎ ﻛﺎن ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻘﻮي ﻣ ً‬ ‫ُﻨﻄﺒﻘﺎ‪ ،‬وﺑﺪأت اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ِﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ واملﻨﺒﻌﺜﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬ﰲ اﻻﻧﺤﻨﺎء ﺑﻌﻀﻬﺎ ﻧﺤﻮ ﺑﻌﺾ ﻣﺠ ﱠﺪدًا‪ ،‬ﻓﺴﻴﻜﻮن ﺛَﻤﺔ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ q‬ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.p‬‬ ‫‪22‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻘﻮي‬ ‫‪1 a‬‬ ‫≥ ‪Tab υa υb‬‬ ‫‪υ υa T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪γ‬‬ ‫داﺧﻞ )‪I + (p‬‬ ‫املﻨﻄﻘﺔ اﻟﻘﺎﻃﻌﺔ‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﻀﻮﺋﻲ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻨﻬﺎﺋﻴﺔ املﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ‬ ‫اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪ γ‬ﰲ )‪I + (p‬‬ ‫ﻗﻄﻊ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻣﺠﺎورة‪ ،‬ﺗﻠﺘﻘﻲ‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪q‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :9-1‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ q‬ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬ﻋﲆ ﻃﻮل اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ؛ وﻣﻦ ﺛَﻢ ﻓﺈن‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ‪ γ‬اﻟﺘﻲ ﺗﺼﻞ ﺑني اﻟﻨﻘﻄﺘني ‪ p‬و‪ q‬ﺳﺘﱰك اﻟﻨﻄﺎق املﺴﺘﻘﺒﲇ‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ p‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.q‬‬ ‫أوﻻ ﱡ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻘﻮي‪.‬‬ ‫وأﺧريًا‪ ،‬ﻧﻨﺘﻘﻞ إﱃ ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻌﺎم‪.‬وﻫﺬا اﻟﴩط ﻳﺘﻀﻤﻦ ً‬ ‫ٍ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺔ ﻣﺎ‪ ،‬ﺣﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﻫﻨﺎك‬ ‫وﺛﺎﻧﻴًﺎ‪ ،‬أن ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ أو ﺻﻔﺮﻳﺔ ﺗﻠﺘﻘﻲ‬ ‫ﻗﺪ ٌر ﻣﻦ اﻻﻧﺤﻨﺎء ﻻ ﻳﺘﻤﺎﳽ ﻛﺜريًا ﻣﻊ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪.‬ﻻ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻌﺎم ﰲ‬ ‫ﺣﻠﻮﻻ ﺧﺎﺻﺔ‪.‬وﻗﺪ ﱠ‬ ‫ﻳﺘﻮﻗﻊ املﺮء‬ ‫ً‬ ‫ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل املﺤﺪدة املﻌﺮوﻓﺔ‪ ،‬ﺑﻴﺪ أن ﻫﺬه اﻟﺤﻠﻮل ﺗُﻌَ ﺪ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﴍط‬ ‫أن ﻣﻦ ﺷﺄن ﺣﻞ »ﻋﺎم« ﺑﺎملﻌﻨﻰ املﻨﺎﺳﺐ ﻟﻠﻜﻠﻤﺔ أن ﻳﺴﺘﻮﰲ َ ﻫﺬا اﻟﴩط‪.‬إذا ﱠ‬ ‫اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻌﺎم‪ ،‬ﻓﺴﻮف ﺗﻠﺘﻘﻲ ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺑﻤﻨﻄﻘﺔ ﺗﺮﻛﻴﺰ ﺟﺎذﺑﻲ‪.‬وﻣﻦ ﺷﺄن ذﻟﻚ‬ ‫‪23‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫أن ﻳﺸري إﱃ وﺟﻮد أزواج ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط املﱰاﻓﻘﺔ‪ ،‬إذا ﻛﺎن ﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻨﺎ ﻣ ﱡﺪ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ٍ‬ ‫ملﺴﺎﻓﺔ ﺑﻌﻴﺪة ﺑﻤﺎ ﻳﻜﻔﻲ ﰲ ﻛﻞ اﻻﺗﺠﺎﻫﺎت‪.‬‬ ‫ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻌﺎم‬ ‫)‪ (١‬ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻘﻮي ﻣُﺘﺤﻘﻖ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ أو ﺻﻔﺮﻳﺔ‬ ‫‪.l[a Rb]cd[e lf ] lc ld ≠ 0‬‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻳﺼﺒﺢ ﻓﻴﻬﺎ اﻻﻧﺤﻨﺎء ﻛﺒريًا‬ ‫ﻋﺎد ًة ﻣﺎ ﻧﻨﻈﺮ إﱃ املﺘﻔﺮدة اﻟﺰﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺑﺎﻋﺘﺒﺎرﻫﺎ‬ ‫ﺑﺒﺴﺎﻃﺔ أن ﻧُﻨﺤﱢ ﻲ اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫ٍ‬ ‫ﺑﻘﺪر ﻻ ﻣﺤﺪود‪ ،‬ﻟﻜﻦ املﺸﻜﻠﺔ ﰲ ﻫﺬا اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ أﻧﻪ ﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻨﺎ إذن‬‫ٍ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫املﺘﻔﺮدة ﺟﺎﻧﺒًﺎ‪ ،‬وﻧﻘﻮل إن املﻨﻄﻘﺔ املﻨﻄﻮﻳﺔ املﺘﺒﻘﻴﺔ ﻫﻲ اﻟﺰﻣﻜﺎن ﺑﺄﻛﻤﻠﻪ؛ ﻟﺬﻟﻚ ﻣﻦ اﻷﻓﻀﻞ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺰﻣﻜﺎن ﺑﺄﻧﻪ املﻨﻄﻘﺔ املﻨﻄﻮﻳﺔ اﻟﻘﺼﻮى اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ اﻟﻔﻀﺎء املﱰي ﻣﺴﺘﻘ ٍّﺮا‬ ‫ﻧﺤﻮ ﻣﻨﺎﺳﺐ‪ ،‬وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺣﻴﻨﺌ ٍﺬ ﺗﻤﻴﻴﺰ وﺟﻮد ﻣﺘﻔﺮدات ﻣﻦ ﺧﻼل وﺟﻮد ﻗِ ﻄﻊ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﻏري ﻣﻜﺘﻤﻠﺔ‪ ،‬ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻣﺪﱡﻫﺎ إﱃ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤُﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﺂﻟﻔﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ املﺘﻔﺮدة‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ اﻟﻘﻮل إن ﺟﺰءًا ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻜﺎن ﻫﻮ ﻣﺘﻔﺮدة إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻗِ ﻄﻌﻪ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ أو‬ ‫اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﻏري ﻣﻜﺘﻤﻠﺔ‪ ،‬وﻻ ﻳﻤﻜﻦ دﻣﺠﻬﺎ ﰲ ﻧﺴﻴﺞ اﻟﺰﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ‪.‬‬ ‫ﻳﻌﻜﺲ ﻫﺬا اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﺴﻤﺔ اﻷﻛﺜﺮ إﺛﺎر ًة ﻟﻼﻋﱰاض ﺑﺸﺄن املﺘﻔﺮدات‪ ،‬وﻫﻲ إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ وﺟﻮد‬ ‫ٌ‬ ‫ﺑﺪاﻳﺔ أو ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ زﻣﻦ ﻣﺤﺪﱠد‪.‬ﺛَﻤﺔ أﻣﺜﻠﺔ ﻗﺪ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻓﻴﻬﺎ ﻋﺪ ُم اﻛﺘﻤﺎل‬ ‫ﺟُ ﺴﻴﻤﺎت ﻟﺘﺎرﻳﺨﻬﺎ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ‬ ‫ٍ‬ ‫اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻣﻊ ﺑﻘﺎء اﻻﻧﺤﻨﺎء ﻣﺤﺪودًا‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﻳُﻌﺘﻘﺪ أن اﻻﻧﺤﻨﺎءات ﺳﺘﺘﺒﺎﻋﺪ‬ ‫ﻋﺎم ﻋﲆ ﻃﻮل اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻏري املﻜﺘﻤﻠﺔ‪.‬وﻳﻜﻮن ذﻟﻚ ﻣﻬﻤٍّ ﺎ إذا ﻣﺎ ﻟﺠﺄﻧﺎ إﱃ اﻟﺘﺄﺛريات‬ ‫اﻟﻜﻤﻴﺔ ﻟﺤﻞ املﺸﻜﻼت اﻟﻨﺎﺷﺌﺔ ﻋﻦ املﺘﻔﺮدات ﰲ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‪.‬‬ ‫وﻗﺪ اﺳﺘﺨﺪﻣﺖ أﻧﺎ وﺑﻨﺮوز‪ ،‬ﰲ اﻟﻔﱰة ﺑني ﻋﺎﻣَ ﻲ ‪ ١٩٦٥‬و‪ ،١٩٧٠‬اﻷﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺘﻲ ذﻛﺮﺗﻬﺎ‬ ‫ﻹﺛﺒﺎت ﻋﺪد ﻣﻦ ﻣﱪﻫﻨﺎت املﺘﻔﺮدات‪ ،‬وﻛﺎن ﻟﻬﺬه املﱪﻫﻨﺎت ﺛﻼﺛﺔ أﻧﻮاع ﻣﻦ اﻟﴩوط؛ ً‬ ‫أوﻻ‪ :‬ﻛﺎن‬ ‫‪24‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫ط ﺧﺎص ﺑﺎﻟﻄﺎﻗﺔ‪ ،‬ﻣﺜﻞ ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻀﻌﻴﻒ‪ ،‬أو اﻟﻘﻮي‪ ،‬أو اﻟﻌﺎم‪.‬وﺛﺎﻧﻴًﺎ‪ :‬ﻛﺎن‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﴍ ٌ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﴍ ٌ‬ ‫ط ﻋﺎم ﻟﻠ ِﺒﻨﻴﺔ اﻟﺴﺒﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻣﺜﻞ أﻧﻪ ﻳﺠﺐ أﻻ ﺗﻮﺟﺪ أيﱡ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎت ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ‪.‬‬ ‫ط ﱡ‬ ‫ﻳﻨﺺ ﻋﲆ أن اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﺗﻜﻮن ﻗﻮﻳﺔ ﺟﺪٍّا ﰲ إﺣﺪى املﻨﺎﻃﻖ‪ ،‬ﺑﻤﺎ ﻳﻤﻨﻊ‬ ‫وأﺧريًا‪ :‬ﻛﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﴍ ٌ‬ ‫إﻓﻼت أي ﳾء ﻣﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﱪﻫﻨﺎت املﺘﻔﺮدات‬ ‫)‪ (١‬ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬ﴍط اﻟﺒﻨﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫َ‬ ‫ﻣﺤﺎﴏة‪.‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺟﺎذﺑﻴﺔ ﻗﻮﻳﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻜﻔﻲ ﻹﺑﻘﺎء ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺎ‬ ‫ﺑﻄﺮق ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ؛ إﺣﺪاﻫﺎ أن ﻳﻜﻮن املﻘﻄﻊ اﻟﻌﺮﴈ‬ ‫ٍ‬ ‫وﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻌﺒري ﻋﻦ ﻫﺬا اﻟﴩط اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ٍ‬ ‫ملﻨﻄﻘﺔ ﺧﺎرﺟﻴﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﻹﻓﻼت إﻟﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻣﻐﻠﻘﺎ؛ ﻷﻧﻪ ﺣﻴﻨﺌ ٍﺬ ﻻ ﻳﻜﻮن ﺛَﻤﺔ وﺟﻮد‬ ‫املﻜﺎﻧﻲ ﻟﻠﻜﻮن‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ٍ‬ ‫اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻷﺧﺮى ﻫﻲ أن ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺎ ﻳُﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻪ ﺳﻄﺢٌ ﻣﺤﺼﻮ ٌر ﻣﻐﻠﻖ‪ ،‬وﻫﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ‬ ‫ﻣﺰدوج ﻣﻐﻠﻖ‪ ،‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﺘﻘﺎرب اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺨﺎرﺟﺔ واﻟﺪاﺧﻠﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ املﺘﻌﺎﻣﺪة ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫)اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(10-1‬ﻋﺎد ًة‪ ،‬إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻚ ﺳﻄﺢٌ ُﻛﺮوي ﻣﺰدوج ﰲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﻜﻮﻓﺴﻜﻲ‪،‬‬ ‫ﻓﺴﺘﺘﻘﺎرب اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺪاﺧﻠﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ‪ ،‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺗﺘﺒﺎﻋﺪ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺨﺎرﺟﺔ‪.‬ﻟﻜﻦ ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻧﻬﻴﺎر ﻧﺠﻢ‪ ،‬ﻗﺪ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﻗﻮﻳٍّﺎ ﺟﺪٍّا‪ ،‬ﺣﺘﻰ إن املﺨﺮوﻃﺎت اﻟﻀﻮﺋﻴﺔ ﺗﻤﻴﻞ ﻧﺤﻮ‬ ‫اﻟﺪاﺧﻞ‪.‬وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ أﻧﻪ ﺣﺘﻰ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺨﺎرﺟﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﺗﺘﻘﺎرب‪.‬‬ ‫وﺗُﻈﻬﺮ ﻣﱪﻫﻨﺎت املﺘﻔﺮدات املﺨﺘﻠﻔﺔ أن اﻟﺰﻣﻜﺎن ﻻ ﺑﺪ أن ﻳﻜﻮن ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ أو ﺻﻔﺮﻳٍّﺎ‬ ‫ٌ‬ ‫ﺗﻮﻟﻴﻔﺎت ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ أﻧﻮاع اﻟﴩوط اﻟﺜﻼﺛﺔ‪.‬‬ ‫وﻏري ﻣﻜﺘﻤﻞ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪ ،‬إذا ﱠ‬ ‫ﺗﺤﻘﻘﺖ‬ ‫وﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻤﺮء إﺿﻌﺎف أﺣﺪ اﻟﴩوط إذا ﻣﺎ اﻓﱰض وﺟﻮد أﺷﻜﺎل أﻗﻮى ﻣﻦ اﻟﴩﻃني اﻵﺧﺮﻳﻦ‪،‬‬ ‫وﺳﺄوﺿﺢ ﻫﺬا ﻣﻦ ﺧﻼل ﴍح ﻣﱪﻫﻨﺔ ﻫﻮﻛﻴﻨﺞ‪-‬ﺑﻨﺮوز‪.‬ﺗﺨﻀﻊ ﻫﺬه املﱪﻫﻨﺔ ﻟﴩط اﻟﻄﺎﻗﺔ‬ ‫ﱢ‬ ‫ﺿﻌﻴﻔﺎ ﺑﻌﺾ اﻟﴚء‪،‬‬ ‫ً‬ ‫اﻟﻌﺎم‪ ،‬وﻫﻮ اﻷﻗﻮى ﻣﻦ ﺑني ﴍوط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﺜﻼﺛﺔ‪.‬ﻳُﻌَ ﺪ اﻟﴩط اﻟﺸﺎﻣﻞ‬ ‫وﻫﻮ أﻧﻪ ﻳﺠﺐ أﻻ ﻳﻜﻮن ﺛَﻤﺔ وﺟﻮد ملﻨﺤﻨﻴﺎت ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ‪ ،‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ﴍط ﻋﺪم اﻹﻓﻼت‬ ‫ﻳﻨﺺ ﻋﲆ أﻧﻪ ﻻ ﺑﺪ أن ﻳﻮﺟﺪ إﻣﺎ ﺳﻄﺢٌ ﻣﺤﺼﻮر‪ ،‬أو ﺳﻄﺢٌ ﺛﻼﺛﻲ‬ ‫ﻫﻮ اﻷﻛﺜﺮ ﺷﻤﻮﻟﻴﺔ‪ ،‬وﻫﻮ ﱡ‬ ‫ِﺷﺒﻪ ﻣﻜﺎﻧﻲ ﻣﻐﻠﻖ‪.‬‬ ‫‪25‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫اﻷﺷﻌﺔ اﻟﺪاﺧﻠﺔ ﺗﺘﻘﺎرب‬ ‫اﻷﺷﻌﺔ اﻟﺨﺎرﺟﺔ‬ ‫اﻷﺷﻌﺔ اﻟﺨﺎرﺟﺔ‬ ‫ﺗﺘﺒﺎﻋﺪ‬ ‫ﺗﺘﺒﺎﻋﺪ‬ ‫ﺳﻄﺢ ﻣﺰدوج ﻣﻐﻠﻖ ﻋﺎدي‬ ‫اﻷﺷﻌﺔ اﻟﺪاﺧﻠﺔ‬ ‫واﻟﺨﺎرﺟﺔ ﺗﺘﻘﺎرب‬ ‫َ‬ ‫ﻣﺤﺎﴏ ﻣﻐﻠﻖ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :10-1‬ﻋﻨﺪ ﺳﻄﺢ ﻣُﻐ َﻠﻖ ﻋﺎدي ﺗﺘﺒﺎﻋﺪ اﻷﺷﻌﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ اﻟﺨﺎرﺟﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻄﺢ‪ ،‬ﺑﻴﻨﻤﺎ‬ ‫ﺗﺘﻘﺎرب اﻷﺷﻌﺔ اﻟﺪاﺧﻠﺔ‪ ،‬وﻋﻨﺪ اﻟﺴﻄﺢ املﺤﺼﻮر املﻐﻠﻖ ﺗﺘﻘﺎرب اﻷﺷﻌﺔ اﻟﺪاﺧﻠﺔ واﻷﺷﻌﺔ‬ ‫اﻟﺨﺎرﺟﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ‪.‬‬ ‫وﻷﻏﺮاض اﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﺳﺄرﺳﻢ ﺑﺮﻫﺎﻧًﺎ ﻟﺤﺎﻟﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ذات ﺳﻄﺢ ﺛﻼﺛﻲ ِﺷﺒﻪ ﻣﻜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻣﻐﻠﻖ‪.‬ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻄﻮر »ﻛﻮﳾ« املﺴﺘﻘﺒﲇ )‪ D+ (S‬ﺑﺎﻋﺘﺒﺎره ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﻨﻘﺎط ‪ ،q‬ﺣﻴﺚ‬ ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻊ ﻛ ﱡﻞ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ ﻣُﻨﺒﻌﺚ ﻣﻨﻬﺎ وﻣﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺎﴈ ﻣﻊ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪) S‬اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪.(11-1‬إن ﺗﻄﻮر »ﻛﻮﳾ« ﻫﻮ املﻨﻄﻘﺔ اﻟﺰﻣﻜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ ﱡ‬ ‫ﺗﻮﻗﻌﻬﺎ ﻣﻦ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻋﲆ‬ ‫ُﱰاص‪.‬ﻳﻌﻨﻲ ذﻟﻚ أﻧﻪ ﺳﻴﻜﻮن‬‫املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.S‬اﻓﱰض اﻵن أن ﺗﻄﻮر »ﻛﻮﳾ« املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻣ ﱞ‬ ‫ٍ‬ ‫وﺑﺤﺠﺔ ﻣُﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫ﻧﻄﺎق ﻣﺴﺘﻘﺒﲇ ﻳُﻄ َﻠﻖ ﻋﻠﻴﻪ اﺳﻢ »اﻷﻓﻖ اﻟﻜﻮﳾ«‪.H + (S) ،‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﻟﺘﻄﻮر »ﻛﻮﳾ«‬ ‫ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻣﺎ‪ ،‬ﻳﺘﻮ ﱠﻟﺪ أﻓﻖ »ﻛﻮﳾ« ﺑﻔﻌﻞ ﻗِ ﻄﻊ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻟﺘﻠﻚ اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺤﺪ املﺴﺘﻘﺒﲇ‬ ‫ط ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ‪.‬ﻟﻜﻦ ﺑﻤﺎ أﻧﻪ ﻳُﻔﱰض أن ﺗﻄﻮر »ﻛﻮﳾ« ﻣ ﱞ‬ ‫ُﱰاص‪ ،‬ﺳﻴﻜﻮن‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﻧﻘﺎ ُ‬ ‫‪26‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫) ‪H + (S‬‬ ‫) ‪D + (S‬‬ ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻊ ﻛ ﱡﻞ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻣﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺎﴈ‪ ،‬ﻣﻨﺒﻌﺚ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪،q‬‬ ‫ﻣﻊ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ملﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ ،S‬وﺣﺪه املﺴﺘﻘﺒﲇ‪ ،‬أو اﻷﻓﻖ‬ ‫)‪D + (S‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :11-1‬ﺗﻄﻮر »ﻛﻮﳾ« املﺴﺘﻘﺒﲇ‬ ‫»اﻟﻜﻮﳾ«‪.H + (S) ،‬‬ ‫ﱡ‬ ‫وﺗﻠﺘﻒ‬ ‫ﱡ‬ ‫ﺳﺘﻠﺘﻒ‬ ‫أﻳﻀﺎ؛ وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ﻣﻮ ﱢﻟﺪات اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬‫ُﱰاﺻﺎ ً‬ ‫اﻷﻓﻖ »اﻟﻜﻮﳾ« ﻣ ٍّ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ وﻣﺤﺪﱢدة ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‪ ،‬ﻫﻲ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻣﱰاﺻﺔ‪ ،‬وﺳﺘﻘﱰب ﻣﻦ‬ ‫ﱠ‬ ‫داﺧﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ ،λ‬وﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﻧﻘﺎط ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ أو ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ﰲ اﻷﻓﻖ »اﻟﻜﻮﳾ« )اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪.(12-1‬ﻟﻜﻦ ﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ λ‬ﻣﻜﺘﻤﻠﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻓﺴﻴﺆدي ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻌﺎم إﱃ‬ ‫أن ﺗﺘﻀﻤﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘني املﺮاﻓﻘﺘني ‪ p‬و‪ ،q‬وﻳﻤﻜﻦ ﺗﻮﺻﻴﻞ اﻟﻨﻘﺎط ﻋﲆ ‪ λ‬ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘني‬ ‫ً‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﻀﺎ؛ ﻷﻧﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻷي ﻧﻘﻄﺘني ﻋﲆ‬ ‫‪ p‬و‪ q‬ﺑﻤﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‪ ،‬ﺑﻴ َﺪ أن ذﻟﻚ ﺳﻴﺸ ﱢﻜﻞ‬ ‫ﻧﺤﻮ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‪.‬ﻟﺬﻟﻚ‪ ،‬إﻣﺎ أن اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ λ‬ﻟﻴﺴﺖ‬ ‫اﻷﻓﻖ »اﻟﻜﻮﳾ« أن ﺗﻜﻮﻧَﺎ ﻣﻨﻔﺼﻠﺘني ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﻣﻜﺘﻤﻠﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ؛ وﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮن املﱪﻫﻨﺔ ﻗﺪ أُﺛﺒﺘﺖ‪ ،‬وإﻣﺎ أن اﻟﺘﻄﻮر »اﻟﻜﻮﳾ« املﺴﺘﻘﺒﲇ‬ ‫ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ﻟﻴﺲ ﻣ ٍّ‬ ‫ُﱰاﺻﺎ‪.‬‬ ‫وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﰲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷﺧرية إﺛﺒﺎت أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ ﻣﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﺒﻞ‪ ،‬وﻫﻮ‬ ‫املﻨﺤﻨﻰ ‪ γ‬ﻣﻦ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ ،S‬وﻻ ﻳُﻔﺎرق اﻟﺘﻄﻮر »اﻟﻜﻮﳾ« املﺴﺘﻘﺒﲇ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬أﺑﺪًا‪.‬‬ ‫‪27‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ وﻣﺤﺪﱢدة‬ ‫ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‪ ،‬ﻫﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪λ‬‬ ‫) ‪H + (S‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ وﻣﺤﺪﱢدة ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‪ ،‬ﻫﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ ،λ‬ﰲ اﻷﻓﻖ‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :12-1‬ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫»اﻟﻜﻮﳾ«‪ ،‬وﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﻧﻘﺎط ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ أو ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ﰲ اﻷﻓﻖ »اﻟﻜﻮﳾ«‪.‬‬ ‫وﻷﺳﺒﺎب ﻣُﺸﺎﺑﻬﺔ‪ ،‬ﻗﺪ ﻳﻜﻮن ﺑﺎﻹﻣﻜﺎن ﻣ ﱡﺪ املﻨﺤﻨﻰ ‪ γ‬إﱃ املﺎﴈ‪ ،‬إﱃ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ﻻ ﻳُﻔﺎرق اﻟﺘﻄﻮر‬ ‫ٍ‬ ‫ً‬ ‫‪−‬‬ ‫»اﻟﻜﻮﳾ« املﺎﴈ )‪ D (S‬أﺑﺪًا )اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(13-1‬ﻟﻨﺘﻨﺎول اﻵن ﺗﺴﻠﺴﻼ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط ‪،xn‬‬ ‫ً‬ ‫وﺗﺴﻠﺴﻼ آﺧﺮ ﻣُﺸﺎﺑﻬً ﺎ ‪ yn‬ﻣﺘﺠﻬً ﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﺒﻞ‪.‬ﻟﻜﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻟ ‪،n‬‬ ‫ﻋﲆ املﻨﺤﻨﻰ ‪ γ‬املﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺎﴈ‪،‬‬ ‫ﻧﺤﻮ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‪ ،‬وﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﺘﻄﻮر »اﻟﻜﻮﳾ« ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﺎط ‪ xn‬و ‪ yn‬ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ ﻃﻮﻟُﻬﺎ أﻗﴡ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪،‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎم‪.‬ﻟﺬﻟﻚ‪ ،‬ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ٍ‬ ‫‪ S‬اﻟﻌﻜﴘ‬ ‫ﻫﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ ،λn‬ﺗﻤﺘ ﱡﺪ ﻣﻦ ‪ xn‬إﱃ ‪.yn‬ﺳﺘﻘﻄﻊ ﻛ ﱡﻞ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪ λn‬ﺳﻄﺢ ‪ِ S‬ﺷﺒﻪ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻟﻘﻄﻌﺔ ﺟﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻴﺔ‪ ،λ ،‬ﰲ‬ ‫املﻜﺎﻧﻲ ا ُملﱰاص‪.‬ﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ أﻧﻪ ﺳﻴﻜﻮن ﺛَﻤﺔ وﺟﻮد‬ ‫اﻟﺘﻄﻮر »اﻟﻜﻮﳾ«‪ ،‬ﻫﻲ ﺣ ﱞﺪ ﻟﻠﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ِﺷﺒﻪ اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ‪) λn‬اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(14-1‬إﻣﺎ‬ ‫أن ‪ λ‬ﺳﺘﻜﻮن ﻏري ﻣﻜﺘﻤﻠﺔ‪ ،‬وﰲ ﻫﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﻜﻮن املﱪﻫﻨﺔ ﻗﺪ أُﺛﺒﺘﺖ‪ ،‬وإﻣﺎ أﻧﻬﺎ ﺳﺘﺤﺘﻮي ﻋﲆ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﺑﺴﺒﺐ ﴍط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻌﺎم‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﰲ ﺗﻠﻚ اﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ،‬ﺳﺘﺤﺘﻮي اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫ٍ‬ ‫ً‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﻀﺎ؛ ﻷﻧﻪ ﻳُﻔﱰَض أن‬ ‫ﻧﻘﺎط ﻣﺮاﻓﻘﺔ ﻟ ‪ n‬ﻛﺒرية ﺟﺪٍّا‪.‬وﻣﻦ ﺷﺄن ذﻟﻚ أن ﻳﺸ ﱢﻜﻞ‬ ‫ٍ‬ ‫‪ λn‬ﻋﲆ‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪ λn‬ﻣﻨﺤﻨﻴﺎت ﻃﻮﻟُﻬﺎ أﻗﴡ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪.‬ﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻨﺎ إذن اﺳﺘﻨﺘﺎج أن‬ ‫‪28‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫) ‪H + (S‬‬ ‫) ‪D + (S‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨًﻰ ﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ ‪γ‬‬ ‫‪S‬‬ ‫) ‪D − (S‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‬ ‫) ‪H − (S‬‬ ‫ﻣﱰاص‪ ،‬ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻨﺤﻨًﻰ ِﺷﺒﻪ‬ ‫ﱟ‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :13-1‬إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻄﻮر »اﻟﻜﻮﳾ« املﺴﺘﻘﺒﲇ )أو املﺎﴈ( ﻏريَ‬ ‫زﻣﻨﻲ ﻣﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﺒﻞ )أو ﻟﻠﻤﺎﴈ( ﻣﻦ املﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ ،S‬وﻻ ﻳُﻔﺎرق اﻟﺘﻄﻮر »اﻟﻜﻮﳾ« املﺴﺘﻘﺒﲇ‬ ‫)أو املﺎﴈ( أﺑﺪًا‪.‬‬ ‫اﻟﺰﻣﻜﺎن ِﺷﺒﻪ زﻣﻨﻲ‪ ،‬أو ﺻﻔﺮي وﻏري ﻣﻜﺘﻤﻞ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‪.‬ﺑﻌﺒﺎر ٍة أﺧﺮى‪ ،‬ﺛَﻤﺔ وﺟﻮد ملﺘﻔﺮدة‬ ‫ﻫﻨﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﺘﻨﺒﱠﺄ املﱪﻫﻨﺎت ﺑﻮﺟﻮد املﺘﻔﺮدات ﰲ ﺣﺎﻟﺘني؛ إﺣﺪاﻫﻤﺎ ﰲ املﺴﺘﻘﺒﻞ‪ ،‬ﰲ اﻻﻧﻬﻴﺎر اﻟﺠﺎذﺑﻲ‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻟﻠﺰﻣﺎن‪ ،‬ﻋﲆ اﻷﻗﻞ‬ ‫ﻟﻠﻨﺠﻮم وﻏريﻫﺎ ﻣﻦ اﻷﺟﺮام اﻟﻀﺨﻤﺔ‪ ،‬وﺗﺸ ﱢﻜﻞ ﺗﻠﻚ املﺘﻔﺮدات‬ ‫ﻟﻠﺠﺴﻴﻤﺎت اﻟﺘﻲ ﺗﺘﺤﺮك ﻋﲆ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ﻏري املﻜﺘﻤﻠﺔ‪.‬واﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷﺧﺮى اﻟﺘﻲ ﻳ ﱠ‬ ‫ُﺘﻮﻗﻊ‬ ‫ﻓﻴﻬﺎ وﺟﻮد املﺘﻔﺮدات ﻫﻲ ﰲ املﺎﴈ‪ ،‬ﰲ ﺑﺪاﻳﺎت اﻟﺘﻤﺪد اﻟﺤﺎﱄ ﻟﻠﻜﻮن‪.‬وﻗﺪ أدﱠى ذﻟﻚ إﱃ‬ ‫ﺗﺠﺎﻫﻞ املﺤﺎوﻻت )اﻟﺘﻲ ﻗﺎم ﺑﻬﺎ اﻟﺮوس ﺑﺎﻷﺳﺎس( ﻟﻠﻘﻮل ﺑﺄﻧﻪ ﻗﺪ ﺣﺪﺛﺖ ﻣﺮﺣﻠﺔ اﻧﻘﺒﺎض‬ ‫ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻳﻌﺘﻘﺪ اﻟﺠﻤﻴﻊ ﺗﻘﺮﻳﺒًﺎ اﻵن أن اﻟﻜﻮن‪،‬‬‫ﺳﺎﺑﻘﺔ وﻗﻔﺰة ﻏري ﻣﺘﻔﺮدة ﻧﺤﻮ اﻟﺘﻤﺪد‪ً.‬‬ ‫‪29‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ‬ ‫املﺤﺪﱢدة ‪λ‬‬ ‫‪yn‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :14-1‬ﻻ ﺑﺪ أن ﺗﻜﻮن اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ ‪ ،λ‬املﺤﺪﱢدة ﻟﻠﻨﻘﺎط ‪ ،λn‬ﻏري ﻣﻜﺘﻤﻠﺔ؛ ﻷﻧﻬﺎ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﻣﺮاﻓﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻮ ﻟﻢ ﺗﻜﻦ ﻛﺬﻟﻚ ﻻﺣﺘﻮت ﻋﲆ‬ ‫ٌ‬ ‫اﻛﺘﺸﺎف أﻫﻢ ﺑﻜﺜري ﻣﻦ اﻛﺘﺸﺎف‬ ‫واﻟﺰﻣﻦ ﻧﻔﺴﻪ‪ ،‬ﻛﺎﻧﺖ ﺑﺪاﻳﺘﻪ ﻫﻲ اﻻﻧﻔﺠﺎر اﻟﻜﺒري‪ ،‬وﻫﺬا‬ ‫ﺑﻀﻌﺔ ﺟﺴﻴﻤﺎت ﻏري ﻣﺴﺘﻘﺮة ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‪ ،‬إﻻ أﻧﻪ ﻟﻢ ﻳﻨَﻞ ﺗﻘﺪﻳ ًﺮا ﻛﺎﻓﻴًﺎ ﻣﻦ ﻣﺤ ﱢﻜﻤﻲ ﺟﻮاﺋﺰ ﻧﻮﺑﻞ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ‪.‬‬ ‫إن اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﻮﺟﻮد املﺘﻔﺮدات ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ ﻟﻴﺴﺖ‬ ‫وﻷن املﺘﻔﺮدات ﻻ ﺑﺪ أن ﺗُﺴﺘﺨﺮج ﻣﻦ ﻣﻨﻄﻮﻳﺔ اﻟﺰﻣﻜﺎن‪ ،‬ﻻ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻌﺎدﻻت املﺠﺎل‬ ‫ﻫﻨﺎك‪ ،‬وﻻ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﻤﺎ ﺳﺘﺌﻮل إﻟﻴﻪ املﺘﻔﺮدة‪.‬وﻟﻮﺟﻮد املﺘﻔﺮدة ﰲ املﺎﴈ‪ ،‬ﻳﺒﺪو أن اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ‬ ‫اﻟﻮﺣﻴﺪة ﻟﻠﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻫﺬه املﺸﻜﻠﺔ ﻫﻲ اﻟﻠﺠﻮء إﱃ اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﻜﻤﻴﺔ‪.‬ﺳﺄﻋﻮد إﱃ ﻫﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﱠ‬ ‫املﺘﻮﻗﻌﺔ ﰲ املﺴﺘﻘﺒﻞ ﺗﺘﺴﻢ‬ ‫ﰲ ﻣﺤﺎﴐﺗﻲ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ )اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺨﺎﻣﺲ(‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﻳﺒﺪو أن املﺘﻔﺮدات‬ ‫ﺑﺨﺎﺻﻴ ٍﺔ أﻃﻠﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻨﺮوز اﺳﻢ »اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ«‪ ،‬وﻫﻲ أﻧﻬﺎ ﺗﺤﺪُث ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﻧﺤﻮ ﻣُﻼﺋﻢ ﰲ‬ ‫‪30‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫أﻋني ا ُملﺮاﻗﺒني اﻟﺨﺎرﺟﻴني؛ وﻣﻦ ﺛَﻢ ﻓﺈن أيﱠ ﻓﺸﻞ‬ ‫أﻣﺎﻛﻦ ﻣﺜﻞ اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء‪ ،‬ﻣُﺘﻮارﻳﺔ ﻋﻦ ُ‬ ‫ﰲ اﻟﻘﺪرة ﻋﲆ اﻟﺘﻨﺒﺆ‪ ،‬وﻫﻮ ﻣﺎ ﻗﺪ ﻳﺤﺪث ﻋﻨﺪ ﻫﺬه املﺘﻔﺮدات‪ ،‬ﻟﻦ ﻳﺆﺛﱢﺮ ﻋﲆ ﻣﺎ ﻳﺤﺪث ﰲ اﻟﻌﺎﻟﻢ‬ ‫ﻃﺒﻘﺎ ﻟﻠﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‪.‬‬‫اﻟﺨﺎرﺟﻲ‪ ،‬ﻋﲆ اﻷﻗﻞ ﻟﻴﺲ ً‬ ‫اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ‬ ‫ﺗﺮﻓﺾ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ ﺑﺸﺪ ٍة وﺟﻮد ﻣﺘﻔﺮدة ﻣﺠﺮدة ﻇﺎﻫﺮة ﻟﻠﻌﻴﺎن‪.‬‬ ‫وﻣﻊ ذﻟﻚ‪ ،‬وﻛﻤﺎ ﺳﺄوﺿﺢ ﰲ ﻣﺤﺎﴐﺗﻲ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻻ ﺗﻮﺟﺪ إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﺘﻨﺒﺆ ﰲ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻢ‪.‬‬ ‫ﻳﺮﺗﺒﻂ ﻫﺬا ﺑﺤﻘﻴﻘﺔ أﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮن ملﺠﺎﻻت اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ إﻧﱰوﺑﻴﺎ داﺧﻠﻴﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻧﺘﺎج‬ ‫ﻣﺤﺎوﻻت ﺗﺒﺴﻴﻂ وﺣﺴﺐ‪.‬إن اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ اﻟﺠﺬﺑﻴﺔ‪ ،‬وﺣﻘﻴﻘﺔ أن اﻟﺰﻣﻦ ﻟﻪ ﺑﺪاﻳﺔ ورﺑﻤﺎ ﻳﻜﻮن‬ ‫ﻟﻪ ﻧﻬﺎﻳﺔ‪ ،‬ﻫﻤﺎ اﻟﻔﻜﺮﺗﺎن اﻟﻌﺎﻣﺘﺎن اﻟﻐﺎﻟﺒﺘﺎن ﻋﲆ ﻣﺤﺎﴐاﺗﻲ؛ ﻷﻧﻬﻤﺎ ﻣﺎ ﻳُﻤﻴﺰ اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﻋﻦ‬ ‫ﻏريﻫﺎ ﻣﻦ املﺠﺎﻻت اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ اﻷﺧﺮى‪.‬‬ ‫اﻛﺘُﺸﻔﺖ ﺣﻘﻴﻘﺔ أن اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻛﻤﻴﺔ ﺗﺘﴫف ﻣﺜﻞ اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ ﻟﻠﻤﺮة اﻷوﱃ ﰲ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ‬ ‫اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ املﺤﻀﺔ‪.‬وﻫﻲ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﲆ »ﺣَ ﺪْﺳﻴﺔ اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ« اﻟﺘﻲ أﺗﻰ ﺑﻬﺎ ﺑﻨﺮوز‪.‬إﻧﻬﺎ‬ ‫ﺣﺪﺳﻴﺔ ﻏري ﻣُﺜﺒَﺘﺔ‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﻳُﻌﺘﻘﺪ أﻧﻬﺎ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺨﺺ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ وﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ٌ‬ ‫ﺿﻌﻴﻔﺎ ﻣﻦ أﺷﻜﺎل اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ‪.‬ﻗﺪ ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ املﻨﻄﻘﺔ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﺷﻜﻼ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ‪.‬ﺳﺄﺳﺘﺨﺪم ﻫﻨﺎ‬ ‫ﻧﺤﻮ ﻣُﻘﺎرب؛ وﻣﻦ ﺛَﻢ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أوﺿﺢ ﺑﻨﺮوز‪،‬‬ ‫املﺤﻴﻄﺔ ﺑﻨﺠﻢ أﺛﻨﺎء اﻧﻬﻴﺎره ﺑﺎﻋﺘﺒﺎرﻫﺎ ﻣﺴﻄﺤﺔ ﻋﲆ ٍ‬ ‫ﻏﺮس ﻣﻨﻄﻮﻳﺔ اﻟﺰﻣﻜﺎن ‪ M‬ﰲ ﻣﻨﻄﻮﻳﺔ ﻟﻬﺎ ‪) M‬اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(15-1‬‬ ‫ُ‬ ‫ﻣﺘﻮاز‬ ‫ٍ‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ‬ ‫ﺳﻄﺢ ﺻﻔﺮي‪ ،‬وﺳﻴﺘﻜﻮﱠن ﻣﻦ ﺟﺰأﻳﻦ؛ ﺳﻄﺢ ﻻ ﻧﻬﺎﺋﻲ‬ ‫ٍ‬ ‫وﺳﻴﻜﻮن اﻟﺤﺪ ‪ ∂M‬ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ‬ ‫ﺻﻔﺮي ﻣﺴﺘﻘﺒﲇ‪ ،‬وﺳﻄﺢ ﻻ ﻧﻬﺎﺋﻲ ﺻﻔﺮي ﻣﺎﴈ‪.‬وﻳُﻄ َﻠﻖ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ‪ I +‬و ‪.I −‬وﻳﺘﻌني اﻟﻘﻮل‬ ‫أوﻻ‪ :‬ﻳُﻔﱰض أن ﺗﻜﻮن ﻣﻮ ﱢﻟﺪات‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﴍﻃﺎن؛ ً‬ ‫إن اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ اﻟﻀﻌﻴﻔﺔ ﺗﺘﺤﻘﻖ إذا ﻣﺎ ﱠ‬ ‫ﻣﻌني‪ ،‬ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ أن املﺸﺎﻫﺪﻳﻦ‬ ‫ُﺘﻮاز ﱠ‬‫ﺑﻤﻘﻴﺎس ﻣ ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ً‬ ‫ﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ ﰲ ‪I +‬‬ ‫اﻟﺒﻌﻴﺪﻳﻦ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ اﻻﻧﻬﻴﺎر ﻳﻌﻴﺸﻮن ﺣﺘﻰ ﻳﻬﺮﻣﻮا‪ ،‬وﻻ ﺗﺆدي ﻣﺘﻔﺮدة ﺗﻨﻄﻠﻖ ﻛﺎﻟﺼﺎﻋﻘﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﺠﻢ املﻨﻬﺎر إﱃ ﻣﺤﻮ وﺟﻮدﻫﻢ‪.‬وﺛﺎﻧﻴًﺎ‪ :‬ﻳُﻔﱰض أن ﻣﺎﴈ ‪ I +‬ﻳﺘﺴﻢ ﺑﺎﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬ﻫﺬا‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ﺑﻌﻴﺪة‪.‬ﻟﺪى ﺑﻨﺮوز ﺻﻮر ٌة‬‫ٍ‬ ‫ﻣﺘﻔﺮدات ﻣﺠﺮدة ﻳﻤﻜﻦ رؤﻳﺘُﻬﺎ ﻣﻦ‬‫ٌ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ أﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫أﻗﻮى ﻣﻦ ﺻﻮر اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ‪ ،‬واﻟﺘﻲ ﺗﻔﱰض أن اﻟﺰﻣﻜﺎن ﻛ ﱠﻠﻪ ﻳﺘﺴﻢ ﺑﺎﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬ﺑﻴ َﺪ‬ ‫ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﺘﻮﺻﻴﻞ ﻣﺎ أرﻳﺪ ﻃﺮﺣﻪ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫أن اﻟﺼﻮرة اﻟﻀﻌﻴﻔﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ ﺳﺘﻜﻮن‬ ‫‪31‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﺎط ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ‬ ‫ملﻮ ﱢﻟﺪات أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫ﺛﻘﺐ أﺳﻮد‬ ‫ﻣﺘﻔﺮدة‬ ‫أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫‪J+‬‬ ‫‪J+‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ ملﻮ ﱢﻟﺪات‬ ‫أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫)‪I − (J +‬‬ ‫‪J−‬‬ ‫‪J−‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :15-1‬ﻧﺠ ٌﻢ ﻣﻨﻬﺎر‪ ،‬ﻣﻐﺮوس ﺑﺸﻜﻞ ﻣ ٍ‬ ‫ُﺘﻮاز ﰲ ﻣﻨﻄﻮﻳﺔ ﻟﻬﺎ ﺣﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ اﻟﻀﻌﻴﻔﺔ‬ ‫)‪ I + (١‬و ‪ I −‬ﻛﺎﻣﻼن‪.‬‬ ‫)‪ I − (I + ) (٢‬ﺗﺘﺴﻢ ﺑﺎﻟﺰاﺋﺪﻳﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫ﱠ‬ ‫املﺘﻮﻗﻊ ﻇﻬﻮرﻫﺎ ﰲ اﻻﻧﻬﻴﺎر‬ ‫إذا ﱠ‬ ‫ﺗﺤﻘﻘﺖ اﻟﺮﻗﺎﺑﺔ اﻟﻜﻮﻧﻴﺔ اﻟﻀﻌﻴﻔﺔ‪ ،‬ﺗُﺼﺒﺢ املﺘﻔﺮدات‬ ‫اﻟﺠﺎذﺑﻲ ﻏريَ ﻣﺮﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻄﺢ ‪I +‬؛ وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ أﻧﻪ ﻻ ﺑﺪ ﻣﻦ وﺟﻮد ﻣﻨﻄﻘﺔ ﰲ اﻟﺰﻣﻜﺎن‬ ‫ﻟﻴﺴﺖ ﰲ ﻣﺎﴈ اﻟﺴﻄﺢ ‪.I +‬وﺗُﺴﻤﻰ ﻫﺬه املﻨﻄﻘﺔ ﺑﺎﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد؛ ﻷﻧﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻀﻮء أو‬ ‫ُ‬ ‫اﻹﻓﻼت ﻣﻨﻬﺎ واﻟﺨﺮوج إﱃ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‪.‬واﻟﺤﺪ املﺤﻴﻂ ﺑﺎﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد ﻳُﺴﻤﻰ‬ ‫أي ﳾء آﺧﺮ‬ ‫‪32‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫ﻓﺈن أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫»أﻓﻖ اﻟﺤﺪث«‪.‬وﻷن أﻓﻖ اﻟﺤﺪث ﻫﻮ ً‬ ‫أﻳﻀﺎ اﻟﺤﺪ املﺤﻴﻂ ﺑﻤﺎﴈ اﻟﺴﻄﺢ ‪ ،I +‬ﱠ‬ ‫ﺳﻴﺘﻮﻟﺪ ﻋﻦ اﻟﻘِ ﻄﻊ اﻟﺠﻴﻮدﻳﺴﻴﺔ اﻟﺼﻔﺮﻳﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﺪ ﻳﻜﻮن ﻟﻬﺎ ﻧﻘﺎط ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺎﺿﻴﺔ‪ ،‬وﻟﻴﺲ‬ ‫ط اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻀﻌﻴﻒ‪،‬‬ ‫ﻟﻬﺎ أيﱡ ﻧﻘﺎط ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ؛ وﻣﻦ ﺛَﻢ ﻳﺴﺘﺘﺒﻊ ذﻟﻚ أﻧﻪ إذا ﱠ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﴍ ُ‬ ‫ﻓﻼ ﻳﻤﻜﻦ ملﻮ ﱢﻟﺪات أﻓﻖ اﻟﺤﺪث أن ﺗﺘﻘﺎرب؛ ﻷﻧﻬﺎ ﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﻴﺘﻘﺎﻃﻊ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﻣﻊ‬ ‫ﺑﻌﺾ ﰲ ﻧﻄﺎق ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﺤﺪودة‪.‬‬ ‫وﻳﻌﻨﻲ ذﻟﻚ أن ﻣﺴﺎﺣﺔ املﻘﻄﻊ اﻟﻌﺮﴈ ﻷﻓﻖ اﻟﺤﺪث ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻘ ﱠﻞ أﺑﺪًا ﺑﻤﺮور‬ ‫اﻟﺰﻣﻦ‪ ،‬ﺑﻞ إﻧﻬﺎ ﻋﻤﻮﻣً ﺎ ﺳﺘﺰداد‪.‬ﻋﻼو ًة ﻋﲆ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻟﻮ ﺗﺼﺎدَم ﺛﻘﺒﺎن أﺳﻮدان واﻧﺪﻣﺠَ ﺎ ﻣﻌً ﺎ‪،‬‬ ‫ﻓﺴﺘﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد اﻟﻨﺎﺗﺞ أﻛﱪَ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘَﻲ اﻟﺜﻘﺒني اﻷﺳﻮدﻳﻦ اﻷﺻﻠﻴني‬ ‫)اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪.(16-1‬وﻳُﺸ ِﺒﻪ ذﻟﻚ ﻛﺜريًا ﺳﻠﻮك اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ ﺣﺴﺐ اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﻳﻨﺎﻣﻴﻜﺎ‬ ‫اﻟﺤﺮارﻳﺔ‪ ،‬اﻟﺬي ﻳﻨﺺ ﻋﲆ أن اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ ﻻ ﺗﺘﻨﺎﻗﺺ أﺑﺪًا‪ ،‬وأن اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻨﻈﺎم أﻛﱪ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮع إﻧﱰوﺑﻴﺎ أﺟﺰاﺋﻪ املﻜﻮﱢﻧﺔ ﻟﻪ‪.‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺜﺎﻧﻲ ملﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء‬ ‫‪δA ≥ 0‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﻳﻨﺎﻣﻴﻜﺎ اﻟﺤﺮارﻳﺔ‬ ‫‪δS ≥ 0‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻷول ملﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء‬ ‫‪κ‬‬ ‫= ‪δE‬‬ ‫‪δA + ΩδJ + ΦδQ‬‬ ‫‪8π‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻷول ﻟﻠﺪﻳﻨﺎﻣﻴﻜﺎ اﻟﺤﺮارﻳﺔ‬ ‫‪δE = T δS + P δV‬‬ ‫وﻳﺰداد اﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻣﻊ اﻟﺪﻳﻨﺎﻣﻴﻜﺎ اﻟﺤﺮارﻳﺔ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﺎ ﻳُﺴﻤﻰ »اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻷول ملﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ‬ ‫اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء«‪ ،‬اﻟﺬي ﻳﺮﺑﻂ ﺑني اﻟﺘﻐري ﰲ ﻛﺘﻠﺔ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد واﻟﺘﻐري ﰲ ﻣﺴﺎﺣﺔ أﻓﻖ‬ ‫اﻟﺤﺪث‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ اﻟﺘﻐري ﰲ زﺧﻤﻪ اﻟﺰاوي وﺷﺤﻨﺘﻪ اﻟﻜﻬﺮﺑﻴﺔ‪.‬ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻫﺬا ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن‬ ‫‪33‬‬  ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺰﻣﺎن واملﻜﺎن‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪A3‬‬ ‫اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد‬ ‫أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫اﻟﻨﻬﺎﺋﻲ‬ ‫ﻟﻠﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد‬ ‫ﻣﺎدة ﻣﺘﺴﺎﻗﻄﺔ‬ ‫ﻣﺎدة ﻣﺘﺴﺎﻗﻄﺔ‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫اﻟﺜﻘﺒﺎن اﻷﺳﻮدان‬ ‫‪A2‬‬ ‫اﻷﺻﻠﻴﺎن‬ ‫‪A2 ≥ A 1‬‬ ‫‪A3 ≥ A1 + A2‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :16-1‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧُﻠﻘﻲ ﺑﻤﺎد ٍة داﺧﻞ ﺛﻘﺐ أﺳﻮد‪ ،‬أو ﻧﺴﻤﺢ ﺑﺪﻣﺞ ﺛﻘﺒني أﺳﻮدﻳﻦ ﻣﻌً ﺎ‪ ،‬ﻓﺈن‬ ‫املﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ َ‬ ‫ﻷﻓﻘﻲ اﻟﺤﺪث ﻟﻦ ﺗﻘ ﱠﻞ أﺑﺪًا‪.‬‬ ‫اﻷول ﻟﻠﺪﻳﻨﺎﻣﻴﻜﺎ اﻟﺤﺮارﻳﺔ‪ ،‬اﻟﺬي ﻧﺤﺼﻞ ﻣﻨﻪ ﻋﲆ ﻣﻘﺪار اﻟﺘﻐري ﰲ اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ‬ ‫اﻟﺘﻐري ﰲ اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ واﻟﺘﺄﺛري اﻟﺨﺎرﺟﻲ ﻋﲆ اﻟﻨﻈﺎم‪.‬وﻧُﻼﺣﻆ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫ﺗُﻨﺎﻇﺮ اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻜﻤﻴﺔ املﻨﺎﻇﺮة ﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺤﺮارة ﻫﻲ ﻣﺎ ﻳُﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﺴﻄﺤﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد ‪ ،κ‬وﻫﻲ ﻣﻘﻴﺎس ﻟﺸﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ املﺆﺛﺮ ﻋﲆ أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‪ ،‬ﺑﻞ ﻳﺰداد‬ ‫اﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻣﻊ اﻟﺪﻳﻨﺎﻣﻴﻜﺎ اﻟﺤﺮارﻳﺔ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﺎ ﻳُﺴﻤﻰ ﺑ »اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺼﻔﺮي ملﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ اﻟﺜﻘﻮب‬ ‫ﻟﺜﻘﺐ‬ ‫ٍ‬ ‫اﻟﺴﻮداء«‪ ،‬اﻟﺬي ﻳﻨﺺ ﻋﲆ أن اﻟﺠﺎذﺑﻴﺔ اﻟﺴﻄﺤﻴﺔ واﺣﺪ ٌة ﰲ ﻛﻞ ﻣﻜﺎن ﰲ أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫أﺳﻮد ﻻ ﻳﺆﺛﱢﺮ ﻋﻠﻴﻪ اﻟﺰﻣﻦ‪.‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺼﻔﺮي ملﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء‬ ‫ﻟﺜﻘﺐ أﺳﻮد ﻻ ﻳﺆﺛﱢﺮ ﻋﻠﻴﻪ اﻟﺰﻣﻦ‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ κ‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ﰲ ﻛﻞ ﻣﻜﺎن ﰲ أﻓﻖ اﻟﺤﺪث‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺼﻔﺮي ﻟﻠﺪﻳﻨﺎﻣﻴﻜﺎ اﻟﺤﺮارﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ T‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ﰲ ﻛﻞ ﻣﻜﺎن ﰲ ﻧﻈﺎم ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﺗﺰان ﺣﺮاري‪.‬‬ ‫‪34‬‬  ‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬ ‫ﻗﺪﱠم ﺑﻴﻜﻴﻨﺸﺘﺎﻳﻦ )ﻋﺎم ‪ ،(١٩٧٢‬ﻣﺪﻓﻮﻋً ﺎ ﺑﺄوﺟﻪ اﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻫﺬه‪ ،‬ﻃﺮﺣً ﺎ ﻣُﻔﺎده أن أﺣﺪ‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎت ﻣﺴﺎﺣﺔ أﻓﻖ اﻟﺤﺪث ﻫﻮ ﰲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻔﺲ ﻗﻴﻤﺔ إﻧﱰوﺑﻴﺎ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد‪ ،‬واﻗﱰح‬ ‫ﻧﺴﺨﺔ ﻣﻌﻤﱠ ﻤﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬وﻫﻲ أن ﻣﺠﻤﻮع إﻧﱰوﺑﻴﺎ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد ﻫﺬا وإﻧﱰوﺑﻴﺎ‬ ‫ً‬ ‫املﺎدة ﺧﺎرج اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء ﻟﻦ ﻳﻘ ﱠﻞ أﺑﺪًا‪.‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺜﺎﻧﻲ املﻌﻤﱠ ﻢ‬ ‫‪δ(S + cA) ≥ 0‬‬ ‫ﻣﺘﺴ ًﻘﺎ‪.‬ﻓﻠﻮ ﻛﺎن ﻟﻠﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء إﻧﱰوﺑﻴﺎ ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ ﻃﺮدﻳٍّﺎ ﻣﻊ‬ ‫ﱠ‬ ‫ﻟﻜﻦ ﻃﺮﺣَ ﻪ ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﻗﻮﻳٍّﺎ ِ‬ ‫أﻳﻀﺎ درﺟﺔ ﺣﺮارة ﻻ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﻣُﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻃﺮدﻳٍّﺎ ﻣﻊ‬‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻷﻓﻖ‪ ،‬ﻓﻼ ﺑﺪ أن ﻳﻜﻮن ﻟﻬﺎ ً‬ ‫ﺑﺈﺷﻌﺎع ﺣﺮاري ﰲ درﺟﺔ ﺣﺮارة أﻗﻞ ﻣﻦ‬ ‫ٍ‬ ‫ﺟﺎذﺑﻴﺔ اﻟﺴﻄﺢ‪.‬ﺗﺨﻴﱠ ْﻞ ﺛﻘﺒًﺎ أﺳﻮ َد ﻋﲆ اﺗﺼﺎل‬ ‫ﺑﻌﻀﺎ ﻣﻦ‬‫درﺟﺔ ﺣﺮارة اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد )اﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪(17-1‬؛ ﺣﻴﻨﻬﺎ ﺳﻴﻤﺘﺺ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد ً‬ ‫اﻹﺷﻌﺎع‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﻟﻦ ﻳﻨﺒﻌﺚ ﻣﻨﻪ أيﱡ ﳾء ﻟﻠﺨﺎرج؛ ﻷﻧﻪ‪ ،‬ﺣﺴﺐ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‪ ،‬ﻻ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺗﺪﻓﻖ ﺣﺮاري ﻣﻦ اﻹﺷﻌﺎع اﻟﺤﺮاري‬ ‫ﻷي ﳾء أن ﻳﺨﺮج ﻣﻦ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد‪.‬ﻟﺬﻟﻚ ﻳﺤﺪث ﱡ‬ ‫املﻨﺨﻔﺾ اﻟﺤﺮارة إﱃ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد ذي درﺟﺔ اﻟﺤﺮارة اﻷﻋﲆ‪.‬ﻫﺬا ﻳﺨﺮق اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫املﻌﻤﱠ ﻢ؛ ﻷن ﻣﻘﺪار ﺧﺴﺎرة اﻹﻧﱰوﺑﻴﺎ ﻣﻦ اﻹﺷﻌﺎع اﻟﺤﺮاري ﺳﻴﻜﻮن أﻛﱪ ﻣﻦ ﻣﻘﺪار اﻟﺰﻳﺎدة‬ ‫ﰲ إﻧﱰوﺑﻴﺎ اﻟﺜﻘﺐ اﻷﺳﻮد‪.‬ﺑﻴ َﺪ أن اﻟﺘﻨﺎﺳﻖ ﻗﺪ ﻋﺎد — ﻛﻤﺎ ﺳﻨﺮى ﰲ ﻣﺤﺎﴐﺗﻲ اﻟﻘﺎدﻣﺔ —‬ ‫ٌ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ راﺋﻌﺔ ﻟﻠﻐﺎﻳﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ اﻛﺘُﺸﻒ أن اﻟﺜﻘﻮب اﻟﺴﻮداء ﺗُﻄﻠِ